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专题05 直角三角形的边角关系（难点）
一、单选题
1．在 中， ， ， ，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ， 推出AB=2BC，根据 推出∠BCD= ，得到BC=2BD，设
BD=x，则BC=2x，AB=4x，利用勾股定理求出AC、CD，再列式计算进行判断．
【解析】∵ ， ，
∴AB=2BC，
∵ ，
∴∠BCD+∠B= ，
∵∠A+∠B= ，
∴∠BCD= ，
∴BC=2BD，
设BD=x，则BC=2x，AB=4x，
∴ ，
∴ ， , ， ，
故选：B．
．
【点睛】此题考查直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形，解题中设BD=x，则
BC=2x，AB=4x，用含x的式子表示各线段使计算简便，更易得出答案．
2．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则
的值为（ ）
1A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在
Rt△BCD中求tanB．
【解析】过C点作 ，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在 中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
3．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图， 与地面平行，点A、B、
D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线 方向调节．已知， ， ，车轮半径
为 ， ，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为 时骑着比较舒适，此时 的长约为
（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
2A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝ ≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CE BC−BE＝67−40＝27cm．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
4．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条
地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
3A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
【答案】D
【分析】在Rt ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从
而求出地毯的面△积．
【解析】解：在Rt ABC中，AC=6，∠BAC=θ，
△
∴tanθ= ，
∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），
∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，
∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
5．因为 ， ，所以 ；因为 ，
，所以 ，由此猜想，推理知：一般地当 为锐角时有
，由此可知： （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得 sin(180°+60°)=-sin60°= ．故选择C．
6．如图，在矩形 中， 为边 上一点，将 沿直线 翻折，使得点 的对应点 落在
边上．若 ，则 的长度是（ ）
4A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据折叠性质得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，进而得到∠AFB=30°，解
Rt△ABF，求出 ，进而求出CF= ，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，
由折叠可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，
∵∠B=90°，
∴∠AFB=30°，
∴ ,
∴CF=BC-BF= ，
∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，
∴∠EFC=60°，
∴在Rt△CEF中， ．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特殊角三角形函
数值解直角三角形是解题关键．
7．如图，在四边形 中， ， ， 为边 上的点， 为等边三角形， ，
，则 的值为（ ）
5A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 于点 ， 于点 ，解直角 ，得出 ，证明 ，
得出 ，再求出 ， ，然后利用正切函数定义即可求解．
【解析】如图，作 于点 ， 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
6∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含 角的直角三角
形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°， ，把 沿着AC翻折得到
，若 ，则线段DE的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长
度，最后在Rt EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所△示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°， ，
7∴ ，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°， ，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC= x，
∴EM=EC-MC= - x，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是上述分式方程的解，
∴ ， ，
∴在Rt EDM中， ，
△
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函
数的定义是解题关键．
89．如图，设锐角 的三条高 相交于 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中， ，求得 ，在
中，求得 ，得到 ，证明 ，
推出 ，据此求解即可.
【解析】解：在 中， ，
∴ ，
在 中，
即
∴ ，
∵锐角 的三条高 相交于 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
9∴ ，
同理
∴ ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的
关键.
10．如图，正方形 的边长为2，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上的一点，连接
分别交 ， 于点 、 ，且 ，连接 ，则以下结论：① 为 的中点；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明 可得出①正确．证明 ，利用相似三角形的性质得出②正确．
求出 即可判断③正确．作 于H，求出 即可得出④正确．证明
即可得出⑤错误．
【解析】解：①∵正方形 的边长为2，点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
10∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
即 ．故②正确；
③由勾股定理可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故③正确，
④作 于H．
11∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故④正确，
⑤∵ ，
∴ ，
∴ 与 不相似，故⑤错误．
所以正确的结论有4个
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，
勾股定理等知识，灵活掌握运用相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解
直角三角形，勾股定理．
二、填空题
11．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上动点，
连接 、 ．若 ，则线段 的最小值是 ．
12【答案】
【分析】过点 作 于点 ，先证 ，再根据 ， ， ，求出 、
的长，设 ，用 表示 、 、 的长，根据 即可求出线段 的最小值．
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
即 ，
，
， ， ，
，
,
设 ，
则
，
，
，
，
13在 中， ，
，
在 中， ，
即 ，
,
在 中，由勾股定理得， ，
在 中，由勾股定理得，
解得 负值舍去
，
线段 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握是解题的关键．
12．如图，在正方形 中，E是边 的中点，将 沿直线 翻折后，点B落在点M处，连接
并延长与边 交于点N，那么 的值为 ．
【答案】
14【分析】连接 ，正方形和翻折的性质，得到 ， ，设 ，等边
对等角结合三角形的内角和定理，求出 ，得到 ，进而得到 ，得到四边形
为平行四边形，得到 ，求出 ，勾股定理求出 的长，根据同角的余角相等，得到
，结合勾股定理求出 的长，进而得到 的长，即可得出结果．
【解析】解：∵四边形 为正方形， 为 的中点，
∴ ， ， ， ，
连接 ，如图，
∵翻折，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
设 ，
则： ， ，
∴ ，
在 中， ；
∵ ，
∴ ，
15∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质．本题的综
合性强，难度较大，属于压轴题．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的
关键．
13．如图，在平行四边形 中， ，E是 边上的点， ， ，F是 边上
的一点，且 ，若M、N分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点F作 的对称点G，过点G作 于点Q，则 的最小值为 ，利用三角函
数，勾股定理，平行四边形的性质，计算即可，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【解析】过点F作 的对称点G，过点G作 于点Q，交 于点H，则 的最小值为
，
∵平行四边形 中， ，
∴ , ，
16∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
过点A作 于点O，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
17故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点 ， ，点C在x轴负半轴上，连
接 ， ，若 ，以 为边作等边三角形 ，则点C的坐标为 ；点D的坐标为
．
【答案】 或
【分析】过点C作 于点E，根据 ，设 ，则 ，根据勾股定理
可得求出 ，用等面积法推出 ，最后在 中，根据勾股定理可得：
，列出方程求出x的值，即可得出点C的坐标；易得 ，设 ，根据两点之间
的距离公式得出 ， ，根据等边三角形的性质得出 ，
即可罗列出方程组 ，求解即可．
【解析】解：过点C作 于点E，
∵ ，
18∴ ，
设 ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
19则 ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
即 ，
整理得 ，
得： ，则 ，
将 代入①得： ，
解得： ， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故答案为： ； 或 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三
角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理．
15．如图，在反比例函数 的图象上有一动点A，连接 并延长交图象的另一支于点B，在第二象限
内有一点C，满足 ，当点A运动时，点C始终在函数 的图象上运动，若 ，则k
的值为 ．
【答案】
20【分析】连接 ，过点A作 轴于点E，过点C作 轴于点F．通过角的计算找出
，结合“ ， ，”可得出 ，根据相似三角形的性质
得出比例式，再由 ，可得出 的值，进而得到k的值．
【解析】解：如图，连接 ，过点A作 轴于点E，过点C作 轴于点F．
∵由直线 与反比例函数 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
， ，
．
又 ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
又∵ ， ，
，
∴ ．
∵点C在第二象限，
∴ ．
故答案为： ．
21【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，
锐角三角函数，解答本题的关键是求出 的值．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性
质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
16．如图，将边长为 的等边 折叠，折痕为 ，点B与点F重合， 和 分别交 于点
M、N， ，垂足为D， ，则重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】过点E作 于点G，根据等边三角形性质得出 ，
，根据折叠得出 ， ，求出 ，
，
根据 得出答案即可．
【解析】解：过点E作 于点G，如图所示：
22∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
根据折叠可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴ ，
在 中 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
23∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解直
角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
17．如图，正方形 中，点 为 上一点，点 为 延长线上一点， ，连接 相交于
点 ，连接 ，则以下结论中，① 为等腰直角三角形；② ；③ ；④
；⑤当 时， ，其中正确的是 ．
24【答案】①②④
【分析】由正方形 ，证明 ，则 ， ，由
，可得 ，则 为等腰直角三角形，可判断①的正误；
如图，记 与 交点为 ，证明 ，则 ， ， ，
则 ， ，即 ，可判断②的正误；如图，作 于 ，证明
，则 ，解得 ，由 ，可得 ，由勾股定理得，
，则 ，即 ，可判断③的正误；由
，可判断④的正误；由 ，可得 ，由勾股定理
得， ，由 ，可得 ，则
，可判断⑤的正误．
【解析】解：正方形 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，①正确，故符合要求；
25如图，记 与 交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，②正确，故符合要求；
∴ 为 的中点，
如图，作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，即 ，③错误，故不符合要求；
∵ ，
∴ ；④正确，故符合要求；
∵ ，
26∴ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，⑤错误，故不符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相
似三角形的判定与性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．如图，正方形 中， 、 是 上的两个动点 不与端点重合 ，且 在 的左侧且
不与 重合 ， 交 于 ， 交 于 ，设 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先证明 ，然后找到两个特殊点，即当 重合时， 重合时，求得最值，进而即可求
解．
【解析】解：如图所示，
设
在正方形 中， ， ， ，
27在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，即
∴ 在 为直径的部分圆上运动，
如图所示，当 重合时，过点 作 于点 ，
28设正方形的边长为 ，则
∴
∵
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ,
∴ ，
在 中，
∴
依题意，当 与 点重合时，则 与 点重合，此时 ，
∵ 、 是 上的两个动点 不与端点重合 ，
∴
综上所述：
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，动点问题，找到两个特殊
点求得最值解题的关键．
三、解答题
2919．如图1和图2，在 中， ， ，点 在 上，且 ，点 从点 出发
沿折线 以每秒2个单位匀速运动，同时点 从点 出发以每秒1个单位向点A运动，连接 ，
其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒．
(1)当点 在 上时， ______（用含 的代数式表示）；
(2)当点 在 上运动时，
①点 与点A的最短距离为______，此时 的值为______；
②求出点 到直线 的距离（用含 的代数式表示）；
(3)在整个运动过程中，当 与 的一边平行时，求出 的值；
(4)当点 在 上运动时，是否存在某一时刻，使得 ，若存在，直接写出 的值，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)①6；7； ②
(3)当 与 的一边平行时， 的值为2或
(4)存在，t的值为6或
【分析】（1）先用t表示出 ，然后再表示出 即可；
（2）①根据垂线段最短，得出当 时， 点 与点A的距离最短，求出最短距离和此时t的值即可；
②先求出 ，过点 做 ，根据三角函数得出 ，求出结果即可；
（3）分两种情况讨论：当点 在 上时， ，当点 在 上时， ，画出图形求出结果
即可；
30（4）证明 ，得出 ，即可得出 ，求出 ， 即可．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发沿折线 以每秒2个单位匀速运动，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：①过点 作 ，如图所示：
∵垂线段最短，
∴当 时， 点 与点A的距离最短，
∵ ， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∴此时 ；
故答案为：6；7；
②当 在 上时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 做 ，如图所示：
31在 中， ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：当点 在 上时， ，
∴ ，
∴
解得：
当点 在 上时， ，
∴
∴
解得： ，
∴ 与 的一边平行时， 的值为2或 ．
（4）解：存在，
32∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ， ；
∴当t的值为6或 时， ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，三角形外角的性
质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
20．如图1，在梯形 中， ， ， ， ， ，点 在
边上，且 ，过点 作 交 于点 ，点 、 分别在射线 和线段 上．
(1)求线段 的长；
(2)如图2，当点 在线段 上（点 与点 不重合），且 ，设 ， ，
求 关于 的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)如果 为等腰直角三角形，求线段 的长．
【答案】(1)
33(2)
(3) 为 或 或
【分析】（1）过A作 ，于是得到 ，解直角三角形即可得到结论；
（2）过M作 于P， 于K，反向延长 交 于Q，则 ，解直角三角形求得
， ， ，于是得到 ， ，推
出 ，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）①当M在线段 上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到 ，列方程得到
，解方程即可得到结论；②当M在 的延长线上时，根据已知条件得到 ，
由全等三角形的性质得到 ，由（2）知 ， ， ，列方程即可
得到结论．③当 时，过点N作 交 ， 于点P，H，作 交 的延长线
于点R，交直线 于点Q．利用全等三角形的性质求解．
【解析】（1）解：过A作 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
34∴
∴ ；
（2）解：过M作 于P， 于K，反向延长 交 于Q，
则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
当N与D重合是 时，
，
整理， ，
解得 ， （点 不在线段 上，不符合题意，舍去）
35因为点 与点 不重合
所以
则 ；
（3）解：①当M在线段 上时，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
则
由（2）知
∴
由（1）知 ，
故 ，
则 ，
36故 ，
②当M在 的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ， ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
③当 时，过点N作 交 ， 于点P，H，作 交 的延长线于点R，交
直线 于点Q
37由 ，
可得 ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ ，
∴
综上所述， 为 或 或 ．
【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定
义，求函数的解析式，要求有较强的作辅助线能力，证明 以及分类讨论是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中， ，连接 ，将 沿 轴翻折，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 是线段 上一点，连接 ，交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，设 的面积为 ，
求 与 的关系式（不要求写出 的取值范围）．
(3)在（2）的条件下，过点 向 作垂线，交 于点 ，延长线交 于点 ，连接 并延长，交
于点 ，且 ，过点 作 轴的垂线，与 延长线于 ，与 延长线于点 ，求 的长．
38【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出 待定系数法求解析式，即可求解；
（2）依题意，点 的坐标为 ，则 均是等腰直角三角形， ，根据
即可求解；
（3）过点 作 轴，过点 作 于点 ，证明 得出 ，设
,则 ， ，则 ，即可得出 ， ，求
得直线 的解析式为 ，得出 ，即可求解．
【解析】（1）解：由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴点 ,
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：如图，
∵点 的横坐标为 ，
39∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 均是等腰直角三角形， ，
∴ ， ,
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，过点 作 轴，过点 作 于点 ，
∵ ， 是等腰直角三角形，
设
∵ ， ，
∴ ， ,
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
设 ,则 ， ，
∴ ，
∴ ，
40∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，则
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
∵直线 的解析式为 ；则 ,
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相
似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．问题探究：
（1）如图①，已知线段 ，在 的两侧分别作等边 和 ， 、 分别为两个三角
形的中线，连接 ，则 的最大值为_______________；
41（2）如图②，分别以 为直角边在 左侧作 ，以 为斜边在 右侧作 ，且
， ，请求出 的值；
问题解决：
（3）如图③，已知边长为a的正方形 ，点E是边 延长线上一动点 的最小值？如果存在，求
出 ；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出
，根据三角形三边关系得出 ，即可得到答案；
（2）根据相似三角形的判定和性质得出 ， ，再利用相似三角形的判定和性质得出
， ，即可求解；
（3）以 为直径作圆O，在圆上找一点F，使得 ，根据相似三角形的判定和性质得出
，利用相似三角形的判定和性质得出 ，当 取得最大值时， 取得最小值，求出
，即可得到答案．
【解析】解：如图所示：
42∵ 是等边三角形， 为 边上中线，
∴ ， ，
∵ ，
∴
则∵ ， 为 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴
∴当C、M、D三点共线时， 的最大值为 ；
（2）如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
43∴
∵ ， ，
∴ ；
（3）存在 的最小值，理由如下：
以 为直径作圆O，在圆上找一点F，使得 ，连接
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴当 取得最大值时， 取得最小值，此时B、O、F三点共线，
∵ ，
∴
∴
44∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角函
数，相似三角形的判定和性质及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23．综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，若 ，则 与 的数
量关系为________．
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形 折叠，使点B落在 边的中点E处，点A落在点F处，
折痕交 于点M，交 于点N，则线段 的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形 中， ，点E在边 上，点P，Q分别在边 ， 上，
且 ，则 的值为________
【综合应用】如图4，正方形 的边长为12，点F是 上一点，将 沿 折叠，使点B落在
点 处，连接 并延长交 于点E．若 ，求 的长度．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【分析】（1）利用 证明 即可．
（2）过点M作 ，交 于点G，连接 ，交 于点H，利用 证明 即
可．
（3）过点Q作 ，证明 计算即可．
（4）根据（1）得到 ， ，利用三角函数求得 得长度即可．
【解析】（1）∵正方形 ，
∴ ，
45∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）过点M作 ，交 于点G，连接 ，交 于点H，交 于点P．
∵正方形 ， ，
∴ ， ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
46∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵边长为2的正方形 折叠，使点B落在 边的中点E处，
∴ ,
∴ ．
故答案为： ．
(3)过点Q作 ，证明
∵矩形 ， ，
∴ ， ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
47∴ ,
故答案为： ．
(4) ∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
48【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三
角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
24．如图1和图2，平面上，四边形 中， ， ， ， ， ，点M
在 上，且 ．将线段 绕点M顺时针旋转 到 ． 的平分线 所在的
直线交折线 于点P，设点P在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
(1)若点P在 上，求证： ；
(2)如图2，连接 ，求 的度数，并直接写出 时，x的值；
(3)如图3和图4，若点P到 的距离为2，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)13
(3) 或
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到 ， ，然后证明出
，即可得到 ；
（2）首先根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出 ；画
出图形，然后证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ，然后证明出
，利用相似三角形的性质得到 ，进而求解即可；
（3）当 点在 上时， ， ，分别求得 ， ，根据正切的定义即可求解；当
在 上时，则 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
49证明 ，得 ，进而求得 ，证明 ，即可求解．
【解析】（1）证明： 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
的平分线 所在的直线交折线 于点 ，
，
，
，
；
（2） ， ， ，
，
又 ， ，
， ，
，
；
如图2所示，当 时，设 交 与点 ．
平分 ． ，
，
，
，
， ，
，
，
50，
， ，
，
，即 ，
，
．
（3）如图所示，当 点在 上时， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
如图所示，当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长
线于点 ，
51，
，
，
，即 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
解得： ，
，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，分类
讨论，熟练掌握并综合运用各个知识点是解题的关键．
25．【探究发现】如图1，正方形 的对角线交于点O，E是 边上一点，作 交 于点
F；学习小队发现，不论点E在 边上运动过程中， 与 恒全等.请你证明这个结论；
【类比迁移】如图2，矩形 的对角线交于点O， ，E是 延长线上一点，将 绕点O
52逆时针旋转 得到 ，点F恰好落在 的延长线上，求 的值；
【拓展提升】如图3，等腰 中， ，点E是 边上一点，以 为边在
的上方作等边 ，连接 ，取 的中点M，连接 ，当 时，直接写出 的长.
【答案】探究发现：见解析；类比迁移： ；拓展提升：
【分析】探究发现：根据正方形的性质，利用 证明 ，即可；
类比迁移：连接 ，连接 ，证明 ，得到 ，推出
，即 ，在 中， ，等量代换得到 ，即
可；
拓展提升：过A作 于K，连接 ，设 交 于R，三线合一得到
，得到 ，中位线定理，得到 ，推出
，得到 ，得到 ，在 中， ，求出 ，推
出 ， ，设 ，则 ， ，在 中，
，列方程求出 的长，进而得到 的长即可.
【解析】探究发现：
证明∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
53∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
类比迁移：
解：连接 ，连接 ，如图：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点O逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
54在 中， ，
∴ ；
拓展提升：
解：过A作 于K，连接 ，设 交 于R，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵M为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
55∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 或 （此时 为负数，舍去），
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解
直角三角形，勾股定理。综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是构造特殊三角形，全等和相似三
角形.
26．如图，在锐角 中， ，点D，E分别是边 ， 上一动点，连接 交直线 于点
F．
(1)如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点C顺时针方向旋转 得到线段 ，连
接 ，点N是 的中点，连接 ．在点D，E运动过程中，猜想线段 ， ， 之间存在的数量
关系，并证明你的猜想；
(3)若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，点H是 的中点，
56点K是线段 上一点，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．在点D，
E运动过程中，当线段 取得最小值，且 时，请直接写出 的值．
【答案】(1) 的度数为
(2)线段 ， ， 之间存在的数量关系为 ，证明见详解
(3) 的值为
【分析】（1）如图1中，在射线 上取一点K，使得 ，证明 ，推出
， ，再证明 ，可得结论；
（2）结论： ．首先证明 ．如图 中，延长 到Q，使得 ，连接
，证明 ，推出 ，延长 到P，使得 ，则 是等边
三角形，再证明 ，推出 ， ，推出 是等边三角形，
可得结论；
（3）由（2）可知 ，推出点F的运动轨迹为红色圆弧（如图 中），推出P，F，O三点共
线时， 的值最小，此时 ，如图 中，过点H作 于点L，设
， ， ， ，由等积法求出 ，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，在射线 上取一点K，使得 ，
57在 和 中，
，
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：结论： ．
理由：如图2中，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
58∴ ，
∴ ，
如图 中，延长 到Q，使得 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
延长 到P，使得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
则 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
（3）解：由（2）可知 ，
作 的外接圆，圆心为 ，点F的运动轨迹为红色圆弧（如图 中），
59∴P，F，O三点共线时， 的值最小，
此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图 中，过点H作 于点L，设 交 于点J，
设 ，
∵ ，
则 ，
即 ， ，
∵ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
即 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
60【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性
质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于
中考压轴题．
61
