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专题 6.1 平行四边形的性质和判定
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·北京九年级专题练习）在 中， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 平行四边形 ，
∴AD∥BC， ，
，
，
．
故选： ．
2．（2021·福建省福州第一中学八年级期中）如图，在平行四边形 中， ，则 的度数
是（ ）
A．30° B．75° C．100° D．150°
【答案】A
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠B＝30°，
故选A．
3．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）已知平面直角坐标系中有O、A、B、C 四个点，其中点O
（0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （ ）
A．（4，－1） B．（4，1） C．（2，－1） D．（－2，1）
【答案】D
【详解】
如图，∵四边形OABC是平行四边形，点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），
∴BC=AO=3，故点C 的坐标为B（1-3，1），即（－2，1）
故选D．
4．（2021·福建厦门双十中学八年级月考） 中， 的度数比可能是（ ）
A． B．x=1 C． D．x=−1
【答案】B
【详解】
解：在 中， ；
则 ；
故选：B
5．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可
以是（ ）
A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm
【答案】D
【详解】
解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．
故选：D．
6．（2021·北京九年级专题练习）如图， 的对角线交点是直角坐标系的原点， 轴，若顶
点 坐标是 ， ，则顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 坐标是 ， ，，
∵ 的对角线交点是直角坐标系的原点，
∴B，D关于原点对称．
，
故选：A．
7．（2021·北京九年级专题练习）在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ．给出下列四组条件：
① ， ；② ， ；③ ， ；④ ，
．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【详解】解：如图，
①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平
行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平
行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是
平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形
是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出的四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选： ．
8．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级月考）平行四边形 中，对角线 和 相交于点 ，若
， ， ，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4，AB＝6，
∴OA＝OC＝2，OD＝OB＝ ，
在△OAB中， AB﹣OA＜ ＜AB+OA，∴6﹣2＜ ＜6+2，
∴8＜m＜16．
故选D．
9．（2021·北京九年级专题练习）如图，平行四边形 中，点 在边 上，以 为折痕，将
向上翻折，点 正好落在 上的点 处，若 的周长为6， 的周长为14，则 的
长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【详解】
解：由折叠可得， ， ．
的周长为6， 的周长为14，
， ，
平行四边形 的周长 ，
，
又 的周长 ，
，
故选：A．
10．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上
的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． 与 全等 B． 与 的周长相等
C． 与 的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
【答案】C
【详解】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以 与 不一定全等，故
A错误；
选项B， 的周长是定值，而 的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；选项C，由于 与 都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间
的距离处处相等知道 与 属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，
所以选项D错误．
故选：C．
11．（2021·河北邢台市·九年级零模）证明：平行四边形的对角线互相平分
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O
求证：OA＝OC，OB＝OD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴…
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD
其中，在“四边形ABCD是平行四边形”与“∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO”之间应补充的步骤是（
）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AD//BC，AD＝BC
C．AB//CD，AD//BC D．AB//CD，AB＝CD
【答案】D
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：D．
12．（2021·北京九年级专题练习）如图，等腰 中，点 是底边 上的动点（不与点 ， 重
合），过点 分别作 、 的平行线 、 ，交 、 于点 、 ，则下列数量关系一定
正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解： ，
，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
故选： ．
13．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级月考）如图， 为平行四边形 的对角线， ，
于点 ， 于点 ， 、 相交于点 ，直线 交线段 的延长线于点 ，
下列结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤
．正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解:：
是等腰直角三角形，
四边形 是平行四边形，
②正确；
在 与 中，
点不是 中点，
①错误；
四边形 是平行四边形，
③正确；④错误；
中，
⑤正确，
②③⑤正确，
故选：C．
14．（2021·重庆八中八年级月考）如图，分别以Rt ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形
ACD和 ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D． ÷S ＝
四边形BCDE
【答案】C
【详解】
解： ， ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
为 的中点，
，， ，
四边形 为平行四边形，B选项正确，不符合题意；
四边形 为平行四边形，
， ，又 ，
，A选项正确，不符合题意；
∵等边三角形 ACD和 ABE，
， ，
，C选项错误，符合题意；
设 ，则 ，
， ， ，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2019·云南玉溪市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=6，CD=6；AD=8，BC=8；
∠B=80°，则∠D=_____．
【答案】80°
【详解】
解：
四边形ABCD是平行四边形，故答案为：80°．
16．（2021·全国八年级课时练习）如图所示， 中， 的平分线交 边于点 ，而 平
分 ，若 ，则 __________， __________．
【答案】60° 120°．
【详解】
设 ，
∵AM平分 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：（1） ；（2） ．
17．（2021·吉林白山市·八年级期末）如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC边上的点，EF∥BC，
点D在BC边上，连接DE、DF请你添加一个条件___________________，使△BED≌△FDE【答案】BD=FE（答案不唯一） ；
【详解】
当BD=FE时，△BED≌△FDE，
∵EF∥BC，
当BD=FE时，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴∠B＝∠DFE，BE＝FD
∵BD＝FE
∴△BED≌△FDE，
故答案为：BD＝FE．
18．（2021·浙江八年级月考）在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 落在 轴的正半轴上，
且点 ，直线 以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四
边形 的面积平分．
【答案】6
【详解】
解：连接AC、BO，交于点D，当y=4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y=kx+b，
∵平行于y=4x+1，
∴k=4，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y=4x-11，
∴直线y=4x+1要向下平移12个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·江苏泰州市·八年级期中）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形
的边长均为1，点A、B、C的坐标分别为A（1，3）、B（4，4）、C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△ABC ，则点A的对应点A 的坐标为 ；
1 1 1 1
（2）若在坐标轴上有一点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见解析； A（-1，-3）；（2）D（-1，0）
1
【详解】
解：（1）作A、B、C关于点O的对称点A、B、C ，顺次连结AB、BC 、C A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则△ABC 与△ABC关于原点O成中心对称，
1 1 1
关于原点对称坐标特征是横纵坐标符号改变，
∵A（1，3），
∴A（-1，-3），
1
故答案为A（-1，-3）；
1（2）∵A、B、C、D构成平行四边形，
∴AB=DC，
设点D坐标为（m，0），
∴有4-1=2-m，
∴m=-1，
∴D（-1，0）．
20．（2021·浙江温州市·九年级一模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶
点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（5，2），请在所给网格区域（不含边
界）上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使AO＝CO．
（2）在图2中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点C的横坐标与纵坐标的和等于点A的纵
坐标的3倍．
【答案】（1）见详解（2）见详解．
【详解】
（1）如图，四边形ACBD或四边形ABD′C即为所求作．（2）如图，四边形ACBD或四边形ABC′D′即为所求作．
21．（2020·浙江杭州市·八年级期末）操作探究：
（1）现有一块等腰三角形纸板， 为底边，量得周长为 ，底比一腰多 ．若把这个三角形纸板
沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出
四边形的各边长；
（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．
【答案】（1）见解析；（2）200或328或272或192.16
【详解】
解：（1）如图所示：（2）设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，
由题意得（x+2）+2x=32，解得x=10cm．
因此AB=AC=10cm，则BC=12cm，
过点A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=6cm，
∴AD=8cm．
可以拼成四种四边形，如上图所示．
如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；
如图2，AC2= ，
∴两对角线长的平方和为 ；
如图3，BC2= ，
∴两对角线长的平方和为 ；
如图4，∵ ×AB×CO＝ ×AC×BC，
10CO=6×8．
∴CO=4.8cm，CD=9.6cm．
∴两对角线长的平方和为 ．
22．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级期末）如图，在平行四边形 中，点E是CD边的中点，连接
AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE， ．
（1）求证：AE平分 ；
（2）若 ， ，求平行四边形 的面积．【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
解：（1）在 中，
∴
又∵ 且
∴
∴ ，
又 且
∴
∴
∴ 平分 ；
（2）∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
23．（2021·江苏泰州市·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，且AE＝2（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直
尺画出点F；
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形AFCE是平行四边形，理由见解析．
【详解】
解：（1）如图所示，点F即为所求作的点．
（2）四边形AFCE是平行四边形，理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF．
∴OE＝OF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
24．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在 中，对角线 ， 相交于点O，
，E，F为直线 上的两个动点（点E，F始终在 的外面），且
，连结 ， ， ， ．（1）求证：四边形 为平行四边形．
（2）若 ，上述结论还成立吗？若 呢？
（3）若 平分 ， ，求四边形 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【详解】
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
， ，
，
，
四边形 为平行四边形．
（2） ， ，
，
，
四边形 为平行四边形．
上述结论成立，
由此可得出结论：若 ， ，则四边形 为平行四边形．
（3）在 中， ，
．
平分 ，
，
，
．
，
，
是 的垂直平分线，．
，
是等边三角形，
，
．
25．（2019·云南临沧市·八年级期末）如图，直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点，与
直线 交于点 ，且 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若 与 轴交于点 ，求 的面积；
（3）在线段 上是否存在一点 ，过点 作 轴交 于点 ，使得四边形 是平行四边形？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） ；（3）存在， ．
【详解】
解：（1）∵OA=8，
∴A(8,0)，
将A(8,0) 代入 ，得 ，解得 ，
故 ；
（2）由 与 轴交于点 ，
∴ ，
由 与 轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在，
根据题意，若四边形 是平行四边形，
则 ，
设 ，则 ，
则 ，
解得 ， ，
∴ ．
26．（2020·浙江八年级期末）如图，在四边形 中，
．动点P从点B出发，沿射线 的方向以每
秒 的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段 上以每秒 的速度向点D运动，点
P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当 时，若四边形 是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当 时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为 ，求相应的t的值；
（3）当 时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为 ，求相应的t的值．
【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【详解】
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则 （DQ+CP）×AB=60，
即 （16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得： （DQ+CP）×AB=60，
即 （16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
