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专题5.9 求解二元一次方程组-加减法（专项练习）（巩固篇）
一、单选题
1．若二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解，则 为（
）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
3．已知 ＋(2x＋y＋11)2＝0，则( )
A． B． C． D．
4．已知 和 都是方程y=ax＋b的解，则a和b的值分别是( ).
A．a=2，b=3 B．a=－0.5，b=3 C．a=1，b=3 D．a=3，b=0.5
5．由方程组 可得x与y的关系式是（ ）
A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2
6．已知x，y满足方程组 则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC的两边是方程组 的解，第三边长为奇数，符合条件的三角形有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用 消去 ，则 、 的值可能是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实
数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
A．(0，1) B．(1，0) C．(﹣1，0) D．(0，﹣1)
10．已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是 ；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当
时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题
11．已知 则2 016＋x＋y＝_______.
12．若 则 的值为______.
13．若方程组 的解x，y满足x＋y＜0，则k的取值范围为___________．
14．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个
全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是______m.
15．若方程组 的解满足 ，则 =________．
16．已知关于 的方程组 ．（1）用 表示 的值为____．
（2）若 ，则 的值为____．
17．如果方程组 的解是方程 的一个解，则 的值为____________．
18．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝ ，例如3※4，因为3＜4．所
以3※4＝3×4＝12．若x，y满足方程组 ，则x※y＝_____．
19．以方程组 的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是第______
象限．
20．若关于 ， 的二元一次方程组 ，则 __．
21．已知方程组 ，以下说法：①无论m和y取何值，x的值一定等于2：
②当 时，x与y互为相反数；③当方程组的解满足 时， ；④方程组的
解不可能为 ，其中正确的是____________（填序号）．
22．定义一种新运算“※”，规定 ※ = ，其中 、 为常数，且
1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．
三、解答题
23．解二元一次方程组（1） （2）
24．解方程（组）
（1） （2）
25．用消元法解方程组 时,两位同学的解法如下:
解法一: 解法二:由②，得 , ③
由①-②,得 . 把①代入③，得 .
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ ”.
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
26．解下列各题：
（1）解方程组：¿；
（2）解方程组：¿；
（3）已知关于x，y的方程组¿的解为¿，求m，n的值．
27．若关于 的二元一次方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）若上述方程组的解是等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形周长为9，求a
的值．28．阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且 求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组 ，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组 ，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，
也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．参考答案
1．C
【分析】
先用含a的代数式表示x、y，即解关于x、y的方程组，再代入 中即可求解.
【详解】
解：解方程组 ，得 ，
把x=2a，y=a代入方程 ，得 ，
解得：a=7.
故选C.
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念，求解的关键是先把
a看成已知，通过解关于x、y的方程组，得到x、y与a的关系.
2．B
【分析】
将 代入 即可求出a与b的值；
【详解】
解：将 代入 得：
，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题
的关键．
3．D【解析】
由题意得： ，
解得： ，
故选D.
4．B
【解析】
【分析】
根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值．
【详解】
∵ 和 都是方程y=ax＋b的解，
∴ ，解得： ，
故选B．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的解以及二元一次方程组的解法,.解题关键是根据方程
组的解概念，代入方程得到关于a、b的二元一次方程组即可求解.
5．D
【分析】
方程组消去m即可得到x与y的关系式．
【详解】
解： ，
①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，本题用的是加减消元法．
6．C
【分析】
由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．【详解】
解：将 代入 ，得 ，所以 .
故选C.
【点拨】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实
际是消元法的考核．
7．B
【分析】
首先求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之
差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案．
【详解】
方程组 的解为： ，
∵△ABC的两边是方程组 的解，第三边长为奇数，
∴2＜第三边长＜6，
∴第三边长可以为：3，5．
∴这样的三角形有2个．
故选B．
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的
关键．
8．D
【分析】
利用加减消元法判断即可．
【详解】
利用①×a+②×b消去x，
则5a+2b=0
故a、b的值可能是a=2，b=-5，
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．B【解析】
【分析】
根据新定义运算法则列出方程ax+by=a①，ay+bx=b②，由①②解得关于x、y的方程组，解
方程组即可．
【详解】
由定义，知：（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a①，
ay+bx=b②
由①+②，得：（a+b）x+（a+b）y=a+b．
∵a，b是任意实数，∴x+y=1③
由①﹣②，得：（a﹣b）x﹣（a﹣b）y=a﹣b，∴x﹣y=1④
由③④解得：x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）．
故选B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法．解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，
根据法则列出方程组．
10．B
【分析】
①把 代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到 ，代入方程组求出 的值，即可做出判断；
③根据题中等式得到 ，代入方程组求出 的值，即可做出判断；
④假如 ，得到 无解，本选项正确．
【详解】
解：①把 代入方程组得： ，
解得： ，本选项错误；
②由 与 互为相反数，得到 ，即 ，
代入方程组得： ，
解得： ，本选项正确；③方程组解得： ，
，
，
，解得： ，本选项正确；
④若 ，则有 ，可得 ，矛盾，故不存在一个实数 使得 ，本选
项正确．
综上所述：正确的选项有②③④．
故选： ．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组解法，注意方程组的解即为能
使方程组中两方程都成立的未知数的值，有根必代是解题关键．
11．2018
【解析】
【分析】
方程组两方程相减求出x+y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
①－②，得x＋y＝2，则原式＝2 016＋2＝2 018.
故答案是：2 018.
【点拨】考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．-3
【分析】
根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确
定出x+y的值．
【详解】
∵（3x-y+5）2+|2x-y+3|=0，∴3x-y+5=0，2x-y+3=0，∴x= -2，y= -1．∴x+y= -3．
【点拨】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数
的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0．13．k＜－4
【解析】
试题解析： ，
①+②得：4（x+y）=k+4，即x+y= ，
代入已知不等式得： ＜1，
解得：k >-4.
14．12
【分析】
由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，
列出方程组解之即可求得答案．
【详解】
解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，由题意得 ，解得 ，所以其中
一个小长方形花圃的周长是 .
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：数形结合，弄懂题意，
找出等量关系，列出方程组．本题也可以让列出的两个方程相加，得3（x+y）=18，于是
x+y=6，所以周长即为2（x+y）=12，问题得解.这种思路用了整体的数学思想，显得较为
简捷.
15．
【分析】
将①+②求得方程，然后整体代入求解．
【详解】
解：
将①+②，得： ，即∵
∴ ，解得：
故答案为： ．
【点拨】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握解方程的步骤，运用整体思想求解
是关键．
16． 9
【分析】
（1）将方程组中①+②可求解；
（2）根据（1）中的结论利用整体代入思想将 代入，然后解一元一次方程求解．
【详解】
解：（1） ，
由①+②可得：
∴
故答案为：
（2）将 代入 中，
，解得：
故答案为：9．
【点拨】本题考查加减法解二元一次方程组及解一元一次方程，掌握解方程的步骤正确计
算是解题关键．
17．2
【解析】
分析：求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．详解： ，
①+②×3得：17x=34，即x=2，
把x=2代入①得：y=1，
把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，
解得：m=2，
故答案为：2．
点睛：此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解
代入另一个方程是解决此题的关键．
18．13
【分析】
求出方程组的解得到x与y的值，代入原式利用题中的新定义计算即可.
【详解】
解：方程组 ，
①+②×4得：9x＝108，
解得：x＝12，
把x＝12代入②得：y＝5，
则x※y＝12※5＝ ＝13，
故答案为13
【点拨】本题考查了解一元二次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元与
加减消元法.
19．四
【解析】
【分析】
求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】
，
①+②×2，得：7x=14，解得：x=2，
将x=2代入②，得：6+y=5，
解得：y=-1，
则点的坐标为（2，-1），
所以该点在第四象限，
故答案为四．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
20． ．
【分析】
利用加减法表示出 ，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解： ，
① ②，得 ，
，
，
．
答案： ．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
21．①②④
【分析】
把m看做已知数求出x的值，进而表示出y，进而判断即可．
【详解】
解： ，
① ②得： ，
解得： ，①正确；当 时， ， 可得 ， 与 互为相反数，②正确；
时， ，即 ，③错误；
由 ，可知 不可能是方程的解，④正确，
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，
熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．11
【详解】
分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y＝1时，ax＋
by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.
详解：根据题意得 ，解得 .
当a＝1，b＝1时，x※y＝x＋y2.
所以2※3＝2＋32＝11.
故答案为11.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数
为1时，可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，
再根据这个规则去运算.
23．（1） （2）
【分析】
直接利用加减消元法和代入消元法对方程组进行求解即可；
【详解】
（1） ，
将①式×2+②得 ，，
解得 ，
将 代入①得： ，
故解为：
（2） ，
将方程组整理得：
即 ，
①+②得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
∴解为
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，正确掌握运算方法是解题的关键；
24．（1） ；（2）
【分析】
（1）先利用分数的基本性质把方程化为： ，再去分母，去括号，整理得：
，从而可得答案；
（2）把 视为整体未知数，先消去 ，求解 再求解 再求解 即
可得到答案．
【详解】解：（1）
去分母得：
去括号得：
解得：
（2）
①×12得： ，③
②＋③得：
④
把 代入②得：
⑤
④＋⑤得：
把 代入⑤得：
∴方程组的解为：
【点拨】本题考查的是一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，根据方程的特点选
择整体消元的解法是解题的关键．25．（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是
【分析】
利用加减消元法或代入消元法求解即可．
【详解】
（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得： ，解得： ，
把 代入①，得： ，解得： ，
所以原方程组的解是 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
26．（1）¿；（2）¿；（3）¿．
【解析】
【分析】
（1）根据加减消元法，可得方程组的解；
（2）将原方程组进行化简，化简后解方程组即得出结论；
（3）将x=1，y=2代入方程中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值
即可．
【详解】
解：（1）①+②，得：4x＝12，
解得：x＝3，
将x＝3代入①，得：3+2y＝1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为¿；
（2）方程组整理得¿，
由①，得：x＝5y﹣3 ③，
将③代入②，得：5（5y﹣3）﹣11y＝﹣1，
解得：y＝1，
则x＝5﹣3＝2，
所以方程组的解为¿；（3）将¿代入方程组，得：¿，
解得：¿．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，代入消元法与加减消
元法是解方程组的关键．
27．（1）a>1；（2）a 的值为2.
【详解】
分析：（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到
关于a的不等式求解即可；
（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y
可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三
角形．
详解：（1） 得： ，
∵ ，且的二元一次方程组 的解都为正数.
∴ ，
∴ ，即a>1.
（2）因为二元一次方程组的解是等腰三角形的一条腰和底边长，周长为9，
分类讨论：①当x=a-1为腰时，有：
2（a-1）+a+2=9，
解得a=3，
此时三角形三边为（2，2，5）（不符合题意，舍去）
②当y=a+2为腰时，有：
2（a+2）+a-1=9，
解得a=2，
此时三角形三边为（1，4，4）（符合题意）
综上所述：a 的值为2.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质, 二元一次方程组的解, 三角形三边关系.28．（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲， ，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝ ，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝ ，
代入m+n＝3得： ＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝ ，
代入m+n＝3得： ＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得： ，
①×3﹣②得：m＝11，把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得： ，
解得： ，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
