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专题 08 数列
1．【2022年全国乙卷】已知等比数列{a }的前3项和为168，a -a =42，则a = ( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列{a }的公比为q,q≠0，易得q≠1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列
n
的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列{a }的公比为q,q≠0，
n
若q=1，则a -a =0，与题意矛盾，
2 5
所以q≠1，
则¿，解得¿，
所以a =a q5=3.
6 1
故选：D.
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到
1
1 b =1+
1 b =1+ 3 1
数列{b }：b =1+ ， 2 1 ， α + ，…，依此类推，其中
n 1 α α + 1 1
1 1 α α +
2 2 α
3
α ∈N* (k=1,2,⋯)．则( )
k
A．b
所以α <α + ，α 1 ，得到b >b ，
1 1 α 1 α + 1 2
2 1 α
2
1 1
α + >α +
同理 1 α 1 1 ，可得b b
2 α + 2 3 1 3
2 α
3
1 1 1 1
> , α + <α +
α 1 1 1 1 1
又因为 2 α + α + α + ，
2 1 2 α 2 1
α + 3 α +
3 α 3 α
4 4
故b b ；
2 4 3 4
以此类推，可得b >b >b >b >…，b >b ，故A错误；
1 3 5 7 7 8
b >b >b ，故B错误；
1 7 8
1 1
>
α 1
2 α + ，得b α +
1 1 1 1
α + α +… ，得b N 时，a >0”的( )
0 0 n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列{a }的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件
n
的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列{a }的公差为d，则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数.
n
若{a }为单调递增数列，则d>0，
n
若a ≥0，则当n≥2时，a >a ≥0；若a <0，则a =a +(n-1)d，
1 n 1 1 n 1
a [ a ]
由a =a +(n-1)d>0可得n>1- 1，取N = 1- 1 +1，则当n>N 时，a >0，
n 1 d 0 d 0 n
所以，“{a }是递增数列”⇒“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”；
n 0 0 n
若存在正整数N ，当n>N 时，a >0，取k∈N*且k>N ，a >0，
0 0 n 0 k
a a
假设d<0，令a =a +(n-k)d<0可得n>k- k，且k- k>k，
n k d d
[ a ]
当n> k- k +1时，a <0，与题设矛盾，假设不成立，则d>0，即数列{a }是递增数列.
d n n
所以，“{a }是递增数列”⇐“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”.
n 0 0 n
所以，“{a }是递增数列”是“存在正整数N ，当n>N 时，a >0”的充分必要条件.
n 0 0 n
故选：C.
1
5．【2022年浙江】已知数列{a }满足a =1,a =a - a2(n∈N*)，则( )
n 1 n+1 n 3 n
5 5 7 7
A．2<100a < B． <100a <3 C．3<100a < D． <100a <4
100 2 2 100 100 2 2 100
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过递推关系式确定{a }除去a ，其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式变形得到
n 1
1 1 1 1 1 1
- = > ，累加可求出 > (n+2)，得出100a <3，再利用
a a 3-a 3 a 3 100
n+1 n n n
1 1 1 1 1 1
- = < = (1+ )
a a 3-a 3 3 n+1 ，累加可求出
n+1 n n 3-
n+21 1 1 1 1 1 5
-1< (n-1)+ ( + +⋯+ )，再次放缩可得出100a❑ > ．
a 3 3 2 3 n 100 2
n
【详解】
2
∵a =1，易得a = ∈(0,1)，依次类推可得a ∈(0,1)
1 2 3 n
1 1 3 1 1
由题意，a =a (1- a )，即 = = + ，
n+1 n 3 n a a (3-a ) a 3-a
n+1 n n n n
1 1 1 1
- = >
∴ ，
a a 3-a 3
n+1 n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
即 - > ， - > ， - > ，…， - > ,(n≥2)，
a a 3 a a 3 a a 3 a a 3
2 1 3 2 4 3 n n-1
1 1 1 1
累加可得
-1> (n-1)，即 > (n+2),(n≥2)，
a 3 a 3
n n
3 1 100
∴a < ,(n≥2)，即a < ，100a < <3,
n n+2 100 34 100 34
1 1 1 1 1 1
- = < = (1+ ),(n≥2)
又a a 3-a 3 3 n+1 ，
n+1 n n 3-
n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ - = (1+ )， - < (1+ )， - < (1+ )，…，
a a 3 2 a a 3 3 a a 3 4
2 1 3 2 4 3
1 1 1 1
- < (1+ ),(n≥3)，
a a 3 n
n n-1
1 1 1 1 1 1
累加可得 -1< (n-1)+ ( + +⋯+ ),(n≥3)，
a 3 3 2 3 n
n
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ -1<33+ ( + +⋯+ )<33+ ( ×4+ ×94)<39，
a 3 2 3 99 3 2 6
100
1 1 5
即 <40，∴a❑ > ，即100a❑ > ；
a 100 40 100 2
100
5
综上： <100a <3．
2 100
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
6．【2022年全国乙卷】记S 为等差数列{a }的前n项和．若2S =3S +6，则公差d=
n n 3 2
_______．【答案】2
【解析】
【分析】
转化条件为2(a +2d)=2a +d+6，即可得解.
1 1
【详解】
由2S =3S +6可得2(a +a +a )=3(a +a )+6，化简得2a =a +a +6，
3 2 1 2 3 1 2 3 1 2
即2(a +2d)=2a +d+6，解得d=2.
1 1
故答案为：2.
7．【2022年北京】己知数列{a }各项均为正数，其前n项和S 满足a ⋅S =9(n=1,2,⋯)．
n n n n
给出下列四个结论：
①{a }的第2项小于3； ②{a }为等比数列；
n n
1
③{a }为递减数列； ④{a }中存在小于 的项．
n n 100
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
9 9
推导出a = - ，求出a 、a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单
n a a 1 2
n n-1
调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，∀n∈N*，a >0，
n
当n=1时，a2=9，可得a =3；
1 1
9 9 9 9
当n≥2时，由S = 可得S = ，两式作差可得a = - ，
n a n-1 a n a a
n n-1 n n-1
9 9 9
所以， = -a ，则 -a =3，整理可得a2+3a -9=0，
a a n a 2 2 2
n-1 n 2
3√5-3
因为a >0，解得a = <3，①对；
2 2 2
( 9 ) 2 81
假设数列{a }为等比数列，设其公比为q，则a2=a a ，即 = ，
n 2 1 3 S S S
2 1 3所以，S2=S S ，可得a2(1+q) 2=a2(1+q+q2)，解得q=0，不合乎题意，
2 1 3 1 1
故数列{a }不是等比数列，②错；
n
9 9 9(a -a )
当n≥2时，a = - = n-1 n >0，可得a 1．记{a }的前n项和为
n 1 n
S (n∈N*)．
n
(1)若S -2a a +6=0，求S ；
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*，存在实数c ，使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列，求d
n n n n+1 n n+2 n
的取值范围．
3n2-5n
【答案】(1)S = (n∈N* )
n 2
(2)11，
所以d=3，
所以a =3n-4，
n
(a +a )n 3n2-5n
所以S = 1 n = ，
n 2 2
(2)
因为a +c ，a +4c ，a +15c 成等比数列，
n n n+1 n n+2 n
所以(a +4c ) 2=(a +c )(a +15c )，
n+1 n n n n+2 n
(nd-1+4c ) 2=(-1+nd-d+c )(-1+nd+d+15c )，
n n n
c2+(14d-8nd+8)c +d2=0，
n n
由已知方程c2+(14d-8nd+8)c +d2=0的判别式大于等于0，
n n
所以Δ=(14d-8nd+8) 2-4d2≥0，
所以(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)≥0对于任意的n∈N*恒成立，
所以[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]≥0对于任意的n∈N*恒成立，
当n=1时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]=(d+1)(d+2)≥0，
当n=2时，由(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，可得d≤2
当n≥3时，[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>(n-3)(2n-5)≥0，
又d>1
所以1
