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专题 5.6 一次函数与二元一次方程（组）（知识解读）
【学习目标】
1. 能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与
联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
【知识点梳理】
考点1 一次函数与二元一次方程
一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方
程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.
考点2 一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过
来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函
数 与 图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组
的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组
的图像解法.
注意：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交
点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次
方程组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数 与
的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重
合，反之也成立.考点3 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的
个数．
【典例分析】
【考点1 一次函数与二元一次方程】
【典例1】（2020春•庆云县期末）如图，直线 y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，
0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝﹣3
【变式1-1】（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程
kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣3
【变式1-2】（2021春•巴南区期末）若一次函数y＝ax+b的图象过点A（0，2），B（﹣
3，0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x＝﹣3
【变式1-3】（2021春•荔湾区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象
如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b
【考点2 一次函数与二元一次方程组】
【典例2】如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方
程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，直线l ：y＝3x﹣1与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，
1 2
y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】．如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】如图，l 经过点（0，1.5）和（2，3），l 经过原点和点（2，3），以两条直线
1 2
l 、l 的交点坐标为解的方程组是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【变式3-1】如图，直线l 、l 的交点坐标可以看作下列方程组（ ）的解．
1 2
A． B．
C． D．
【变式3-2】如图，两条直线的交点坐标（2，3）可以看作两个二元一次方程的公共解，
其中一个方程是x﹣y＝﹣1，则另一个方程是（ ）
A．2x﹣y＝﹣1 B．2x﹣y＝1 C．2x+y＝﹣1 D．3x﹣y＝﹣1
【考点3 方程组解的几何意义】
【典例4】如图，直线y ＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y ＝﹣2x+6的图象与y轴交
1 2
于点B，两者相交于点C．
（1）方程组 的解是 ；
（2）当y ＞0与y ＞0同时成立时，x的取值范围为 ；
1 2
（3）求△ABC的面积；（4）在直线y ＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积
1
相等，请求出点P的坐标．
【变式4-1】如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，
3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解．
【变式4-2】若正比例函数y ＝﹣x的图象与一次函数y ＝x+m的图象交于点A，且点A的
1 2
横坐标为﹣1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数y ＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出
2
点B坐标；若不存在，请说明理由．专题 5.6 一次函数与二元一次方程（组）（知识解读）
【学习目标】
1. 能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与
联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
【知识点梳理】
考点1 一次函数与二元一次方程
一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方
程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.
考点2 一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过
来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函
数 与 图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组
的图像解法.
注意：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交
点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次
方程组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数 与
的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重
合，反之也成立.
考点3 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
4．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的
个数．
【典例分析】
【考点1 一次函数与二元一次方程】
【典例1】（2020春•庆云县期末）如图，直线 y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，
0），则方程ax+b＝0的解是（ ）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝﹣3
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣2，
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程
kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣3
【答案】B
【解答】解：∵直线与x轴交点坐标为（3，0），
∴kx+b＝0的解为x＝3，
故选：B．
【变式1-2】（2021春•巴南区期末）若一次函数y＝ax+b的图象过点A（0，2），B（﹣
3，0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x＝﹣3
【答案】D
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3，
故选：D．
【变式1-3】（2021春•荔湾区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象
如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b
【答案】A
【解答】解：由图象知，一次函数的图象过点（3，4），
所以有3k+b＝4，
所以x＝3是方程kx+b＝4的解，
故选：A．
【考点2 一次函数与二元一次方程组】
【典例2】如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方
程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
故选：C．
【变式2-1】如图，直线l ：y＝3x﹣1与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，
1 2
y的方程组 的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵y＝3x﹣1与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，b），
2
∴b＝2，
∴P（1，2），
∴ ，
故选：A．
【变式2-2】．如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y
的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，∴方程组 的解为 ，
即方程组 的解为 ，
故选：A．
【变式2-3】如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），
∴方程组 的解是 ，
故选：A．
【典例3】如图，l 经过点（0，1.5）和（2，3），l 经过原点和点（2，3），以两条直线
1 2
l 、l 的交点坐标为解的方程组是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设直线l 的解析式为y＝kx+b，
1
∵l 经过点（0，1.5）和（2，3），
1
∴ ，
解得： ，
∴直线l 的解析式为y＝ x+1.5，
1
设直线l 的解析式为y＝ax，
2
∵l 经过点（2，3），
2
∴3＝2a，
解得：a＝ ，
∴直线l 的解析式为y＝ x，
2
∴以两条直线l 、l 的交点坐标为解的方程组是 ，
1 2
即 ，故选：C．
【变式3-1】如图，直线l 、l 的交点坐标可以看作下列方程组（ ）的解．
1 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由图可知：
直线l 过（2，3），（0，﹣1），因此直线l 的函数解析式为：y＝2x﹣1；
2 2
直线l 过（2，3），（0，1），因此直线l 的函数解析式为：y＝x+1；
1 1
因此所求的二元一次方程组为：
．
故选：A．
【变式3-2】如图，两条直线的交点坐标（2，3）可以看作两个二元一次方程的公共解，
其中一个方程是x﹣y＝﹣1，则另一个方程是（ ）
A．2x﹣y＝﹣1 B．2x﹣y＝1 C．2x+y＝﹣1 D．3x﹣y＝﹣1
【答案】B
【解答】解：A．把 代入方程2x﹣y＝﹣1，左边＝1，右边＝﹣1，左边≠右边，故A不合题意；
B．把 代入方程2x﹣y＝1，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，故B符合题意；
C．把 代入方程2x+y＝﹣1，左边＝7，右边＝﹣1，左边≠右边，故C不合题意；
D．把 代入方程3x﹣y＝﹣1，左边＝3，右边＝﹣1，左边≠右边，故D不合题意；
故选：B．
【考点3 方程组解的几何意义】
【典例4】如图，直线y ＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y ＝﹣2x+6的图象与y轴交
1 2
于点B，两者相交于点C．
（1）方程组 的解是 ；
（2）当y ＞0与y ＞0同时成立时，x的取值范围为 ；
1 2
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线y ＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积
1
相等，请求出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：方程组 的解为： ；故答案为： ；
（2）如图所示：当y ＞0与y ＞0同时成立时，
1 2
x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（3）∵令x＝0，则y ＝﹣2，y ＝6，∴A（0，﹣2），B（0，6）．
1 2
∴AB＝8．
∴S△ABC ＝ ×8×2＝8；
（4）令P（x
0
，2x
0
﹣2），则S△ABP ＝ ×8×|x
0
|＝8，
∴x ＝±2．
0
∵点P异于点C，
∴x ＝﹣2，2x ﹣2＝﹣6．
0 0
∴P（﹣2，﹣6）．
【变式4-1】如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，
3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P
（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3）．
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得 ，
解得， ，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积＝ OC•|y |＝ ×2×3＝3；
p
（4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣
1，3），
所以方程组的解为 ．
【变式4-2】若正比例函数y ＝﹣x的图象与一次函数y ＝x+m的图象交于点A，且点A的
1 2
横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数y ＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出
2
点B坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入y＝﹣x，得y＝1，
则点A坐标为（﹣1，1），
将A（﹣1，1）代入y＝x+m，得﹣1+m＝1，
解得：m＝2，
所以一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）∵方程组 的解为 ，
∴方程组 的解为 ；
（3）
设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），
∵A（﹣1，1），
∴ ，
①当B点在第一象限时，则S△BOC ＝1，
设B的横坐标为m，
∴ ，
解得：m＝1，
即点B的横坐标是1，
把，x＝1代入y＝x+2得：y＝3，
∴B（1，3）；
②当B点在第三象限时，则S△BOD ＝1，
设B的纵坐标为n，∴ ，
解得：n＝﹣1，
即点B的纵坐标是﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+2得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣1），
综上，点B的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．
