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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.5第5章生活中的轴对称单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•江阴市月考）北京冬奥会圆满落下帷幕，中国交出“满分”答卷，得到世界高度赞扬．组成
本次会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形，
故选：D．
2．（2020春•郫都区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则
∠B'度数为（ ）A．110° B．70° C．90° D．30°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故选：A．
3．如图，△ABC与△DEF关于直线MW轴对称，以下结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE
C．AB∥DF D．AD的连线被MN垂直平分
【分析】由题意可知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可知∠B＝∠E，AB＝DE，再由轴对称的
性质可知AD的连线被MN垂直平分．
【解析】∵△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，AB＝DE，
故A、B不符合题意；
由轴对称的性质可得AD的连线被MN垂直平分，
故D不符合题意；延长ED、BA交MN于点P，延长AC、DF交MN于点Q，
若AB∥DF，则∠APQ＝∠PQF，
∵∠AQP＝∠PQF，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
而AP与AQ不一定相等，
故C符合题意；
故选：C．
4．（2020春•丹阳市期末）如图，在四边形ABCD中，△ABC与△ADC关于对角线AC对称，则以下结论
正确的是（ ）
①AC平分∠BAD
②CA平分∠BCD
③BD⊥AC
④BE＝DE．A．①②③④ B．①②③ C．①② D．④
【分析】根据轴对称的性质推出△ABC≌△ADC，推出∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AD＝AB，
根据等腰三角形性质求出BE＝DE，AE⊥BD，根据以上结论判断即可．
【解析】∵△ABC与△ADC关于对角线AC对称，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴①正确；②正确；
AB＝AD，
∴BE＝DE，AE⊥BD，∴④正确；
即BD⊥AC，∴③正确．
故选：A．
5．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，
AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
【分析】由DE是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB＝DC，则所求△ACD的周长＝AB+AC，再将
已知代入即可．
【解析】∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，
∵AB＝9，AC＝6，
∴△ACD的周长＝9+6＝15，
故选：C．
6．（2021秋•集贤县期末）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度．A．62 B．59 C．62或59 D．62或56
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得
答案．
【解析】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于62°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是62°，
②设该等腰三角形的底角是x，
则2x+62°＝180°，
解得x＝59°，即该等腰三角形的底角的度数是59°．
故选：C．
7．（2019秋•方城县期末）如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管
DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的
根数最多是（ ）
A．7根 B．8根 C．9根 D．10根
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角
形的内角和定理不难求解．
【解析】∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，
∴∠DBE＝∠DEB＝10°，
∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝20°，
∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，
…
由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是 10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个
是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就
不存在了．所以一共有8个，
∴添加这样的钢管的根数最多是8根．
故选：B．
8．（2021秋•湖里区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P 与点P关于OA对称，点P 与点
1 2P关于OB对称，则△P OP 是（ ）
1 2
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解析】∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P 、P ，
1 2
∴OP＝OP ＝OP 且∠P OP ＝2∠AOB＝60°，
1 2 1 2
∴故△P OP 是等边三角形．
1 2
故选：C．
9．（2018秋•呼和浩特期中）如图，三角形 ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝50°，则∠CDE＝（
）
A．40° B．45° C．25° D．20°
【分析】根据三角形外角和定理得出∠EDC+∠C＝∠AED，进而求出∠C+∠EDC＝∠ADE，再利用
∠B+∠BAD＝∠ADC，进而利用已知求出即可．
【解析】∵∠EDC+∠C＝∠AED，∠ADE＝∠AED，
∴∠C+∠EDC＝∠ADE，
又∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴∠B+50°＝∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B＝∠C．
∴2∠EDC＝50°，
∴∠EDC＝25°．故选：C．
10．（2021秋•定陶区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C
重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D
为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝
CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到
∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据
三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解析】①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2020秋•陇县期中）已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，点Q是射线OM上的一
个动点，则线段PQ的最小值是 4 ．【分析】先判断Q点的位置，再根据角平分线的性质可求解线段PQ的最小值．
【解析】当PQ⊥OM时，PQ有最小值．
∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，
∴PQ＝PA＝4，
故答案为4．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线DE交AC于
点D，交AB于E点，连结BD，则∠DBC的度数为 3 0 度．【分析】已知∠A＝40°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD＝
∠A，易求∠DBC．
【解析】∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB＝AD
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
13．（2021秋•鼓楼区校级期末）若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是 等腰三角形（答案不唯
一） （写出一个答案即可）．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解析】若一个图形是轴对称图形，则这个图形可以是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形（答案不唯一）．14．（2019秋•长汀县期中）△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，
则BC＝ 9 或 1 3 ．
【分析】首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形
三边关系验证答案．
【解析】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得 或 ，
解得 或 ，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故答案为：9或13．
15．（2018秋•荔城区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直
平分线交BC于点E，则△ADE的周长为 9 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB＝DA，
∵AC的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+AE+EC＝BC＝9．
故答案为：9．
16．（2020秋•南岗区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，
△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为 10 ° ．【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解析】∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB′D＝∠B＝50°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，
故答案为10°．
17．（2009•泰州模拟）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正
方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 （填出所有符合
要求的小正方形的标号）
【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方
形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解析】2，3，4，5，7．
18．（2021秋•兴城市期中）如图，∠AOB＝15°，P是OA上一点，P与P′关于OB对称，作P′M⊥OA
于点M，OP＝4，则MP′＝ 2 ．
【分析】如图，连接OP′．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【解析】如图，连接OP′．∵P与P′关于OB对称，
∴∠AOB＝∠P′OB＝15°，OP′＝OP＝4，
∴∠AOP′＝30°，
∵P′M⊥OA，
∴∠OMP′＝90°，
∴P′M＝ OP′＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•嘉鱼县期末）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白
正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题．
【解析】如图有5种方法：
20．（2020秋•洮北区期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度数．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质进而得出对应线段关系即可得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质进而得出对应角关系即可得出答案．
【解析】（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM＝CM，ND＝NP，
∵△PMN的周长＝PN+PM+MN，PN+PM+MN＝CD＝18cm，
∴△PMN的周长为：18cm；
（2）∵点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD，
∴CM＝PM，PN＝DN，
∴∠C＝∠MPC，∠D＝∠NPD，
∵∠PRM＝∠PTN＝90°，
∴在四边形OTPR中，∠CPD+∠O＝180°，
∵∠D+∠C+∠CPD＝180°，
∴∠C+∠D＝∠O＝49°，
∴∠MPN＝180°﹣49°×2＝82°．
21．（2019秋•苍溪县期中）如图，在△ABC中，直线l交AB于点M，交BC于点N，点B关于直线l的对称点D在线段BC上，且AD⊥MD，∠B＝28°，求∠DAB的度数．
【分析】利用轴对称图形的性质得出MD＝MB，进而得出∠AMD的度数，进而得出答案．
【解析】∵点B关于直线l的对称点是点D，
∴直线l是线段DB的垂直平分线，
∴MD＝MB，
∴∠MDB＝∠B＝28°，
∴∠AMD＝∠MDB+∠B＝56°，
在Rt△ADM中
∠DAB＝90°﹣56°＝34°．
22．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的
垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝
FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，计算即可；
（2）根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】（1）∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝95°，
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝10°；
（2）由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝50．
23．（2021秋•嘉鱼县期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，且AC＝BC，求∠C的度数．
【分析】（1）根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由 AB＝AD＝DC可得∠DAC＝
∠C，易求解；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解析】∵∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝ ∠ADB＝40°，
∴∠C＝40°．
故∠C的度数是40°；
（2）设∠B＝x°，
∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，
∵AB＝AD＝DC，
∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝ x°，
在△ABC中，x+x+ x＝180，
解得：x＝72，
∴∠C＝ ×72°＝36°．
故∠C的度数是36°．
24．（2020春•高邮市期末）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，
将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝125°，求∠CEB'的度数；
（2）如图2．试探究∠ADB'与∠CEB'的数量关系，并说明理由；
（3）连接CB'，当CB'∥AB时，直接写出∠CB'E与∠ADB'的数量关系为 ∠ CB ′ E +80 ° ＝∠ ADB ′或
∠ CB ′ E + ∠ ADB ′＝ 80 ° ．
【分析】（1）连接BB′，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）方法类似（1）．
（3）分两种情形：如图1﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：∠CB′E+80°＝∠ADB′；如图2中，
当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′＝80°．分别利用平行线的性质证明即可．
【解析】（1）如图1中，连接BB′．由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝80°，
∵∠ADB′＝∠DBB′+∠DB′B＝125°，
∴∠EBB′+∠EB′B＝160°﹣125°＝35°，
∴∠CEB′＝∠EBB′+∠EB′B＝35°．
（2）结论：∠CEB′＝∠ADB′+20°．
理由：如图2中，
∵∠ADB′+∠BEB′＝360°﹣2×（180°﹣80°），
∴∠ADB′+180°﹣∠CEB′＝160°，
∴∠CEB′＝∠ADB′+20°．
（3）如图1﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：∠CB′E+80°＝∠ADB′
理由：连接CB′．
∵CB′∥AB，
∴∠ADB′＝∠CB′D，
由翻折可知，∠B＝∠DB′E＝80°，
∴∠CB′E+80°＝∠CB′D＝∠ADB′．如图2中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′＝80°．
理由：连接CB′．
∵CB′∥AD，
∴∠ADB′+∠DB′C＝180°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠DB′E＝100°，
∴∠CB′E+100°+∠ADB′＝180°，
∴∠CB′E+∠ADB′＝80°．
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°．
故答案为：∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°．
