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第五章 二元一次方程组
1. 系统梳理二元一次方程（组）的概念、解法，能熟练用代入消元法和加减消元法求
解方程组。
教学目标 2. 掌握列二元一次方程组解决实际问题的步骤，能分析行程、利润等常见场景的等量
关系，提升建模能力。
3. 体会“消元”思想的转化价值，通过小组合作总结解题技巧，增强知识迁移与综合应用能力。
1.重点
（1）熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，明确两种方法的适用场
景，确保计算高效准确。
（2）精准找出实际问题中的两个等量关系，规范列方程组的过程，能验证解的合理
性。
教学重难点
2.难点
（1）面对系数复杂的方程组时，灵活选择消元方法并简化计算，避免因步骤繁琐出
错。
（2）分析复杂实际问题（如含隐藏条件的应用题）时，准确提炼等量关系，建立贴
合题意的方程组。
【清单01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成
x y0
，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【清单02】 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【清单03】二元一次方程（组）的应用
一．解题步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
步 组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100
【清单04】二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【清单05】二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于
k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
题型01 二元一次方程（组）的概念
【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·青海西宁·期中）下列是二元一次方程的是（ ）A． B．
C． D．
【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③ ，
④ ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
题型02 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
【典例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知 ，则 时，它是关于x，y
的二元一次方程．
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）若 是一个关于x，y的二元一次方程，那么
．
【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）若 是关于 的二元一次方程，则
的值为 ．
题型03 二元一次方程（组）的解
【典例3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各组数中，是二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程 的部分解，表2为二元一次
方程 的部分解，则方程组 的解为 （ ）
表1 x 1 2
y 1表2 x 0 1 2
y 0
A． B． C． D．
题型04 已知二元一次方程（组）的解求代数式的值
【典例4】（24-25七年级下·山东东营·期中）若方程组 的解是 ，则 ，
．
【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于 ， 的方程组 的解为 则
的值为 ．
【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于 、 的方程组 的解为 ，则
关于 、 的方程组 的解为
题型05 解二元一次方程组
【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【变式1】（25-26八年级上·重庆·月考）解方程组
(1)
(2)
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）加减消元法解下列方程组：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ；
(5) ．
题型06 二元一次方程组-错解复原问题
【典例6】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）下面是两位同学解方程组 的做法，
浩浩的做法如下：
由①×2得 ③
芊芊的做法如下：
由②＋③得
由方程①得 ③
将方程③代入②得 解得
解得
把 代入①得
把 代入③
∴方程组的解为
∴方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题．
(1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ．
(2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 下面是小张同学解二元一次方程组
的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：
解： ，得 ③…第一步
，得 …第二步
…第三步
代入①，得 …第四步所以，原方程组的解为 …第五步
(1)小张同学的解题过程从第________步开始出现错误；
(2)解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是
________（填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
(3)请写出正确的解题过程．
【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成
相应的任务：
解方程组：
解：① ，得 ③ 第一步
② ③，得 第二步
两边都除以 ，得 第三步
将 代入①，得 ，解得 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
任务一：
（1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________；
A．代入消元法 B．加减消元法 C．公式法 D．换元法
（2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现
的数学思想是___________；
A．数形结合 B．分类讨论 C．类比思想 D．转化思想
任务二：
贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________．
题型07 二元一次方程组-同解问题
【典例7】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组 与方程组 的解相同，则
．
【变式1】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）已知关于 ， 的两个方程组 和
的解相同，则 ．【变式2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于 、 的方程组 和 的解相同，
则 的值 ．
题型08 二元一次方程组中特殊解法问题
【典例8】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力 先阅读材料，再解方程组．
解方程组：
解：将 看作一个整体，将①整体代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组：
【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算： ，
，其中a，b是常数．已知 ， ．
(1)直接写出a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解为 ，直接写出关于x，y的方程组
的解．
【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，
我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代
替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，令 ， ．原方程组化为 ，解得
，把 代入 ， ，得 ，解得 ． 原方程组的解为
．(1)解方程组 ．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组 的解是 ，关于x、y的方程组 的
解是__________．
题型09 二元一次方程组的应用
【典例9】（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔
记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元．
(1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？
(2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用 （元）与笔记本
的数量 （个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？
【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制
作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费
（元）与印制数 （张）的函数关系如下表：
甲印刷社 0.15元/张
500张以内（含500
张） 0.20元/张
乙印刷社
超过500张部分
0.10元/张
(1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？
(2)若印刷费用为 元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数 之间的函数关系式，并说明宣传单
张数为600时选择哪家印刷社比较划算．
【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，
该企业进行试生产．他们购得规格是 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或
裁法二裁下A型与B型两种板材，如图①所示（单位： ）．(1)列出方程（组），求出图①中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将 张标准板材按裁法一裁剪， 张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如
图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横
式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数．
【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案．
素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下
表是学校前两年的购买记录．
年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元
2022 100 80 7300
2023 120 60 7500
素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级
段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版．
【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价．
【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好
用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？
【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所
有衣服和裤子总数量的 ，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案）
题型10 二元一次方程组中新定义型探究问题
【典例10】（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程 与二元一次方程 互
为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一次方
程”．
(1)直接写出二元一次方程 的“反对称二元一次方程”：__________．
(2)二元一次方程 的解 ，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．
【变式1】（24-25七年级下·北京西城·期中）关于 ， 的二元一次方程组 （其中
是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ＝ ，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
① ；② ；③ ④ ．
(2)若关于 ， 的方程组 是“美好”方程组，求 的值．
【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程 （其中 ），
若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程 称为原方程 的“对称方程”．例如方
程 的“对称方程”为 ．
(1)写出方程 的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
(2)若关于x，y的二元一次方程 与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求m，n的值；
(3)若关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，且与它的“对称方程”组成的方程组的
解恰是关于x，y的二元一次方程 的一个解，直接写出代数式 的值．
题型11 二元一次方程组与一次函数的问题
【典例11】如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 ，
的方程组 的解为 ．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象交于点 ，则关于x，y
的方程组 的解为 ．
【变式2】如图、直线 （k是常数且 ）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线
（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线 相交于点 ．(1)直接写出方程组 的解为______；
(2)求直线 与x轴围成的三角形的面积；
(3)过点P的直线把 的面积两等分，求这条直线的表达式．
题型12 利用二元一次方程组求一次函数的表达式问题
【典例12】已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若 在该函数图象上，求 的值．
【变式1】如图，平面直角坐标系中，直线 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比例函数
的图象为直线 ，直线 ， 的交点为点 ．
(1)求直线 的解析式及点 的坐标；
(2)若点 为 轴上一动点，当 时，求点 坐标．
【变式2】如图，直线 ： 分别与x轴、y轴交于点A，C，直线 经过点 ，与 交于点
D，且点D的横坐标为1．(1)求直线 的函数表达式；
(2)点P是线段 上一点，过点P作垂直于y轴的射线 ，分别与y轴和直线 交于点E，F．设点P的
横坐标为m．
（i）若 ，求点P的坐标；
（ii）若 ，且点P位于y轴右侧，求线段 的长．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ，是 的一个解，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（25-26八年级上·广西百色·期中）已知一次函数 与 的图象交于点 ，则关于
x、y的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）甲，乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即
返回A地，两车离A 地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下
列说法正确的是（ ）A．甲车速度与乙车速度的比为3：2
B．甲，乙两车在途中两次相遇的时间间隔为7.5min
C．第二次相遇时间是第14 min
D．出发后，乙车比甲车先到达A地
二、填空题
6．（23-24七年级下·海南海口·期末）由 ，得到用 表示 的式子为 ．
7．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若 ，则 的值为 ．
8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线 和 的位置关系为 ．由此可
知，方程组 的解的情况为 ．
9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，
则阴影部分的面积之和为 ．
10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算 如下： ， 和 均为常数，已知：
， ，则 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组：
(1)
(2)
12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点
A，与y轴交于点D，直线 与x轴交于点 ，与 相交于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点M是y轴上一动点，若 ，求点M的坐标．
13．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7
件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210
元．
(1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
(2)若该商店决定花600元购进这两种文创产品，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案？请写出所
有购买方案．
14．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线 与直线 交于点 ， 与
轴、 轴分别交于点 和点 ，
(1)求 的值；
(2)直接写出二元一次方程组 的解；
(3)若点 是 轴上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．
15．（25-26七年级上·山东济南·期中）甲、乙两人开车同时分别从相距30km的 、 两地出发，相向而
行．图中 分别表示甲、乙两人距 地的距离 、 与行驶时间 之间的函数关系，请根
据图象回答下列问题：(1)分别求出 、 与 之间的函数关系式；
(2)求出乙行驶多长时间与甲相遇；
(3)当 为何值时，甲、乙相距8km？
16．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ，甲看错了方程①
中的 ，得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求原方程组的解；
(3)直接写出关于 ， 的二元一次方程组 的解．
17．（25-26八年级上·全国·期末）情境素材绿动未来——追踪碳排放．
素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动
汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为 ，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化
碳总量约为 ．
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的
阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收 二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收
二氧化碳．
(1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？
(2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的
二氧化碳总量为 ．
①求w 和a 之间的函数表达式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵
树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
18．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于 的二元一次方程组 （其中
是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡
一”方程组．(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
