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23.1 图形的旋转
【考点归纳】【知识梳理】
知识点一．旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_
旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_．
旋转有三要素：（1）旋转中心；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_．
知识点二．旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
知识点三．旋转作图的基本步骤
（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
【题型探究】
题型一：生活中的旋转现象
【例1】．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．下列选项中不能由下图旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ）
A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动
C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行题型二：旋转的三要素
【例2】．在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形 （所有顶点都是
网格线交点），在网格线交点 中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式1】．如图，将 绕点 旋转后得到 ，则旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转 B．逆时针旋转
C．顺时针旋转 D．逆时针旋转
【变式2】．如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转 ，得到 ，则旋转中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
题型三：旋转性质求角度问题
【例3】．如图，在三角形 中， ，将三角形 绕点 按逆时针方向旋转 得到三角形 ，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式1】．如图，在 中， ，将 绕点B逆时针旋转，得到 ，点D恰好落在 的延长
线上，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．如图，将 绕点C顺时针旋转后得到 ，且点 恰好落在边 上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型四：旋转性质求线段问题
【例4】．如图，将矩形 绕点A逆时针旋转，得到矩形 ，点 的对应点 落在 上，且 ，
则 长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．如图，在等边 中， ，点 是 的中点，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
连接 ，那么线段 的长为（ ）A． B．6 C． D．
【变式2】．如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转，点C落在边 上
的E处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
题型五：旋转中的坐标问题
【例5】．如图， 的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，将 沿 方向平移，使
点 与点 重合，再将所得三角形绕点 逆时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．如图，线段 在直角坐标轴中，已知 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的
对应点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【变式2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知 ，点A的坐标是
，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转 ，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型六：旋转中的规律问题
【例6】．如图，菱形 的对角线交于原点O， ， ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次
旋转 ，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转2025次得到正方形 ，如果点A的坐标为 ，那么点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．如图，正方形 中，其中 ， ，将正方形 绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，
问 次旋转后点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型七：旋转几何变换之线段问题
【例7】．正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的点，且 ．将 绕点 逆时针旋
转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【变式1】．如图，点M、N分别在正方形 的边 上，且 ，把 顺时针旋转一定角
度后得到 ．(1)填空： 绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到 ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求正方形 的边长．
【变式2】．如图1，正方形 的边长为 ，点 为正方形 边上一动点，过点 作 于点 ，将
绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ．
(1)证明： ．
(2)延长 交 于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ，求线段 的长度．
题型八：旋转几何变换之面积问题
【例8】．如图，已知正方形 ， 是正方形 内一点．若 ， ，将 绕点 顺时针旋
转至 处，此时点 、 、 三点正好在同一直线上．
(1)求 的度数；
(2)求 的长；(3)求 的面积．
【变式1】．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
(1)请画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)请画出 绕点 顺时针旋转 后的 ；
(3)在 旋转到 的过程中，则 扫过的面积为______．
【变式2】．（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， C上，若 ，则 ， ，
之间的数量关系为________________；（提示：以点 为旋转中心，将 顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形， ， ， 是底边 上任意两点，且满足
，试探究 ， ， 之间的关系；
拓展应用：（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形 ， ，菱形的边长为 ， ， 分别为边 ， 上
任意两点，且满足 ，请直接写出四边形 的面积．
题型九：旋转几何变换之角度问题
【例9】．如图，点E是正方形 内一点，将 绕点A顺时针旋转至 ，点E的对应点为点F．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
【变式1】．如图，在四边形 中， ，连接AC，将 绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重
合，得到 ，若 ，
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求线段 的长度．
【变式2】．如图，在 中， ，点 为 边上一点（不与点 重合），连接 ，将
绕点 逆时针旋转得到 ．(1)若 ，写出旋转角及其度数；
(2)当 度数变化时， 与 之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
题型十：旋转几何变换压轴问题
【例10】．将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ．
(1)如图，当点E在 上时．
①若 ，则 _____________°；
②求证： ；
(2)探究：当 为何值时， ？请你画出图形，并说明理由．
【变式1】． 中， ，垂足为E，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)当点E在线段 上， 时，如图①，求证： ：
(2)当点E在线段 延长线上， 时，如图②；当点E在线段 延长线上， 时，如图③，请猜想并直接写出线段 ， ， 的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，则 ______．
【变式2】．如图，四边形 是正方形，连接 ，将 绕点A逆时针旋转α得到 ，连接 ，O
为 的中点，连接 ．
(1)如图1，当 时，求证： ．
(2)如图2，当 时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【高分演练】
一、单选题
1．下列情境属于旋转的是（ ）
A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动
C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管
2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若 可以由 旋转得到，则正确的旋转方式是
（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
3．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，点D恰好落在 的延长线上，则旋
转角的度数为( )
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ，将 绕着点O逆时针旋转 后得到 ．若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．下列结论错误
的是（ ）
A． B．
C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线
6．如图，菱形 的对角线 、 交于点 ，将 绕着点C旋转 得到 ，连
接 ，则 的长是( )A．3 B．4 C．5 D．7
7．如图，将 绕点 顺时针旋转得到 （点 、 的对应点分别是点 、 ），点 恰好落在 的延
长线上，连接 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形 中，点 为对角线 上一点， ． 且 ，连接 ．将线段
绕点 逆时针旋转得到线段 ，使 ，则 的度数为（）
A． B． C． 或 D． 或
9．如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 角 至 ，
使得点 恰好落在 边上，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O， ，现以点O为旋转中心，将 所在的直线
绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边 ， 所在的直线分别交于点E，F，连接 、 ，要
使四边形 是矩形，这个旋转角的度数最小是（ ）A． B． C． D．
11．如图，菱形 的对角线交于原点O， ， ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转
，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，过点
作 的垂线，垂足为点 ，与 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
13．如图，把 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，若 ，则 ．
14．如图，在 中， ， ，点 ， 在边 上， ， ， ，则
的长 ．15．如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接
，则 的长为 ．
16．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系 中的图形进行分析，将边长为2的正方形
（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将
各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转 ．那么点C在经过两次变换后的对应点 的坐标
为 ．
17．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置．过点 作
于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
18．如图，在等边 中， ，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
点 是 边的中点，连接 、 ，则 的最小值是 ．三、解答题
19．如图，在 的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位）， 的三个顶点都在格点上．建
立如图所示的直角坐标系．
(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出旋转后的图形．
(2)写出点 、 的坐标．
20．如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连
接 与 交于点 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
21．如图， 中， ，将 绕A点逆时针旋转得到 ，连接 交于点
F．(1)求 的度数；
(2)若 ，四边形 是菱形，求 的长度．
22．如图，点 是等边 内一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，请直接写出 的度数．
23．如图，在正方形 中，E、F是对角线 上的两点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到
线段 ，连接 ．
如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点， ，将 绕点
顺时
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．24．已知：如图 和 都是等边三角形．D是 延长线上一点， 与 相交于点P， 与 相交
于点M．
(1)说明： 是 经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明）
(2)在图①中，①求证： ；
② ______ ．
(3)当 绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，
① 的度数会发生变化吗？请说明理由？
②求证：点C落在 的角平分线上．
25．如图1，点E为正方形 内一点， ，将直角三角形 绕点A逆时针方向旋转
度 ，点B、E的对应点分别为点 ．
(1)如图2，在旋转的过程中，点 落在了 上，求此时 的长；
(2)若 ，如图3，得到 （此时 与D重合），延长 交 于点F，①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②连接 ，求 的长；
(3)在直角三角形 绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段 长度的取值范围．
