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第五章 二元一次方程组
1. 系统梳理二元一次方程（组）的概念、解法，能熟练用代入消元法和加减消元法求
解方程组。
教学目标 2. 掌握列二元一次方程组解决实际问题的步骤，能分析行程、利润等常见场景的等量
关系，提升建模能力。
3. 体会“消元”思想的转化价值，通过小组合作总结解题技巧，增强知识迁移与综合应用能力。
1.重点
（1）熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，明确两种方法的适用场
景，确保计算高效准确。
（2）精准找出实际问题中的两个等量关系，规范列方程组的过程，能验证解的合理
性。
教学重难点
2.难点
（1）面对系数复杂的方程组时，灵活选择消元方法并简化计算，避免因步骤繁琐出
错。
（2）分析复杂实际问题（如含隐藏条件的应用题）时，准确提炼等量关系，建立贴
合题意的方程组。
【清单01】二元一次方程（组）定义
1.二元一次方程组定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组定义
方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
x y2,
做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成
x y0
，
3.二元一次方程（组）的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【清单02】 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
【清单03】二元一次方程（组）的应用
一．解题步骤1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程
步 组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100
【清单04】二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【清单05】二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于
k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
题型01 二元一次方程（组）的概念
【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；
根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可，
【详解】解： A、含有1个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是一元一次方程，故不符合题意；
B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意；
C、分母中含有未知数，不是整式方程，更不是二元一次方程，故不符合题意；
D、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意，
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·青海西宁·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义；根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整
式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可，
【详解】解： A、分母中含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
C、 是二元一次方程，本选项符合题意，
D、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③ ，
④ ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两
个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断．
【详解】解：① ，符合二元一次方程组的概念；
② ，符合二元一次方程组的概念；
③ 中， 中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念；④ 中， 不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念；
⑤ ，符合二元一次方程组的概念；
综上，①②⑤是二元一次方程组．
故选：A．
题型02 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
【典例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知 ，则 时，它是关于x，y
的二元一次方程．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一
次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）若 是一个关于x，y的二元一次方程，那么
．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，即可得出答案．
【详解】解： 是一个关于x，y的二元一次方程，
， ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）若 是关于 的二元一次方程，则
的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查根据二元一次方程的定义，求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到二元一次方程
组，两个方程相减后，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得： ，
，得： ；
故答案为：4．题型03 二元一次方程（组）的解
【典例3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各组数中，是二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
分别将选项中的解代入二元一次方程，使方程成立的即为所求．
【详解】解：当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B不符合题意；
当 时， ，故C符合题意；
当 时， ，故D不符合题意；
故选：
【变式1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为 的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只
要检验 是否是选项中方程的解即可．
【详解】解：A、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误；
B、把 满足 中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确；
C、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误；
D、把 代入方程 ，左边 ，故不是方程组的解，故选项错误．故选B．
【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程 的部分解，表2为二元一次
方程 的部分解，则方程组 的解为 （ ）
表1 x 1 2
y 1
表2 x 0 1 2
y 0
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次
方程组的解的定义，从表格中找到答案即可．
【详解】解：由表格可知， ， 是二元一次方程 的解， ， 是二元一次方程
的解，
关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ．
故选：C．
题型04 已知二元一次方程（组）的解求代数式的值
【典例4】（24-25七年级下·山东东营·期中）若方程组 的解是 ，则 ，
．
【答案】 1
【分析】本题考查了方程组的解．将 代入方程组，计算即可求解．
【详解】解：由题意得
，
由②得， ，
将 代入①，得 ，
解得： ，
故答案为：1； ．【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若关于 ， 的方程组 的解为 则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字
母的值是解题的关键．
将方程组的解代入求出 ， 的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，方程组 的解为 ，
所以 ，
解得： ；
故 ；
故答案为：
【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于 、 的方程组 的解为 ，则
关于 、 的方程组 的解为
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意先求出 ，代入方程组 中，令
，则则 ，解方程组从而求出 的值．
【详解】解：已知方程组 的解为 ，
则 ，解得 ，
，解得 ，
方程组 中，令 ，则 ，
代入 ， ，则 ，
解得： ，
由 ，得 ，，
故答案为： ．
题型05 解二元一次方程组
【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)原方程组的解为
(2)原方程组的解为
【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法，运用消元思想，易错点是代入或求解过程中符号、系数
计算错误；解题思路是对于每个方程组，先从一个方程中解出一个未知数的表达式，再代入另一个方程消
去该未知数，进而求解两个未知数．
【详解】（1）解：由①得 ③；
把③代入②，得 ，
解得 ；
把 代入③，得 ；
所以原方程组的解为 ．
（2）由①得 ③
把③代入②，得 ，
解得
把 代入③，得 ，
所以原方程组的解为 ．
【变式1】（25-26八年级上·重庆·月考）解方程组
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键．
（1）先用加减消元法求出 ，将 代入①求出 ，即可求解；
（2）原方程组可化为 ，将方程组的第二个方程化为 ，用代入消元法进行求解即可．
【详解】（1）
解：① 得，
③，
② ③得，
，
解得： ，
将 代入①得，
，
解得： ，
原方程组的解为 ；
（2）解：原方程组可化为 ，
由②得，
③，
将③代入①得，
，
解得： ，
将 代入③得，
，
原方程组的解为 ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）加减消元法解下列方程组：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组
的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某
一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个
一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一
个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用
的形式表示．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用加减消元法解方程组即可；
（4）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可；
（5）利用加减消元法解方程组即可；
【详解】（1）解： ，① ② ，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ，
解得 ，
所以原方程组的解为 ；
（2）解： ，
得 ，
② ③得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ，
∴方程组的解为 ；
（3）解： ，
将 ，得 ，
即 ，
解得 ；
将 代入①得 ，
解得 ，
故原方程组的解是 ；
（4）解：方程 整理得到： ，
得， ，
解得： ，
把 代入①得， ，
解得 ，
∴方程组的解为 ；（5）解： ，
把① ② 得， ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
题型06 二元一次方程组-错解复原问题
【典例6】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）下面是两位同学解方程组 的做法，
浩浩的做法如下：
由①×2得 ③
芊芊的做法如下：
由②＋③得
由方程①得 ③
将方程③代入②得 解得
解得
把 代入①得
把 代入③
∴方程组的解为
∴方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题．
(1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ．
(2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【答案】(1)代入消元法；加减消元法
(2)浩浩； ，见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可；
（2）浩浩的做法中，由① 2得 ③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可．
【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法．
故答案为：代入消元法，加减消元法．
（2）解：浩浩.正确解答如下：
由① 2得 ③．
由② ③得 ．
解得 ．
把 代入①得 ．
方程组的解为 ．
【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 下面是小张同学解二元一次方程组
的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：
解： ，得 ③…第一步
，得 …第二步
…第三步
代入①，得 …第四步
所以，原方程组的解为 …第五步
(1)小张同学的解题过程从第________步开始出现错误；
(2)解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是
________（填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)二
(2)C
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解
答的前提．
（1）依据题意，利用二元一次方程组的解法，观察即可判断得解；
（2）依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想；
（3）依据题意，根据二元一次方程组的解法求解即可．
【详解】（1）解：由题意，根据二元一次方程组的解法，②-③得， ．
∴第二步开始出现错误．故答案为：二．
（2）解：第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转
化思想，
故选：C．
（3）解： ，得 ③．
，得 ．
．
把 代入①，得 ，
．
原方程组的解为 ．
【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成
相应的任务：
解方程组：
解：① ，得 ③ 第一步
② ③，得 第二步
两边都除以 ，得 第三步
将 代入①，得 ，解得 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
任务一：
（1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________；
A．代入消元法 B．加减消元法 C．公式法 D．换元法
（2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现
的数学思想是___________；
A．数形结合 B．分类讨论 C．类比思想 D．转化思想
任务二：
贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________．
【答案】任务一：（1）B；（2）D；任务二：三，【分析】本题考查了解二元一次方程组．
任务一：（1）根据解二元一次方程组的基本方法求解；
（2）将“二元”转化为“一元”是转化思想；
任务二：利用加减消元法解方程即可．
【详解】解：任务一：（1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法，
故选：B；
（2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现
的数学思想是转化思想，
故选：D；
任务二：贝贝同学的解题过程从第三步开始出现错误，
解方程组：
解：① ，得 ③，
② ③，得 ，
两边都除以 ，得 ，
将 代入①，得 ，
解得 ，
所以，原方程组的解为 ．
故答案为：三， ．
题型07 二元一次方程组-同解问题
【典例7】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组 与方程组 的解相同，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组 得 ，进而把
代入方程组 得到 ，解方程组 求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：解方程组 得 ，
∵方程组 与方程组 的解相同，∴ 是方程组 的解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）已知关于 ， 的两个方程组 和
的解相同，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组 和
的解相同，得方程组 的解是方程组 和 的解，再由
，得 ，然后将 代入 和 中，得 ，由此可得
的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵方程组 和 的解相同，
∴方程组 的解是方程组 和 的解，
解方程组 ，得 ，
将 代入 和 ，
得 ，
得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于 、 的方程组 和 的解相同，则 的值 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程
都成立的未知数的值．联立不含 与 的方程组成方程组，求出方程组的解得到 与 的值，进而求出 与
的值，代入 即可求解．
【详解】解：解 得，
，
把 代入 得，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
题型08 二元一次方程组中特殊解法问题
【典例8】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力 先阅读材料，再解方程组．
解方程组：
解：将 看作一个整体，将①整体代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【详解】解：由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，
所以原方程组的解为
【变式1】（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算： ，
，其中a，b是常数．已知 ， ．
(1)直接写出a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解为 ，直接写出关于x，y的方程组
的解．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键．
（1）利用新定义列出关于 、 的方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）将a，b的值；代入方程组 ，得出关于x，y的方程组，解方程组，用 表示x，y，代入
方程 中，即可求出m的值；
（3）由题意，将方程组 化为 ，即
，
根据方程组 的解为 ，得出 ，求解即可．
【详解】（1）解：由题意 ， ，得 ，
解得 ，
（2）由题意，方程组 可化为 ，
得 ，
，
，
；
（3）由题意，方程组 可化为 ，
方程组 可化为 ，
即 ，
由 方程组 的解为 ，
，解得 ，
则方程组 的解为 ．
【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，
我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代
替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，令 ， ．原方程组化为 ，解得
，把 代入 ， ，得 ，解得 ． 原方程组的解为．
(1)解方程组 ．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组 的解是 ，关于x、y的方程组 的
解是__________．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为
，解得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可；
（2）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为 ，
解得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可；
（3）将原方程组移项整理得 ，令 ， ，原方程组化为
，根据题意得 ，把 代入 ， ，得 ，解方程即可．【详解】（1）解： ，
移项整理得， ，
令 ， ，
原方程组化为 ，
解得 ，
把 代入 ， ，
得 ，解得 ，
原方程组的解为 ；
（2）解方程组 ，
移项整理得， ，
令 ， ，原方程组化为 ，
解得 ，
把 代入 ， ，
得 ，解得 ，
原方程组的解为 ；
（3）将关于x、y的方程组 ，移项为 ，
整理得 ，
令 ， ，原方程组化为 ，
根据题意得 ，
把 代入 ， ，
得 ，解得 或 ，
原方程组的解为 或 ．
题型09 二元一次方程组的应用
【典例9】（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔
记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元．
(1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？
(2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用 （元）与笔记本
的数量 （个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？
【答案】(1)每本笔记本30元，每支钢笔40元
(2)总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为 （ ，且 为整数），总费用至
少要1040元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解
题的关键．
（1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解；
（2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可．
【详解】（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元，
买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元；
，
解得 ，
每本笔记本30元，每支钢笔40元；（2）根据题意得： ，
，
随a的增大而减小，
而 ，
当 时，w取最小值，最小值为 ，
总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为 （ ，且 为整数），总费用至
少要1040元．
【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制
作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费
（元）与印制数 （张）的函数关系如下表：
甲印刷社 0.15元/张
500张以内（含500
张） 0.20元/张
乙印刷社
超过500张部分
0.10元/张
(1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？
(2)若印刷费用为 元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数 之间的函数关系式，并说明宣传单
张数为600时选择哪家印刷社比较划算．
【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张
(2) ， ，选择甲印刷社划算
【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读
懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题．
（1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解；
（2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将 分别代入求解比较即可．．
【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了 、 张宣传单，
，
解得 ，
答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张；
（2）根据题意得， ，
当 时，当 时，
∴ ，
当 时，
∵
∴选择甲印刷社划算．
【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，
该企业进行试生产．他们购得规格是 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或
裁法二裁下A型与B型两种板材，如图①所示（单位： ）．
(1)列出方程（组），求出图①中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将 张标准板材按裁法一裁剪， 张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如
图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横
式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数．
【答案】(1)
(2)可以做竖式无盖礼品盒 个，横式无盖礼品盒 个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据已知条件先列出二元一次方程组求出a与b
的值，再根据图示列出关于m、n的二元一次方程组并求解．
（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组并求解；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，根据已知和图示列出关于m、n的二元一次方
程组，然后求解即可．
【详解】（1）依题意，得 ，
解得 ；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，
依题意，得 ，解得 ，
所以可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案．
素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下
表是学校前两年的购买记录．
年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元
2022 100 80 7300
2023 120 60 7500
素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级
段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版．
【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价．
【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好
用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？
【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所
有衣服和裤子总数量的 ，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案）
【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、
裤子41件；任务3：11
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可；
任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则 ，得到 ，根据 ， 且
m， n均为正整数得到符合要求的解即可；
任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，
八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量
的 1 4 1 4 ，可得 ，整理得 ，根据总
花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可．
【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，
由题意，得
解得
答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；
任务2：设购买衣服m件，裤子n件，由题意，得 ，
化简，得 ，
∵ ， 且m， n均为正整数，
或
答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；
任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元，
∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，
设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七
年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的 1 4 1 4 ，可得 ，
整理得 ，
由题意，得 ，
将 代入，得
，
化简得 ．
∵ ， 且a， b均为正整数，
∴ ， ．
故答案为：11．
题型10 二元一次方程组中新定义型探究问题
【典例10】（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程 与二元一次方程 互
为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一次方
程”．
(1)直接写出二元一次方程 的“反对称二元一次方程”：__________．
(2)二元一次方程 的解 ，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可；
（2）先写出二元一次方程 的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n
的二元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：二元一次方程 的“反对称二元一次方程”为 ，
故答案为：（2）解：二元一次方程 的“反对称二元一次方程”为 ，
∵二元一次方程 的解 ，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
∴ ，解得 ，
∴ ， ．
【变式1】（24-25七年级下·北京西城·期中）关于 ， 的二元一次方程组 （其中
是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ＝ ，则称这个方程组为“美好”方
程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
① ；② ；③ ④ ．
(2)若关于 ， 的方程组 是“美好”方程组，求 的值．
【答案】(1)②③
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键；
（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出原方程组的解，再代入 ，即可求解．
【详解】（1）解：① ，解得： ，此时 ；
② ，解得： ，此时 ；
③ ，解得： ，此时 ；
④ ，解得： ，此时 ；
故答案为：②③；
（2）解： ，
由 得： ，解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∵关于x，y的方程组 是“美好”方程组，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程 （其中 ），
若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程 称为原方程 的“对称方程”．例如方
程 的“对称方程”为 ．
(1)写出方程 的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
(2)若关于x，y的二元一次方程 与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求m，n的值；
(3)若关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，且与它的“对称方程”组成的方程组的
解恰是关于x，y的二元一次方程 的一个解，直接写出代数式 的值．
【答案】(1) ，
(2) ；
(3)2025
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到 ，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程 的“对称方程”为 ，
联立得 ，
解得 ，故答案为： ， ；
（2）解：方程 的“对称方程”为 ，
联立得 ，
∵方程组的解为 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
方程 与它的“对称方程”组成的方程组为 ，
解得 ，
∴把 代入 可得 ，即 ，
∴
，
题型11 二元一次方程组与一次函数的问题
【典例11】如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 ，
的方程组 的解为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系．
将点 代入 ，求出点 坐标，则点 的横纵坐标即为方程组 的解．
【详解】解：由题意得将 代入 ，则 ，
∴ ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ，
故答案为： ．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象交于点 ，则关于x，y
的方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．由两函数图象交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点A的坐标即可．
【详解】解：∵点 在函数 上，
∴代入得 ，
解得 ，
∴交点坐标为 ，
故方程组的解为 ．故答案为： ．
【变式2】如图、直线 （k是常数且 ）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线
（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线 相交于点 ．
(1)直接写出方程组 的解为______；
(2)求直线 与x轴围成的三角形的面积；
(3)过点P的直线把 的面积两等分，求这条直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角
形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键．
（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得；
（2）分别求出 两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得；
（3）根据三角形中线的性质，找到 两点的中点，待定系数法求出表达式即可；
【详解】（1）解：将点 代入 得， ,
解得 ，
∴直线 ： ，
∵直线 ： 和直线 ： 相交于点 ．∴方程组 的解是 ．
（2）解：把 代入 ， 得： 和 ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 ， 与 轴围成的三角形面积为： ．
（3）解：把 分别代入 ， 得：
和 ，
∴ ，
∴ 的中点为 ，
设过点P且把 的面积两等分的直线的表达式为 ．
把点 ， 代入，得 解得
∴这条直线的表达式为 ．
题型12 利用二元一次方程组求一次函数的表达式问题
【典例12】已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若 在该函数图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）将点 代入 求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及利用一次函数解析式求点的坐标，掌握待定系数法是解
题关键．
【详解】（1）将 ， 代入一次函数 得，
，解得
∴ ；
（2）∵ 在该函数图象上，
∴
∴ ．
【变式1】如图，平面直角坐标系中，直线 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比例函数
的图象为直线 ，直线 ， 的交点为点 ．
(1)求直线 的解析式及点 的坐标；
(2)若点 为 轴上一动点，当 时，求点 坐标．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析数，函数交点的运算，三角形面积的运算，熟悉掌握一次
函数的图象性质是解题的关键．
（1）利用待定系数求出 的解析式，再联立 和 运算即可；
（2）利用三角形的面积公式列式运算即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，
解得 ，
所以，直线 的解析式 ，
联立 和 可得： ，
解得 ，
则 ，所以 ；
（2） 点 为 轴上的点，且 ，
，
解得： ，
点 的坐标为 或 ．
【变式2】如图，直线 ： 分别与x轴、y轴交于点A，C，直线 经过点 ，与 交于点
D，且点D的横坐标为1．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)点P是线段 上一点，过点P作垂直于y轴的射线 ，分别与y轴和直线 交于点E，F．设点P的
横坐标为m．
（i）若 ，求点P的坐标；
（ii）若 ，且点P位于y轴右侧，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)（i）点P的坐标为 或 （ii）2
【分析】（1）根据交点的意义，确定 ，后用待定系数法求直线 的函数表达式即可；
（2）（i）由题意知点P的横坐标为m，则 .，根据点P，F的纵坐标相同.
，确定 ，根据 ，得到 ，解绝对值方程解答即可；
（ii）由（i）可知 .确定点P的坐标为 ， ，根据两点间距离公式解答即可．
本题考查了交点坐标的意义，待定系数法，坐标的基本特征，坐标表示相等的线段，熟练掌握交点的意义，
待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入直线 ： ，
得 ，
∴ .设直线 的函数表达式为 .
把 ， 代入 ，
得
解得
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解：（i）由题意知点P的横坐标为m，
则 .
∵ 垂直于y轴，
∴ 轴，
∴点P，F的纵坐标相同.
∵点F在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
解得 或 .
当 时， ；
当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ．
（ii）由（i）可知 .
∵点P位于y轴右侧， ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 .
由题意知 轴，
∴点P，F的纵坐标相同.
∵点F在直线 上，∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次
数都是1的整式方程，进行判断即可．
【详解】解：A． 只含一个未知数，不符合条件，不是二元一次方程；
B． 中，项 的次数为2，不符合次数为1的条件，不是二元一次方程；
C． 含有两个未知数，且次数均为1，符合条件，是二元一次方程；
D． 中，项 的次数为2，不符合次数为1的条件，不是二元一次方程．
故选C．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 ，是 的一个解，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解
本题的关键．
将给定的解代入方程，即可直接求参数 m 的值．
把 代入方程 ，建立关于m的方程，求解即可．
【详解】解：把 代入方程 ，得，
解得： ，
故选：A．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得
，进而得到方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：
得 ，
∴ ，
∵方程组 的解满足 ，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
4．（25-26八年级上·广西百色·期中）已知一次函数 与 的图象交于点 ，则关于
x、y的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两个一次函数的图象交点的横纵坐标即
为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数 与 的图象交于点 ，
∴关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
故选：A．
5．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）甲，乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即
返回A地，两车离A 地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下
列说法正确的是（ ）A．甲车速度与乙车速度的比为3：2
B．甲，乙两车在途中两次相遇的时间间隔为7.5min
C．第二次相遇时间是第14 min
D．出发后，乙车比甲车先到达A地
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象的理解，行程问题中的速度、路程和时间关系及相遇问题．根据题中给出的
图象逐一分析每个选项，选择出正确选项即可．
【详解】解：设A，B两地的距离为S km，则由图象可知甲车的速度为 ，乙车的速度为
，所以甲车的速度与乙车的速度比为 ，故A错误；
由图象可得甲车离A地距离 与时间x之间的函数表达式为 ，
乙车离A地距离 与时间x之间的函数表达式为 ，
当 时，联立 与 的表达式，得 ，
解得 ，
即第一次相遇的时间是第7.5min，
当 时，联立此时的 与 的表达式，得 ，
解得 ，
即第二次相遇时间是第15 min，
则甲、乙两车在途中两次相遇时间间隔是： ，故B正确，C错误；
由图象可知甲车出发后第20分钟返回A地，乙车出发后第30分钟返回A地，所以甲车先到达A地，故D
错误．
故选：B．
二、填空题6．（23-24七年级下·海南海口·期末）由 ，得到用 表示 的式子为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数”是解本
题的关键．
通过移项和系数化为1，将原方程变形为用x表示y的形式。
【详解】解：由原方程 ，
移项得 ，
两边同时乘以 ，得 ，
化简得 。
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·四川乐山·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握偶次幂与算术平
方根的非负性是解题的关键；根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每
个部分均为零，从而得到方程组，解方程组求出x和y的值，再计算 的值．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
故答案为 ．
8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线 和 的位置关系为 ．由此可
知，方程组 的解的情况为 ．
【答案】 平行 无解
【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线
的 相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况．
【详解】解：∵对于两条直线 和 ， ，
∴两条直线平行；
方程组 可化为 ，∵两条直线平行，没有交点，
∴方程组无解，
故答案为：平行，无解．
9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，
则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】34
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为 ，宽为 ，根据题意列出二元
一次方程组，求出每个小长方形的长与宽，再表示出阴影部分的面积，代入计算即可得解，理解题意，正
确求出每个小长方形的长与宽是解此题的关键．
【详解】解：设每个小长方形的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ，
即阴影部分的面积之和为 ，
故答案为：34．
10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算 如下： ， 和 均为常数，已知：
， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，
求出a、b后代入计算即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解方程组，得： ，
所以 ，
故答案为：4．
三、解答题
11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组：(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）将 代入 求出 ，再将 代入 求解即可；
（2）将 变形为 ，将 代入 求出 ，再将 代入 求
解即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得 解得 ，
将 代入 ，
得
方程的解为
（2）解：将 乘以2得到 ，
移项得
将 代入 ，
得 ，
所以 ，
将 代入 得
方程的解为
12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点
A，与y轴交于点D，直线 与x轴交于点 ，与 相交于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)若点M是y轴上一动点，若 ，求点M的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，
解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点A、B的坐标，得出 ，然后根据 求出结果即可；
（3）设点 ，求出 ， ，根据题意得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 ： 与 相交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
把点 ， 代入得：
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴直线 与y轴的交点D的坐标为 ，∴ ，
当 时， ， ，
∴直线 与x轴的交点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：设点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或 ．
13．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7
件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210
元．
(1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
(2)若该商店决定花600元购进这两种文创产品，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案？请写出所
有购买方案．
【答案】(1)甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元
(2)共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创产
品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用：
（1）根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列二元一次方程，找到整数解即可求得结果．
【详解】（1）解：设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元；
（2）解：设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品n件，由题意得： ，
解得： ，
∴ 或 或 ；
答：共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创
产品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件．
14．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线 与直线 交于点 ， 与
轴、 轴分别交于点 和点 ，
(1)求 的值；
(2)直接写出二元一次方程组 的解；
(3)若点 是 轴上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题
的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
（1）把点P的坐标代入 中，求出 的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入 中，
求出m的值即可；
（2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案；
（3）如图，作点A关于y轴对称 点，则 ，由两点之间线段最短可知 的最小值为
的长，求出直线 的表达式，则可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，
∴ ，把点P坐标代入 中得 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得直线 与直线 交于点 ，
∴二元一次方程组 的解为 ；
（3）解：如图，作点A关于y轴对称 点，则 ，
由两点之间线段最短可知 的最小值为 的长，
，
在 中，当 时， ，
，
，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 ，得
解得
直线 的表达式为 ，
在 中，当 时， ，
点C的坐标为 ．
15．（25-26七年级上·山东济南·期中）甲、乙两人开车同时分别从相距30km的 、 两地出发，相向而
行．图中 分别表示甲、乙两人距 地的距离 、 与行驶时间 之间的函数关系，请根
据图象回答下列问题：(1)分别求出 、 与 之间的函数关系式；
(2)求出乙行驶多长时间与甲相遇；
(3)当 为何值时，甲、乙相距8km？
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数
的性质和数形结合的思想解答
（1）根据函数图象中点代入对应直线得解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）联立两个函数解析式，求出交点坐标即可得出相遇时间；
（3）甲、乙相距8km，即 或 ，由此列方程即可求解．
【详解】（1）解：设 将 代入 ，
得： ，解得：
∴
设 ，将 、 代入
得： ，
解得：
∴
（2）由题意得： ，
解得： ，
∴乙行驶 后与甲相遇；
（3）相遇前： ，解得：相遇后： ，解得
答：当 或 甲、乙相距8km
16．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ，甲看错了方程①
中的 ，得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求原方程组的解；
(3)直接写出关于 ， 的二元一次方程组 的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解
决本题的关键．
（1）将 代入 求出 ， 将 代入 求出 ；
（2）按照加减消元的方法解方程组即可；
（3）由（2）得出 ，再按照加减消元的方法解方程组即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ；
将 代入 得： ，
解得： ，
．
（2）解： ，
得： ，
解得： ，把 代入②得： ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ；
（3）解：由（2）可知 ，
得 ，
解得： ，
把 代入③得： ，
解得： ，
∴方程组的解为 ．
17．（25-26八年级上·全国·期末）情境素材绿动未来——追踪碳排放．
素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动
汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为 ，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化
碳总量约为 ．
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的
阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收 二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收
二氧化碳．
(1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？
(2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的
二氧化碳总量为 ．
①求w 和a 之间的函数表达式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵
树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
【答案】(1)一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 ，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是
(2)① ；②购买杨树30棵，冷杉70棵
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用.
（1）设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 ，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 ，根据题意列
方程组求解即可；
（2）①设购买杨树a棵，则购买针叶树 棵，进而根据题意列函数解析式即可；②根据一次函数的增减性可知w 随a 的增大而增大，进而可知当 时，w取最大值，进而计算即可.
【详解】（1）解：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 ，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 ．
由题意，得 ，
解得 ，
所以一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 ，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 ；
（2）解：①由题意，得 ．
②由①得 ．
由题意，得 ．
又 ，
所以w 随a 的增大而增大．
所以当 时，w取最大值，且最大值为 ，
此时 ．
所以当购买杨树30棵，冷杉70棵时，这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
18．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于 的二元一次方程组 （其中
是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡
一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
【答案】(1) /
②③③②
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（ ）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（ ）先求出原方程组的解，再代入 ，即可求解；【详解】（1）解：① ，
解得 ，
此时 ，
不是“郡一”方程组；
② ，
解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
③ ，
解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
故答案为：②③；
（2） ，
① ，得 ③，
②-③，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ，
关于 的方程组 是“郡一”方程组，
，即 ，
解得 或 ；
（3）若对于任意的无理数 ，关于 ， 的方程组 都是“郡一”方程组，
则 ，
联立得： ，
解得 或 ，
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
；
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
；综上所述， 的值为 或 ．
