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专题 5.4 二元一次方程与一次函数
1. 知识与技能：阐述二元一次方程与一次函数的内在联系，能将二元一次方程转化
为一次函数形式，理解方程的解与函数图象上点的坐标的对应关系。
2. 过程与方法：经历从代数到几何的转化过程，掌握用一次函数图象求二元一次方
教学目标
程组近似解的方法，培养数形结合与逻辑推理能力。
3. 情感态度：感受数学知识的关联性与统一性，激发学习兴趣，增强运用数学解决
实际问题的自信心与成就感。
1.重点
（1）核心关系理解：透彻掌握二元一次方程与一次函数在“数”（方程的解）与
“形”（函数图象）上的对应关系。
（2） 图象解法掌握：学会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解，建立
“数”与“形”的转化思维。
教学重难点
2.难点
（1）抽象关系转化：难以深度理解二元一次方程的解集与一次函数图象（直线）之
间的本质对应，数形结合意识薄弱。
（2）方法灵活应用：在实际问题中，无法熟练结合图象法与代数法解决问题，对近
似解的理解与运用存在困难。
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学科网（北京）股份有限公司知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图
象如图所示，则关于 的方程组 的解为 ．
2．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，
与x轴分别交于A，B两点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组 的解；
(2)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别交于点C，D，若线段 的长为2，求a的值．
知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于
k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
【即学即练2】
3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，一次函数的图像经过点 与点
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若 为此一次函数图像上一点，且 ，求点 的坐标．
4．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元
的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额．
(1)文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元；
(2)求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若
文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由．
题型01 利用两点式求一次函数的解析式
【典例1】已知一次函数的图象经过 两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)判断点 是否在该函数的图象上．
【变式1】已知一次函数的图象经过点 、 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果点 在这个一次函数图像上且它的纵坐标为 ，求点 的坐标．
【变式2】已知一次函数 的图象经过点 和点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求该一次函数的表达式；
(2)若点 向右平移3个单位后恰好落在直线 上，求 的值．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过原点，且与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)点 在 轴上，过点 作平行于 轴的直线，分别与直线 交于点 ．若 ，求 的
值．
题型02 图形中求一次函数的解析式
【典例2】如图，已知一次函数 的图象交正比例函数 于 ，交y轴于点 ，交x
轴于点A．
(1)求该一次函数解析式；
(2)求 的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 ，动点 沿路
线 运动．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的表达式；
(2)当 的面积是 的面积的 时，求出相应点 的坐标．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直
线与x轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点G是直线 上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线 交于点
H，且满足 ．求点G的坐标．
【变式3】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是线段 上任意一点（
， 两点除外）．
(1)求直线 的解析式；
(2)过点 分别作 于点 ， 于点 ，当点 在 上运动时，你认为四边形 的
周长是否发生变化？并说明理由；
题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解
【典例3】如图，函数 与 的图象的交点坐标可以看作方程组 的解．
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学科网（北京）股份有限公司【变式1】若一次函数 与 的图象交点为 ，则二元一次方程组 的解为
．
【变式2】在同一平面直角坐系中，直线 与 相交于点 ，则关于x，y的方程组
的解为 ．
【变式3】已知一次函数 与 的图象的交点为 ，则关于 的二元一次方程组
的解为 ．
题型04 图象法解二元一次方程组
【典例4】如图，直线 与直线 交于点 ，则关于x，y二元一次方程组 的
解是 ．
【变式1】如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是
．
【变式2】如图，一次函数 与 的图象交于点P，则关于x，y的方程组 的解是
．
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学科网（北京）股份有限公司【变式3】如图，正比例函数 （ ，且 为常数）的图象与一次函数 （ ，且 、
为常数）的图象交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是 ．
题型05 已知两直线求围成的图形面积
【典例5】在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线 与直线
相交于点 ，点A的坐标为 ．
(1)求n的值及直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)点 是直线 上的一点（不与点 重合），且点 的横坐标为 ，求 的面积S与m之间的关
系式．
【变式1】如图，函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数 的图象与x轴、
y轴分别相交于点D、点C，直线 ， 相交于点M．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请直接写出点M的坐标；
(2)求 的面积；
(3)点N在直线 上，使得 ，求点N的坐标．
【变式2】如图，直线 的解析式为 ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 、 ，直线 ， 交
于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3)求 的面积；
(4)在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 是 的面积的 倍，求点 的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点 ，直线 与 轴正半轴交于点
B，与y轴交于点 ，直线 与 轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且 ．
(1)分别求出直线 与 的表达式．
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学科网（北京）股份有限公司(2)已知P是直线 上位于 轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a．
①用含a的式子表示 的面积；
②是否存在点P恰好使得 ?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
题型06 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例6】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次
租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台）
第一次 2 3 21
第二次 5 6 48
(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？
(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，
小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你
列出所有货车租用方案．
(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．
【变式1】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用 辆 型车和 辆 型车载满货物一次可运货
10吨；用 辆 型车和 辆 型车载满货物一次可运货 吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 辆 型车和 辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若 型车每辆需租金 元/次， 型车每辆需租金 元/次．物流公司计划共租用 辆车，请写出总租
车费用 （元）与租用 型车数量 （辆）的函数关系式．
(3)如果汽车租赁公司的 型车只剩了 辆， 型车还有很多．在（ ）的条件下，请选出最省钱的租车车
方案，并求出最少租车费用．
【变式2】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进 两种树苗共17棵，已知 种树苗每棵
80元， 种树苗每棵60元．
(1)若购进 两种树苗刚好用去1220元，求购进 两种树苗各多少元？
(2)若购进 种树苗 棵，所需总费用为 元．
①求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
②若购进 种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【变式3】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级
师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用
甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客
车可乘坐255人．
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学科网（北京）股份有限公司(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？
(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客
车，请写出总租车费用 （元）与租用甲型客车数量 （辆）的函数关系式；
(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租
车方案，并求出最少租车费用．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）直线 与直线 交于点 ，则下列各方程组中满
足解为 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点
A，B，与正比例函数 的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足 ，
则点D的坐标为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线 与直线 的图象，则二元一次方程组
的解为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象分别为直线 ， ，① ；② ；③关于x，y的方程组
的解为 ．关于①、②和③正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数 的图象经过点 和 ，则此函数的
表达式为 ．
6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一次函数 的图象经过 两点，与x轴交于点
C，则 的面积为 ．
7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，函数 与 为常数，且 的图象交
于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是 ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线 与直线 交于点 ，直线 的解析式为
，直线 的解析式为 ，点 为直线 上的点，且 ，则点 的坐标为
．
三、解答题
9．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点 、 ．
(1)求直线l所对应的函数表达式．
(2)若 过点B，交y轴于点C，求 的面积．
10．（2025八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期
合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出
售．经销商购进甲种水果所需支付金额 （元）与质量 （千克）之间的函数关系如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请写出当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．
如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额 （元）最少？
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线 与直线 相交于点 ．
(1)求出关于 的方程组 的解；
(2)直线 能否也经过点 ？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ．点 的坐标为
，连接 ．
(1)求 所在直线的函数表达式；
(2)若直线 与 所在直线交于一点 ，并将 分成面积相等的两部分，求点 的坐标．
13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 的表达式为 ，直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，且经过点 ，直线 ， 交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的表达式；
(2)写出关于 ， 的二元一次方程组 的解；
(3)求 的面积．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出
发，当客车行驶的时间为 时，客车到甲地的距离为 ，轿车到甲地的距离为 与x之
间的函数关系如图所示．
(1)分别求出 与x之间的函数表达式；
(2)当两车相遇时，求客车行驶的时间；
(3)两车相距 时，求客车行驶的时间．
15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线 与y轴交于点A，直线 与y轴
交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)关于x，y的方程组 的解是______．
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学科网（北京）股份有限公司(2)求直线的 关系式
(3)求 的面积．
(4)在直线 的图像上存在异于点C的另一点P，使得 与 的面积相等，请求出点P的坐
标．
16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数 ，当 时， ；当 时， ．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若 是该一次函数图象上的两点，且 ，求m的取值范围；
(3)当 时，y的最小值是________；
(4)将一次函数 的图象向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度就可得到正比例
函数 的图象．
17．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择
了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360
元，购进8件A商品和6件B商品共需270元．
(1)请你算出A，B两种商品每件的进价；
(2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品 件，B商品 件．
①求 与 之间的关系式：
②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价
为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与 之间的关系式和该店所获利润的最大
值．
18．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图（1），在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴
于 两点，直线 交直线 于 点，交 负半轴于 点，交 轴正半轴于点 ．且 ．
(1)求出点 坐标并求直线 解析式；
(2)如图2，点 是线段 上一动点（不与点 重合）， 交 于点 ，连接 ．
①点 移动过程中，求证： ；
②求 面积的最小值．
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