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专题 5.4 应用二元一次方程组—增收节支（知识解读）
【学习目标】
1.正确找出等量关系列出方程
2.注意单位要统一，单位不同的量不可直接相加减
3.要根据应用题的实际意义检查所求得的结果是否合理，不符合题意的要舍去
【知识点梳理】
一 、 二元一次方程的解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和
涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知
数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题
步
中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同
骤
的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣
利润率= ×100%
【典例分析】
【典例1】为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用800元资金为全家在大型药店购
进普通医用口罩、N95口罩，两种口罩共100个，该大型药店的普通医用口罩销售价为每个2元、N95口罩销售价为每个8元，设购进普通医用口罩为x个，购进N95口罩为y
个，可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入
5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售
了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】某商店购进A、B两种商品共50件，已知这两种商品的进货单价与销售单价如
表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种
商品y件，则根据题意可列方程组 ．
商品类别 进货单价（元/件） 销售单价（元/件）
A 30 40
B 40 55
【典例2】某商场购进商品后，加价40%作为销售价．某日商场搞优惠促销，由顾客抽奖
决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款499元，两种商
品原售价之和为590元，设两种商品的进价分别为x元和y元，根据题意所列方程组为
（ ）A．
B．
C．
D．
【变式2-1】在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买
了11kg苹果，5kg梨、老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少
元？设苹果的单价是x元，梨的单价是y元，列二元一次方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】某商店促销活动，同时购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花
费224元．已知一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，若一副乒乓球拍
的标价是x元，一副羽毛球拍的标价为y元，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．已知大型客车每辆能坐60人，中型客车每辆能坐45人，现该校有初二年级学生375人．
根据题目提供的信息解决下列问题：
（1）这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车
正好坐满？
（2）若大型客车租金为1500元/辆，中型客车租金为1200元/辆，请帮该校设计一种最
划算的租车方案．
【变式3-1】疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发
放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用 2辆A型车和1辆B
型车装满货物一次可运货16吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货20吨．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）教育局现有24吨消毒液需要配送，若计划同时租用A、B两种型号车配送消毒液，
恰好一次配送完，且每辆车都装满．求此时的租车方案．
（3）在第（2）问条件下若A型车的租金为300元/辆，B型车的租金为520元/辆．请设
计合适的租车方案，并求最少的租车费用．
【变式3-2】据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准
备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装
满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有
15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租
车方案，并求出最少租车费用．
【变式3-3】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不
出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训
后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2
名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能
完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【典例4】某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不
同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如
下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台） 900 700 400
销售获利 200 160 90
（元/台）
（1）购买丙型设备 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了
50000元，则商场有哪几种购进方案？（3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这
个最大值．
【变式4-1】某商场计划拨款9万元购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视
机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每
台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不
同的进货方案？并写出这些方案．
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，
销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利
润最多，你选择哪种方案？并说明理由．
【变式4-2】某市A、B两个蔬菜基地得知本市C、D两个蔬菜批发市场急需蔬菜80吨和
120吨的消息后，决定调运蔬菜到这两个蔬菜批发市场．已知A、B两个蔬菜基地各有
蔬菜100吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个蔬菜批发市场．从A地运往C、D两处
的费用分别为15元/吨和20元/吨，从B地运往C、D两处的费用分别为25元/吨和15
元/吨．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写如表：
C D 总计（单位：吨）
A 100
B x 100
总计（单位：吨） 80 120 200
（2）当两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，求x的值；（3）已知1辆M型车装满货物一次运输货物8吨，1辆N型车装满货物一次运输货物
12吨，B蔬菜基地计划同时租用M型车a辆，N型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都
装满货物．请你帮B蔬菜基地设计租车方案．
专题 5.4 应用二元一次方程组—增收节支（知识解读）
【学习目标】
1.正确找出等量关系列出方程
2.注意单位要统一，单位不同的量不可直接相加减
3.要根据应用题的实际意义检查所求得的结果是否合理，不符合题意的要舍去
【知识点梳理】
一 、 二元一次方程的解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和
涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知
数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题
步
中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同
骤
的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
二、基本公式
单价×数量=总价
利润=实际售价-成本
实际售价=标价（原价）×折扣利润率= ×100%
【典例分析】
【典例1】为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用800元资金为全家在大型药店购
进普通医用口罩、N95口罩，两种口罩共100个，该大型药店的普通医用口罩销售价为
每个2元、N95口罩销售价为每个8元，设购进普通医用口罩为x个，购进N95口罩为y
个，可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解答】解：设购进普通医用口罩为x个，购进N95口罩为y个，
依题意，得 ，
故选：B．
【变式1-1】夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入
5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售
了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为
（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，
则根据题意列出方程组为： ．
故选：C．
【变式1-2】某商店购进A、B两种商品共50件，已知这两种商品的进货单价与销售单价如
表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种
商品y件，则根据题意可列方程组 ．
商品类别 进货单价（元/件） 销售单价（元/件）
A 30 40
B 40 55
【答案】
【解答】解：设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组
．
故答案是： ．
【典例2】某商场购进商品后，加价40%作为销售价．某日商场搞优惠促销，由顾客抽奖
决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款499元，两种商
品原售价之和为590元，设两种商品的进价分别为x元和y元，根据题意所列方程组为
（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解答】解：依题意得： ，
故选：C．
【变式2-1】在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买
了11kg苹果，5kg梨、老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少
元？设苹果的单价是x元，梨的单价是y元，列二元一次方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：由题意得： ，
故选：B．
【变式2-2】某商店促销活动，同时购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花
费224元．已知一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，若一副乒乓球拍
的标价是x元，一副羽毛球拍的标价为y元，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：∵一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，
∴y﹣2x＝20；
∵购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花费224元，
∴0.7（x+y）＝224．
∴列出的方程组为 ．
故选：D．
【典例3】为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．
已知大型客车每辆能坐60人，中型客车每辆能坐45人，现该校有初二年级学生375人．
根据题目提供的信息解决下列问题：
（1）这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车
正好坐满？
（2）若大型客车租金为1500元/辆，中型客车租金为1200元/辆，请帮该校设计一种最
划算的租车方案．
【解答】解：（1）设需要大型客车x辆，中型客车y辆，
根据题意，得：60x+45y＝375，
当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝ ；当x＝3时，y＝ ；
当x＝4时，y＝3；当x＝5时，y＝ ；当x＝6时，y＝ ；
∵要使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满，
∴有两种选择，方案一：需要大型客车1辆，中型客车7辆；
方案二：需要大型客车4辆，中型客车3辆．
（2）方案一：1500×1+1200×7＝9900（元），
方案二：1500×4+1200×3＝9600（元），
∵9900＞9600，
∴方案二更划算．【变式3-1】疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发
放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用 2辆A型车和1
辆B型车装满货物一次可运货16吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货
20吨．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）教育局现有24吨消毒液需要配送，若计划同时租用A、B两种型号车配送消毒液，
恰好一次配送完，且每辆车都装满．求此时的租车方案．
（3）在第（2）问条件下若A型车的租金为300元/辆，B型车的租金为520元/辆．请设
计合适的租车方案，并求最少的租车费用．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可
运货y吨，
依题意得： ，
解得 ．
答：1辆A型车装满货物一次可运货4吨，1辆B型车装满货物一次可运货8吨；
（2）由题意得，4x+8y＝24，
取正整数解为 ， ，
答：租车方案为A型车2辆，B型车2辆或A型车4辆，B型车1辆；
（3）方案1的租车费为2×300+520×2＝1640（元），
方案2的租车费为4×300+520×1＝1720（元），
∵1720＞1640，
∴方案1最省钱，即租用A型车2辆，B型车2辆，最少租车费用为1640元．
【变式3-2】据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准
备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装
满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有
15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇
杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可
运货y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣ n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，
6辆乙型车．
方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【变式3-3】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不
出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训
后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2
名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能
完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆
电动汽车，
根据题意得 ，解之得 ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得，12（4m+2n）＝240，
整理得，n＝10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴当m＝1，2，3，4时，n＝8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，
新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【典例4】某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不
同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如
下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台） 900 700 400
销售获利 200 160 90
（元/台）
（1）购买丙型设备 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了
50000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这
个最大值．
【解答】解：（1）购买丙型设备的台数为60﹣x﹣y．
故答案为60﹣x﹣y．
（2）由题意得，900x+700y+400（60﹣x﹣y）＝50000
化简整理得：5x+3y＝260
∴x＝52﹣ y，
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2．
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台．
（3）方案一的利润为49×200+160×5+6×90＝11140元，
方案二的利润46×200+160×10+4×90＝11160元
方案三的利润43×200+160×15+2×90＝11180元
所以方案三获利最大，为11180元，即甲型43台，乙型15台，丙型2台．
答：这次经销商共有2种可能的方案，最低成本（进货额）43800元．
【变式4-1】某商场计划拨款9万元购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视
机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每
台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不
同的进货方案？并写出这些方案．
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，
销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利
润最多，你选择哪种方案？并说明理由．
【解答】解：（1）设购买电视机甲种x台，乙种y台，丙种z台，由题意得：
① ，
解得： ；
② ，
解得： （舍去）
③ ，
解得： ．故两种方案：方案1：甲，乙两种电视机各25台．
方案2：购买甲种电视机35台，乙种电视机15台；
（2）选择方案2，理由：
∵商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一
台丙种电视机可获利250元，
∴方案1：25×150+25×200＝8750（元），
方案2：35×150+15×250＝9000（元），
故选择方案2．
∴共有5种购买方案．
【变式4-2】某市A、B两个蔬菜基地得知本市C、D两个蔬菜批发市场急需蔬菜80吨和
120吨的消息后，决定调运蔬菜到这两个蔬菜批发市场．已知A、B两个蔬菜基地各有
蔬菜100吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个蔬菜批发市场．从A地运往C、D两处
的费用分别为15元/吨和20元/吨，从B地运往C、D两处的费用分别为25元/吨和15
元/吨．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写如表：
C D 总计（单位：吨）
A 100
B x 100
总计（单位：吨） 80 120 200
（2）当两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，求x的值；
（3）已知1辆M型车装满货物一次运输货物8吨，1辆N型车装满货物一次运输货物
12吨，B蔬菜基地计划同时租用M型车a辆，N型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都
装满货物．请你帮B蔬菜基地设计租车方案．
【解答】解：（1）B地运往C处的蔬菜为x吨，则A地运往C处的蔬菜为80﹣x吨；从
A地运往C处的蔬菜为100﹣（80﹣x）＝20+x吨；从B地运往D处的蔬菜为100﹣x吨；
故答案为：80﹣x；20+x；100﹣x
（2）根据已知条件，15（80﹣x）+20（20+x）＝25x+15（100﹣x），
解得x＝20．
（3）8a+12b＝100，
a和b都必须为整数，故①a＝2，b＝7；②a＝5，b＝5；③a＝8，b＝3，④a＝11，b＝1；
故有四种方案．
