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专题 5.3 找规律、新定义、阅读材料
1．设 ， 都是不为0的实数，且 ， ，定义一种新运算： ，则下
面四个结论正确的是
A． B．
C． D．
2．定义新运算“※”： ※ ．若2※ ，则 的值为
A． B． C． D．
3．定义一种“ ”运算： ，例如： ，则方程
的解是
A． B． C． D．
4．在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为 ※ ，如2※ ，
根据这个规则，则方程3※ 的解为
A． B．1 C． D．
5．对于实数 和 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运
算．例如： ．则方程 的解是
A． B． C． D．6．定义一种新运算： ※ ，若5※ ，则 的值为
A． B． 或 C． D． 或
7．对于有理数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ．例如：
．则方程 的解是
A． B． C． D．无解
8．在实数范围内定义一种运算☆，其规则为 ☆ ，根据这个规则 ☆
的解为
A． B． C． D．
9．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式
的 “ 关 联 分 式 ” ． 如 与 ， 因 为 ，
，所以 是 的“关联分式”．
（1）已知分式 ，则 的“关联分式”（填“是”或“不是” ；
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 的“关联分式”为 ，则 ，
，．
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ；
②用发现的规律解决问题：
若 是 的“关联分式”，求实数 ， 的值．10．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有
（只填序号）；
（2）若正实数 ， 互为倒数，求证，分式 与 属于“友好分式组”；
（3）若 ， 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式
的值．
11．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分
数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数
时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类
似的，假分式也可以化为带分式（即 整式与真分式的和的形式）．
如： ；
再如：
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假” ；（2）将假分式 化为带分式的形式为 ；
（3）把分式 化为带分式；如果 的值为整数，求 的整数值．12．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而
假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是
假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式
（即 整式与真分式的和的形式），如： ．
解决下列问题：
（1）分式 是 （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将假分式 化为带分式；
（3）先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
13．当 时，定义一种新运算： ，例如： ， ，
．
（1）直接写出 ；
（2）若 ， ， ，求出 的值．14．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值．
解：由 知 ， ，即 ①
②，故 的值为 ．
（1）第①步由 得到 逆用了法则： ；
第②步 运用了公式： ；
（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 ，求 的值；
【拓展延伸】
（3）已知 ，求 的值．15．（1）下面是小颖同学解分式方程 的过程．请认真阅读并完成相应的
任务．
解：方程两边同______，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项、合并同类项，得 ． 第三步
解得 ． 第四步
①第一步中“______”处应为 ，这一步的目的是 ．其依据是 ；
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你补全这一步，并说明这一步不能缺少
的理由．
（2）新概念运用：运符号“ ”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
，请你根据上述规定，求出下列等式中 的值： ．16．阅读下面材料并解决有关问题：
（ 一 由 于 ， 所 以 ， 即 ， 并 且 当 时 ，
； 对 于 两 个 非 负 实 数 ， ， 由 于 ， 所 以
，即 ，所以 ，并且当 时，
；
（二 分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性
质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次
数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式
的和的形式，如： ；
（1）比较大小： （其中 ， 2（其中 ，（填“
”、“ ”或“ ” ；
（2）在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是
（填序号）；
（3）已知： ，求代数式 的值；
（4）当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）17．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于
分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整
式）与一个真分数（真分式）的和（差 的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们
称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将 分 式 分 离 常 数 可 类 比 假 分 数 变 形 带 分 数 的 方 法 进 行 ． 如 ：
，这样，分式就拆分成一个分
式 与一个整式 的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若 为整数， 为负整数，可求得 ．
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差 的形式为：
（整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ．
①用含 的式子表示出 ；
②随着 的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？18．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ，
所以 ．
故 的值为 ．
【类比探究】
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知 ，求 的值．
【拓展延伸】
（2）已知 ， ， ，求 的值．19．我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，
如 ， ， ， ， ，请用观察到的规律解方程
，该方程的解是 ．
20．观察给定的分式； ，猜想并探索规律，第 个分式是 ．
21．阅读下列材料：① 的解为 ，② 的解
为 ，③ 的解为 ．请你观察上述方程与解得特征，写出
能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ．
22．观察下列式子，按某种规律在横线上填上适当的式子：
， ，
23．【探索发现】
先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题： ； ；
；
（1）若 为正整数，直接写出结果： ．
【拓展延伸】
根据上面探索的规律，解决下面的问题：
（2）解关于 的分式方程： ．24．观察下列不等式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个不等式： ；
（2）写出你猜想的第 个不等式： （用含 的等式表示）；
（3）比较 和 的大小．25．阅读理解：下列一组方程：① ，② ，③ ， 小明通过观察，
发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由① 得 或 ；
由② 得 或 ；
由③ 得 或 ．
（1）问题解决：请写出第四个方程；
（2）规律探究：若 为正整数，请写出第 个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若 为正整数，关于 的方程 的一个解是 ，求 的
值．26．探索发现：
；
；
；
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1） ； ；
（2）利用发现的规律计算： ；
（3）利用以上规律解方程： ．
