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专题 2.4 找规律
【例题精讲】
【例1】观察下列各式及验证过程：
验证：
验证：
（1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析研究，你发现了什么规律？并证明你的发现．
（2）自己想一个数，验证你的发现．
【题组训练】
1．观察下列各式：
； ；
，
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算 ．
2．观察下列各式，发现规律：； ； ；
（1）填空： ， ；
（2）计算（写出计算过程） ；
（3）请用含自然数 的代数式把你所发现的规律表示出来．
3．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
4．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
② ；
③ ．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 的式子表示的等式 为正整数）．
5．观察下列各式： ； ；
；
（1）按上述两个等式的特征，请猜想 ；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 为自然数且 表示的式子；
（3）证明你在（2）中写的结论成立．
6．观察下列等式：回答问题：
①
②
③ ，
（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用 表示的等式；
（3）验证你的结果．
7．观察下列各式： ， ．
（1）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含自然数 为正整数）的
代数式表示出来为： ；（2）请你运用所发现的规律，写出第9个式子；
（3）请你验证所发现的规律．
8．观察下列各式： ， ，
（1）找出规律，再继续写出下面的两个等式．
（2）用含字母 的式子表示以上各式的特点．
9．观察下列各式： ； ； ， ，
请你猜想：
（1） ， ；
（2）计算（请写出推导过程） ；
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数 的代数式表达出来： ．
10．观察下列各式及其验证过程：
验证： ；
验证： ；
验证： ；
验证： ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 为任意自然数，且 表示的等式，并给出证明．
11．判断下面各式是否成立
① ；② ；③ ．
探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：
（2）用含有 的代数式将规律表示出来，说明 的取值范围，并给出证明．
12．观察下列各式及其验证过程：
．
验证： ．
．
验证： ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用 为任意自然数，且 表示的等式，并说明
它成立．
14．观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，验证
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验
证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给
出证明．
15 ． 阅 读 下 列 解 题 过 程 ： ； ；
；
（1） ， ．
（2）观察上面的解题过程，则 为自然数）
（3）利用这一规律计算： ．
