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专题16 两点间距离公式
1．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找 或 的长度，显然是转化为
求 或 的斜边长．
下面：以求 为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： ， ．所以 ， ，所以由勾股
定理可得： ．
下面请你参与：
（1）在图①中： 4 ， ， ．
（2）在图②中：设 ， ， ， ，试用 ， ， ， 表示 ， ，
．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题
目：
已知： ， ， 为坐标轴上的点，且使得 是以 为底边的等腰三角形．请求出
点的坐标．
【解答】解：（1） ， ， ；
（2）结合图形可得： ， ， ．（3）若点 在 轴上，设点 的坐标为 ，
则 ，即 ，
解得： ，
即点 的坐标为 ；
若点 在 轴上，设点 的坐标为 ，
则 ，即 ，
解得： ，
即点 的坐标为 ．
综上可得点 的坐标为 或 ．
故答案为：4，3，5； ， ， ．
2．阅读材料：
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 ， 、 ， ，那么 、 两点的距
离 ，则 ．
例如：
若点 ， ，则 ，
若点 ， ，且 ，则 ．
根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的 的值．
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点 ， ，则 、 两点间的距离是 ．
（2）若点 ，点 在 轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标．【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为： ；
（2）设 ，
点 在轴上，
，
，
，且 、 两点间的距离是5，
，
整理得 ，
，
或 ，
或 ，
或 ．
3．先阅读下列文字，再回答后面的问题：
已知在平面直角坐标系内有两点 ， 、 ， ，其两点间的距离可用公式
表示，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于
坐标轴时，两点间的距离公式可简化为 或 ．
（1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 、
两点间的距离．【解答】解：（1） 、
、 两点间的距离 ．
（2） 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，
、 两点间的距离 ．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：
已知平面内两点 ， 、 ， ，则这两点间的距离可用下列公式计算：
．
例如：已知 、 ，则这两点的距离 ．
特别地，如果两点 ， 、 ， 所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标
轴，那么这两点间的距离公式可简化为 或 ．
（1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的同一条直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求
、 两点间的距离；
（3）已知 的顶点坐标分别为 、 、 ，你能判定 的形状吗？请说
明理由．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） 为直角三角形．理由如下：
， ， ，
，
为直角三角形．5．先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标 ， ， ， ，其两点
间距离公式为 ，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于 轴或垂
直于 轴时，两点间距离公式可化简为 或 ．
（1）已知 ， ，则 、 两点间的距离为 ；
（2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，则 ， 两
点间的距离为 ；
（3）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的横坐标为5．且 ， 两点间的距离为3，则点
的横坐标为 ；
（4）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，请判定此三角形的形状，并说明
理由．
【解答】解：（1）根据两点间距离公式可得： ；
（2）由题意可得： ；
（3）点 的横坐标为 或 ；
（4）由两点间距离公式可得： ，
，
，
，
是等腰三角形．
6．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点 ， 、 ， ，其两点
间的距离 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直
于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．（1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为4，点 的纵坐标为 ，试求 、
两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） 是等腰三角形，
理 由 如 下 ： ， ，
，
则 ，
是等腰三角形．
7．先阅读一段文字，再回答下列问题：
已 知 在 平 面 内 两 点 坐 标 ， ， ， ， 其 两 点 间 距 离 公 式 为
，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于 轴或垂直于 轴，
距离公式可简化成 或 ．
（1）已知 ， ，试求 ， 两点的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 ，
两点的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，你能断定此三角形的形状吗？说
明理由．
【解答】解：（1） 、 ，；
（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
；
（3） 为等腰三角形．
理由如下：
， ， ，
， ， ，
，
为等腰三角形．
8．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 ， 、 ， ，那么 、 两点的距离
．则 ．
例如：若点 ， ，则 ，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点 ， ，则 、 两点间的距离是 ．
（2）若点 ，点 在坐标轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标．
（3）若点 ， ，且 、 两点间的距离是5，求 的值．
【解答】解：（1） 点 ， ，
；
故答案为 ；
（2）当 点在 轴上，设 ，而点 ， 、 两点间的距离是5，
，解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ；
当 点在 轴上，设 ，
而点 ， 、 两点间的距离是5，
，解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ；
（3） 点 ， ，且 、 两点间的距离是5，
，
整理得 ，
解得 ， ，
即 的值为 或6．
9．在平面直角坐标系中，有 ， ， 三点．
（1）当点 在 轴上时，求点 的坐标；
（2）当 轴时，求 ， 两点间的距离；
（3）当 轴于点 ，且 时，求点 的坐标．
【解答】解：（1） 点 在 轴上，
，解得 ，
点坐标为 ；
（2） 轴，
、 点的纵坐标相同，
，解得 ，， ，
， 两点间的距离 ；
（3） 轴， ，
，解得 ，
点坐标为 或 ．
10．问题情境：
在平面直角坐标系 中有不重合的两点 ， 和点 ， ，小明在学习中发现，若
，则 轴，且线段 的长度为 ；若 ，则 轴，且线段 的长度
为 ；
【应用】：
（1）若点 、 ，则 轴， 的长度为 3 ．
（2）若点 ，且 轴，且 ，则点 的坐标为 ．
【拓展】：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点 ， ， ， 之间的折线距离为
；例如：图1中，点 与点 之间的折线距离为 ，
．
解决下列问题：
（1）如图2，已知 ，若 ，则 ；
（2）如图2，已知 ， ，若 ，则 ．
（3）如图3，已知 ，点 在 轴上，且三角形 的面积为3，则 ．【解答】解：【应用】：
（1） 的长度为 ．
故答案为：3．
（2）由 轴，可设点 的坐标为 ，
，
，解得： ，
点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【拓展】：
（1） ， ．
故答案为： ．
（2） ， ， ，
，解得： ．
故答案为：2或 ．
（3）由点 在 轴上，可设点 的坐标为 ，
三角形 的面积为3，
，解得： ．
当点 的坐标为 时， ；当点 的坐标为 时， ， ．
故答案为：4或8．
11．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点 ， 、 ， ，其两点间的距离公式 ，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为
或 ．
（1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 、
两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【解答】解：（1） 、 ，
，即 、 两点间的距离是13；
（2） 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，
，即 、 两点间的距离是6；
（3） 是等腰三角形，理由如下：
一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，
， ， ，
，
是等腰三角形．
12．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点 ， ， ，
，其两点间的距离 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（1）已知 ， ，试求 ， 两点间的距离；
（2）已知线段 轴， ，若点 的坐标为 ，试求点 的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
【解答】解：（1） ， 两点间的距离 ；
（2） 线段 轴，
、 的横坐标相同，
设 ，
，解得 或 ，
点坐标为 或 ；
（3） 为等腰三角形．
理由如下：
， ， ，
， ， ，
，
为等腰三角形．
13．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为 ， ， ， ，则该
两点间距离公式为 ，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于
轴、平行于 轴时，两点间的距离公式可化简成 和 ．
（1）若已知两点 ， ，试求 ， 两点间的距离；（2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ，试求 ，
两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ， ， ，你能判定这三点是否
共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．
【解答】解：（1） 点 ， ，
，
即 ， 两点间的距离是 ；
（2） 点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为7，点 的纵坐标为 ，
，
即 ， 两点间的距离是9；
（3）这三点不共线，
该三角形为直角三角形．
理由： 一个三角形各顶点的坐标为 ， ， ， ， ，
， ，
，
，
是直角三角形，
．
14．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
对于平面直角坐标系中的任意两点 ， 、 ， ，其两点间的距离公式为
，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（1）若 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）若 、 都在平行于 轴的同一条直线上，点 的横坐标为3，点 的横坐标为 ，试求
、 两点间的距离．
（3）若已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，你能判定此三角形的形状吗？
请说明理由．
【解答】解：（1） 、 ，
；
（2） 、 都在平行于 轴的同一条直线上，点 的横坐标为3，点 的横坐标为 ，
；
（3） 为等腰直角三角形，理由为：
、 、 ，
，
，
（2） ，
，
则 为等腰直角三角形．
15．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，我们把 ， 两点横坐标差的绝对值与它
们纵坐标差的绝对值的和叫做 ， 两点间的折线距离，记作 ．
即：如果 ， ， ， ．那么 ．（1）已知 ， ，求出 的值；
（2）已知 ， ，且 ，求 的取值范围；
（3）已知 ， ，动点 ，若 ， 两点间的折线距离与 ， 两点间的折线
距离的差的绝对值是3，直接写出 的值并画出所有符合条件的点 组成的图形．
【解答】解：（1）由题意可知： ， ；
（2） ，
，
；
（3） ， ，
由题意可知： ，
当 时，
等式的左边 ，此时不满足题意；
当 时，
等式的左边 ，
即 ，解得： 或 ，
当 时，
等式的左边 ，不符合题意，
综上所述，点 或 ，
如图所示．
16．先阅读下列一段文字，再解答问题：
已 知 在 平 面 内 有 两 点 ， ， ， ， 其 两 点 间 的 距 离 公 式 为
；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标
轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（1）已知点 ， ，则 5 ；
（2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为4，点 的纵坐标为 ，则
；
（3）已知点 和（1）中的点 ， ，判断线段 ， ， 中哪两条线段的长是相等的？
并说明理由．
【解答】解：
（1）依题意， ，
故答案为5；（2） 平行于 轴
；
（3）
点 与点 的纵坐标相同
平行于 轴
由（1）知
线段 ， 两条线段的长是相等的．
17．先阅读下列一段文字，再解答问题
已 知 在 平 面 内 有 两 点 ， ， ， ， 其 两 点 间 的 距 离 公 式 为
，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐
标轴时，两点间距离公式可简化为 或
（1）已知点 ， ，试求 ， 两点间的距离；
（2）已知点 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 ，
两点间的距离；
（3）已知点 ， ， ， ，判断线段 ， ， 中哪两条是相等的？并说明
理由．
【解答】解：（1）依据两点间的距离公式，可得 ；
（2）当点 ， 在平行于 轴的直线上时， ；
（3） 与 相等．理由：
；
；．
．
18．先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标 ， ， ， ，其两点
间距离公式为 ，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于 轴或垂
直于 轴时，两点间距离公式可化简为 或 ．
（1）已知 、 ，则 ， 两点间的距离为 ；
（2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，则 ， 两
点间的距离为 ；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 ， ， ，请判定此三角形的形状，并说明
理由．
【解答】解：（1） 、 ，
．
故答案为： ．
（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
．
故答案为：6．
（3） 为等腰三角形，理由如下：
， ， ，
， ， ，
，为等腰三角形．
19．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点 ， 、 ， ，其两点
间的距离 同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直
于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
（1）已知 、 ，试求 、 两点间的距离；
（2）已知 、 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为6，点 的纵坐标为 ，试求 、
两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明
理由．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明
理由．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） 为等腰三角形．理由如下：
， ， ，
，
为等腰三角形；
（4） 为等腰直角三角形．理由如下：
， ， ，
而 ，
，
为等腰直角三角形．
20．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．已知在平面内两点 ， ， ， ，这两点间的距离 ，同时，
当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为
或 ．
（1）已知 ， ，试求 ， 两点间的距离；
（2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求 ，
两点间的距离．
【解答】解：（1） ， 两点间的距离 ；
（2） ， 两点间的距离 ．
