高二数学（答案）2025_2026年02月高二试卷_260210四川省遂宁市2025—2026学年高二上学期期末考试（全）_四川省遂宁市2025-2026学年高二上学期期末考试数学（含答案）

高 2027 届高二上期期末教学质量监测
数学试题参考答案
一、单选题（每个5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B D C B A
二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AC
三､填空题（每小题5分，共20分．）
12．0.7 13． 14．3
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题15分，
第18、19题17分)
15．解：该试验的样本空间可表示为 ，共有36个样本点
（1） ，
有6个样本点，所以 ；.............3分
有11个样本点，所以 .............6分
（2） ，有2个样本点，所以 ；.............9分
所以 ..............13分
16．解：（1）由 ，即 ，.............2分
高二数学试题参考答案第1页（共7页）又 ，.............3分,
所以 ，
即数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.............5分
（2）由（1）知 ， ，............7分
所以 ............8分，
∴ ，①
，②...........11分
① ②得
，13分
所以 ．............15分
17．解：（1）由题意设圆心为 ，半径为 ，
则圆的标准方程为 ．
由题意得 ，解得 ，………………………5分
x32 y32
4
所以圆 的标准方程为 ． ……………………7分
3,3 3,3
由（1）知圆 C 的圆心为 ，半径为2，则圆心 到直线 2x y10 的距离为：
高二数学试题参考答案第2页（共7页）4 4 5 16 4 5
d   , MN 2 4 
5 5 则 5 5 ，…………………………11分
MNP 2x y10
要使 面积的最大，只需圆上点到直线 的距离最大，即最大值为
4 5
2
5 ， ...............................................................................................13分
1 4 5  4 5 84 5
 2 
故MNP面积的最大值为2 5 

5 

5 ……………………15分
CF // AE, CF  

18．（1）法一：证明： 平面ADE,AE 平面ADE,则CF//平面ADE
同理：BC//平面ADE…………………2分
  
BC CF=C,BC 平面BCF,CF 平面BCF
则平面BCF//平面ADE…………………3分

又BF 平面BCF

BF//平面ADE…………………4分
  
AB,AD,AE
法二：证明：依题意，建立以A为原点，分别以 为x轴，y轴，z轴的空间直角
坐标系(如图)，
A0,0,0,B1,0,0,C1,2,0,D0,1,0,E0,0,2
可得 .
CF hh0 F1,2,h
设 ，则 .……………………1分

AB1,0,0
（1）依题意， 是平面ADE的一个法向量；2分
高二数学试题参考答案第3页（共7页）
BF 0,2,h  
BFAB0
又因为 ，可得 ，……………3分
又因为直线BF 平面ADE，所以 BF 平面ADE.…………4分
8
（2）(i)有（1）可得：A0,0,0,B1,0,0,C(1,2,0),D(0,1,0),E0,0,2,F(1,2, )
7
    8   6
BD1,1,0,BE 1,0,2,BF 0,2, ，EF 1,2, 
 7  7……5分
 
设n 1 x 1 ,y 1 ,z 1 ,n 2 x 2 ,y 2 ,z 2  分别为平面BDE和平面BDF 的法向量。
  
BDn 0 x  y 0
 1 即  1 1 ,x  y 2z
B  En  0  x 1 2z 1 0 1 1 1，令 ，
 z 1
1 1

所以，n 1 2，2，1 是平面BDE的一个法向量……………………6分
   x  y 0
BDn 0  2 2 4
 2 即  8 ,x  y  z
  2y  z 0 2 2 7 2，令 ，
  BFn 0   2 7 2 z 7
2 2

所以，n 2 4，4，7 是平面BDF 的一个法向量…………………… —7分
设平面BDE和平面BDF 的夹角为，二面角EBDF 的平面角为
 
n n
1 2
  887 1
cos cosn ,n    
1 2
  39 3…………………… 9分
n ,n
1 2
由图知，二面角EBDF 为锐角，
1 1
cos ，即二面角 的余弦值为 ……………………10分
3 EBDF 3
（ii）存在，点M 为线段EF上靠近F的三等分点。…………11分
高二数学试题参考答案第4页（共7页）    6
EM EF,01,EF 1,2, 
假设存在这样的点M ，且满足：  7
  6   6    6 
EM ,2, ,M,2, 2,BM 1,2, 
 7   7   7 ,…………………12分

又因为n 1 2，2，1 是平面BDE的一个法向量。
 
BMn 36
1 
7 12
所以点 到平面 的距离为 ，d    ………………14分
n 3 7
M BDE d 1
    3
sin  BD,BE  1cos2  BD,BE  
10
1     3
S  BD BEsinBD,BE
BDE
所以， 2 2……………………………15分
1 1 3 12 6 4 2
因为V
EBDM
V
MBDE
 S
BDE
d      , [0,1]，
3 3 2 7 7 7 3
符合题意……………………16分
 2 
EM  EF
所以， 3 ，即点M 为线段EF上靠近F的三等分点,……………………17分
x2 y2
 1ab0
19．解：（1）由椭圆a2 b2
的离心率为 ， 是
a,b
的等比中项
c 3
则  ，结合
a 2 a2 b2 c2，得 ，

 ab2
x2
 y2 1
故椭圆T 的方程： 4 …………………………3分
高二数学试题参考答案第5页（共7页）（2）（i）当直线 的斜率为 0 时, , ,
l A(2,0) B(2,0),Q( 3,0)
3 3
k k   6
则 PA PB 4 3 4 3 …………………………………………5分
2 2
3 3
当直线 的斜率不为 0 时, 设 ,
l l:xmy 3,Ax,y Bx ,y 
1 1 2 2
 2 3m
由   xmy 3 , , 得  m2 4  y2 2 3my10, 故    y 1  y 2  m2 4 ………7分
x2 4y2 4  1
y y 
 1 2 m2 4
3 y 3 y
k k  1  2
则 PA PB 4 3 4 3 ，结合x my  3，x my  3
x x 1 1 2 2
3 1 3 2
   3     3 
3 y  my  3 y  my 
得 k k  3 y 1  3 y 2  1   3 2  2   3 1 
PA PB 3 3  3  3 
my my  my  my 
3 1 3 2  3 1 3 2
  
 3
2 3m  y  y 2my y
 3  1 2 1 2 ………………………………………9分
 

1 3
 my  y m2y y
3 3 1 2 1 2
 2 3m
y  y 
 1 2 m2 4
把 代入得
 1
y y 
 1 2 m2 4
2     3m 3 3         m 2 2 3  m 4     2m     m2 1 4    8 m m 2 2   4 8 …………10分
k k   6
PA PB 1 3  2 3m   1  4m2 4
3  3 m    m2 4    m2    m2 4   3  m2 4 
4 
A2,0、B2,0，Qt,0,P ,y 
（ii）直线 l 的斜率为 0 时, t P  ,
高二数学试题参考答案第6页（共7页）y y 2ty y ty
k k  P  P  p k  p  p
则 PA PB 4 4 4t2 ； PQ 4 4t2
2 2 t
t t t
k k 2k k ,k ,k
PA PB PQ PA PQ PB
即 ，于是 成等差数列.……………………………………12分
l
当直线 的斜率不为 0 时, 设 ,
 2tm
y  y 
  1 2 m2 4
由 xmyt , 得 , 故 t2 4 ……14分
 x2 4y2 4 ,  m2 4  y2 2tmyt2 40   y 1 y 2  m2 4
y  y y  y
k k  p 1  p 2
则 PA PB 4 4 ，结合
x x
t 1 t 2 x my t，x my t
1 1 2 2
 4   4 
y  y  my t y  y  my t
k k  y p  y 1  y p  y 2  p 1 t 2  p 2 t 1 
得 PA PB 4 4 4 4 
t my 1 t t my 2 t  t my 1 t   t my 2 t 
 2tm
y  y 
  1 2 m2 4

t2 4

y y 
把 1 2 m2 4 代入得
…………16分
y ty
k  p  p
而 PQ 4 4t2 即 故： 成等差 .………………17分
t
k k 2k k ,k ,k
t PA PB PQ PA PQ PB
高二数学试题参考答案第7页（共7页）