文档内容
专题 16 二元一次方程（组）与一次函数（综合题）
易错点拨
知识点01：二元一次方程与一次函数的关系
1. 任何一个二元一次方程 都可以变形为
即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个
.
2.我们知道每个二元一次方程都有 ，例如：方程 我们列举出它的几组整数
解有 ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在
一次函数y＝−x+5
的图像上，反过来，在一次函数
y=5−x
的图像上任取一点，它的坐标也适合方程
.
细节剖析：
1.以 为坐标的点都在相应的函数图像上；
2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的 ；
3.以 组成的图像与相应 相同.
知识点02：二元一次方程组与一次函数
1. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应 ，于是也对应 .从“数”的角度看，解
方程组相当于考虑 为何值时 相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角
度看，解方程组相当于确定 .
细节剖析：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的 就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以 一
定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数 与 图象的交点为(2，3)，则
就是二元一次方程组 的解.
2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角
坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就 .反过来，当两个一次函数直线平行时，
相应的二元一次方程组就 .如二元一次方程组 无解，则一次函数 与
的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线 ，反之也成
立.
2. 图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为 （即二元一次方程
的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有： .
细节剖析：
利用图像法求二元一次方程组的解是 ，要得到准确解，一般还是用 方
程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为
知识点03：用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出 ，再根据所给的条件确定表达式中 ，从而得到
函数表达式的方法，叫做
利用待定系数法解决问题的步骤：
1.确定所求问题含有待定系数 .
2.根据所给条件, 列出
3. 或者，从而使问题得到解决.易错题专训
一．选择题
1．（2021秋•白银期末）已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一
次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春•钦州期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函
数y＝ x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于
直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组 的解为
，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2020秋•成安县期末）一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．x＝﹣2，y＝0是方程y＝2x+4的解B．直线y＝2x+4经过点（﹣1，2）
C．当x＜﹣2时，y＞0
D．当x＞0时，y＞4
4．（2018秋•陕西期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝ x+2在第二象限交于A，y＝ x+2交x轴，y
轴分别于B、C两点．3S ＝S ，则方程组 的解为（ ）
△ABO △BOC
A． B． C． D．
二．填空题
5．（2022春•思明区期末）如图，函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组
的解为 ．
6．（2021秋•平阴县期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则一次函数y＝
ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 ．
7．（2021秋•青岛期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 ．
8．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ax+b（a、b为常数且a≠0）
1
和直线l：y＝mx+n（m、n为常数且m≠0）相交于点A，若点A的坐标是（4，5），则关于x、y的二元
2
一次方程组 的解为 ．
9．（2021•济南二模）中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方
程组的方法，发展到现代就是用矩阵式 ＝ 来表示二元一次方程组 ，
而该方程组的解就是对应两直线（不平行）ax+by＝c与ax+by＝c的交点坐标P（x，y）．据此，则
1 1 1 2 2 2
矩阵式 ＝ 所对应两直线交点坐标是 ．
10．（2020秋•林甸县期末）如图，在平面直角坐标系中直线y＝﹣2x与y＝﹣ x+b交于点A，则关于x，
y的方程组 的解是 ．11．（2018秋•淮安区期末）若一次函数y＝kx+b与y＝kx+b的图象相交于点（2，3），则方程组
1 1 2 2
的解是 ．
12．（2019春•武邑县校级月考）已知 是方程组 的解，那么一次函数y＝ x﹣ 和y＝8﹣
2x的交点坐标是 ．
三．解答题
13．（2021秋•毕节市期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，
3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解．
14．（2021秋•高新区校级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 2 m 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 …
m的值为 ；
（2）在如图平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为﹣2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③函数图象关于直线x＝﹣1对称．小明得
出的结论中正确的是 ．（只填序号）
（4）已知直线y＝ x+ 与函数y＝|x﹣1|﹣2的图象有两个交点，则方程组 的解为
和 ．
15．（2022•赛罕区校级模拟）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x+2|﹣2的性质．此函数
是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请
你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k …
直接填空：k＝ ；
（2）描点并正确地画出该函数图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 ；
②观察函数y＝|x+2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质： ；（4）如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的
值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点．再根据二
元一次方程组与一次函数的关系，我们知道方程组 的解 对应一次函数y＝x与一次函
数 图象的交点坐标A ．
（5）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线y＝2围成
的区域内（不包括边界）整点的个数为 ．
16．（2021秋•菏泽月考）如图，已知直线l：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l：y＝mx+n交于点P
1 2
（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）不解关于x，y的方程组 ，请你直接写出它的解；
（3）判断直线l：y＝﹣ nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；
3
（4）若直线l，l表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l的函数解析式．
1 2 217．（2017秋•滁州期末）如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m）
（1）求m的值；
（2）方程组 的解是 ；
（3）直线y＝﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．
18．（2017秋•锦江区校级期中）如图，一次函数y＝﹣x+5和y＝kx﹣1与x轴、y轴分别相交于A、B和
C、D四点，两个函数交点为E，且E点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）不解方程组，请直接写出方程组 的解；
（3）求两函数图象与x轴所围成的三角形ACE的面积．19．（2019秋•寿阳县期末）如图，l，l分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，
1 2
（1）求出两条直线的函数关系式；
（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；
（3）求出图中△APB的面积．
20．（2018秋•兰州期末）已知两直线l，l的位置关系如图所示，请求出以点A的坐标为解的二元一次
1 2
方程组．
