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期末考试题答案
一、D B C D A A D C
二、BCD ACD AB
三、12. 21 13. 14. 2
四、15.解：（1）因为 ， ，所以 ，
, .......................4分
所以 ， .......................5分
又 ，所以数列 是首项为2,公差为1的等差数列．......................6分
（2）由（1）可得： ，则 ，......................8分
①
②
两式相减得： . ......................10分
. .....................12分
学科网（北京）股份有限公司所以 . .................13分
16.解：（1）当 时， ，所以 ， …………1分
而 ， …………2分
所以在 切线斜率 ， …………3分
所以切线方程为 ，即 . …………5分
（2）因为 ，其中 ，
则 ， …………6分
①当 时， 恒成立，
此时函数 在 上单调递增，无极小值， …………8分
②当 时，令 ，可得 ，列表如下：
0 +
极小
递减 递增
值
……………10分
所以 ， …………11分
由题意可得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 . …………12分
因为 ，
所以函数 在 单调递增， …………14分
所以由 ，得 ，
所以实数 的取值范围是 . …………15分
17．解：（1） 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，...............1分
因为底面ABC为等腰直角三角形， ，所以 ， .................2分
又 ， 平面 ，
所以 平面 ， .................4分
又 平面 ，所以 ， .................5分
因为 ，所以侧面 为菱形，所以 .................6分
， 平面 ，所以 平面 ． .................8分
（2）取 的中点 ，则 ，所以 面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，所以 .................10分
所以 ， .................11分
由（1）可知 平面 ，
所以平面 的一个法向量 ， .................13分
所以 ， ...............14分
所以直线 与平面 所成角正弦值 ． .................15分
18.解：（1）椭圆 的左右焦点分别为 ，
设 ，则 , .................1分
因为点 是椭圆 上一点，则
，所以 ，............3分
学科网（北京）股份有限公司从而 . ∴椭圆 的方程为： . .................4分
（2）①直线 的斜率显然存在，设 方程为 .
由 ，整理得 ，
设 ，则 ， .................6分
由已知 ，所以 的斜率分别为 ，
， .................7分
故 ，所以 ； .................8分
②设直线 ，显然 ，由 ，解得 或 ，
∴ ，则 ， .................9分
由①知 ，直线 ，
则 ， .................10分
由 ，得 ，解得 或 ，
，则 ， .................12分
学科网（北京）股份有限公司由①知，直线 ， ............13分
则 . ................15分
， .................16分
当且仅当 时等号成立，即 最小值为 . .................17分
19.解：（1）不等式 等价于 …………1分
令 ，则 ， …………2分
令 得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减； …………4分
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 …………5分
（2）（i）数列 为递减数列，理由如下：
由（1）可知 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立 …………6分
所以当 时， ，所以
因为 ，所以 …………7分
由题意，得 ，则 ， …………8分
由（1）知当 时， ，
令 ，则 ，故 ， …………9分
又函数 在 上是单调递增函数，
所以 ，所以数列 为递减数列。 …………10分
（ii）由题意得 ，令函数 ， ……11
分
则 ，故 在 上单调递增，且 ， …………12分
令 ，则 ，得到 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ， …………13分
又因为 ，所以 ， …………14分
得到 ，即 ， ……………15分
当 时，得到 ． …………16分
当 时， ．
所以 ，所以
综上，原命题得证. …………17分
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