高二数学答案_2026年03月高二试卷_260329浙江四校(含精诚联盟)2025-2026学年高二下学期3月阶段检测（全科）

高二年级数学学科 练习 参考答案 一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D C C A D 二、选择题: 本大题共3小题，每小题6分，共18分. 题 号 9 10 11 答 案 AB BCD ACD 8.解：如果数列 高一数学 答案 第1页 共5页 a 1 = − 1 ，公比为 − 2 ，满足 S 2 0 2 6  S 2 0 2 5 ，但是数列 { a n } 不是递增数列，所以 A 不 1 正确；如果数列a =−1，公比为− ，满足 1 2 T 2 0 2 6  T 2 0 2 5 ，但是数列 { a n } 不是递增数列，所以 B 不正确； 如果数列 a 1 = 1 1 ，公比为 ， 2 S n = 1 − ( 1 2 1 2 ) n = 2 (1 − 1 2 n ) ，数列 { S n } 是递增数列，但是a a ，所以 2026 2025 C 不正确；数列 { T n } 是递增数列，可知 T n  T n − 1 ，可得 a n  1 ，又a 是无穷数列，所以 n q 1 ，可得 a 2 0 2 6 a 2 0 2 5 正确，所以 D 正确；故选： D ． 11. 解：选项 A ，由抛物线的定义知， x = − 1 ，选项 A 正确；选项 B ，因为 A M / / x 轴，所以  M F K =  F M A ，若FMK =FMA，则  M F K =  F M K ，即 | M K |= | F K | ，显然该等式不一定成立，故选项 B 错误；选项 C ，设A(x ， 1 y 1 ) ， B ( x 2 ， y )，由题意知，直线 2 A B 的斜率一定存在，且不为0，设其方程为 x = t y − 1 ，联立  x y = 2 ty = 4 − x 1 ，消去 x 得， y 2 − 4 ty + 4 = 0 ，所以 y + y =4t ， y y =4 ，所以 1 2 1 2 1 1 (y +y )( y y −1) 4t( 4−1) 1 2 4 1 2 4 = = =0 ， (x −1)(x −1) (x −1)(x −1) 1 2 1 2 故选项C 正确；选项D，△ A B F 1 1 的面积S =S −S = |KF||y − y |= 2| y − y |=| y − y |， 1 BKF AKF 2 1 2 2 1 2 1 2 △MNF的面积 ，所以△ABF与△MNF的面积相等，故选 项D正确．故选： A C D ． 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分 3 ( 12. 45 13. 14. 1, 2  4 14 解：双曲线 的两条渐近线的方程为 或 ，点 k A F + k B F = x y 1− 1 1 + x S y 2 2 2− = 1 = 1 2 | y K 1 ( F x − 1 ) 2( x − 1 1 |  | M + )( N y 2 x 2 |= ( − x − 11 ) 1  2 1 ) 2  | = M y N 1 1 ( 4 |= 2 y − 2 ( x 1 | M N 1 ) − 1 |= + y ( 2 )( x − 2 | y − 1 1 y 41 ) y 2 21 | − 1 ) x2 y2 C: − =1(a0,b0) bx−ay=0 bx+ay=0 a2 b2， 到两条渐近线的距离之积为 ， 恒成立，即 ，又点 ， 满足双曲线的方程， ， ， 即 ，则 ． ． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 解：（1）设等差数列 高一数学 答案 第2页 共5页 { a n } 的公差为 d ，因为 a 2 + a 3 = 1 0 ，所以 2 a 1 + 3 d = 1 0 ， 又 a 1 = 2 ，所以 d = 2 ，即a =2+(n−1)2=2n，设等比数列{b }的公比为 n n q ， 因为 b 2 b 3 = − a 4 = − 8 ，即 b 21  q 3 = − 8 ，因为 b 1 = 1 ，所以q=−2，所以 b n = ( − 2 ) n − 1 ；----6分 （2） c n = a n + b n = 2 n + ( − 2 ) n − 1 ，设S =c +c +c ++c ， 2n−1 1 3 5 2n−1 则 S 2 n − 1 = ( 2 + 1 ) + ( 6 + 2 2 ) +  + [ 2 ( 2 n − 1 ) + 2 2 n − 2 ] = ( 2 + 6 +  + 2 ( 2 n − 1 ) ] + (1 + 2 2 +  + 2 2 n − 2 ) = 1 2 n ( 2 + 4 n − 2 ) + 1  (1 1 − − 4 4 n ) = 2 n 2 + 1 3 ( 4 n − 1 ) ． --------13分 16.(本小题满分15分) 解：过 A 作AE ⊥CD于点 E ，则 D E = 1 ，以 A 为原点， A E 、 A B 、 A P 所在的直线分别为 x 、y、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ( 0 ，0，0)，B(0，1， 0 ) ，E(2 2 ，0， 0 ) ， D ( 2 2 ， − 1 ， 0 ) ， C ( 2 2 ， 1， 0 ) ， P ( 0 ，0， 1 ) ， N 为 P D 的中点，  N ( 2 ， − 1 2 ， 1 2 ) ． ---------4分 （1） A N = ( 2 ， − 1 2 ， 1 2 ) ， B P = ( 0 ，−1， 1 ) ， B C = ( 2 2 ，0， 0 ) ． 设平面 P B C m BP=−y+z=0 的法向量为m=(x，y，z)，则 ， 令y=1，则 m BC =2 2x=0 x = 0 ，z=1，m=(0,1,1)，  A N m = − 1 2 + 1 2 = 0 ，即AN ⊥m，又AN  平面 P B C ，  A N / / 平面 P B C ． ----------9分 （2）由（1）知， A P = ( 0 ，0， 1 ) ，AD=(2 2 ， − 1 ， 0 ) ，设平面PAD的法向量为n=(a， b ， c ) ， n AP=c=0 则 ，令a=1，则b=2 2，c=0，n=(1，2 2，0)， n AD=2 2a−b=0 m n 2 2 2 2 cosm，n= = = ．故平面PAD与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为 ． |m||n| 23 3 3 ----------15分 P | b ( x 0 2 x 0a 2 2 − + a b y ) 0 2 y 0 2 2 | 1 2 a 2 P ( x 0 | b x 0 a − 2 + a y b 0 2 |  | b x 0 a + 2 + a y b 0 2 | d 1 d 2 1 2 | O P 2| y ) 0  b 2 x 20 − a 2 y 20 = a 2 b 2 a2b2 1   a2 a2 +b2 2 a 2 b 2 e = c a = 1 + b a 2 2 2  1  e  2 D N x z P A C B y17.(本小题满分15分) 解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件 高一数学 答案 第3页 共5页 A ，则 P ( A ) = C C 3331 0 = 1 1 2 0 ， 所以两位顾客均享受到免单的概率为 P = P ( A )  P ( A ) = 1 4 1 4 0 0 ； ----6分 （2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000； 计算 P ( X = 0 ) = C C 3331 0 = 1 1 2 0 , P ( X = 6 0 0 ) = C 2 C 3 3 C 1 0 17 = 7 4 0 ， P ( X = 7 0 0 ) = C 1C 3 3 C 1 0 27 = 2 4 1 0 , P ( X = 1 0 0 0 ) = C C 3731 0 = 7 2 4 ， 故 X 的分布列为： X 0 600 700 1000 P 1 120 7 4 0 2 4 1 0 7 24 所以 E ( X ) = 0  1 1 2 0 + 6 0 0  7 4 0 + 7 0 0  2 4 1 0 + 1 0 0 0  7 2 4 = 7 6 4 1 6 （元 ) ； -----10分 若选择方案二，设摸到红球的个数为 Y ，付款金额为 Z 元，则 Z = 1 0 0 0 − 2 0 0 Y ， 由已知可得 Y ~ B ( 3 , 1 3 0 ) ，故 E ( Y ) = 3  1 3 0 = 1 9 0 ， 所以E(Z)=E(1000−200Y)=1000−200E(Y)=820（元)， -------14分 因为E(X)E(Z)，所以该顾客选择方案一更合算． -------15分 18.(本小题满分17分) 解：（1）由 f ( x ) = x ln x − x ，则 f ( x ) = ln x ，且 f (1 ) = − 1 ，  k = f ( 1 ) = 0 ，故切线方程为 y = − 1 . ------4分 （2）解：不等式 f ( x ) m x − e 2 ，即为 x ln x − x m x − e 2 ，由 x  0 ，则 ln x − 1 + 2 e x  m ， 令 g ( x ) = ln x − 1 + 2 e x 1 e2 x−e2 ，则g(x)= − = ， 当 x x2 x2 x  ( 0 , e 2 ) 时， g ( x )  0 ， g ( x ) 单调递减；当 x  ( e 2 ， +  ) 时， g ( x )  0 ，g(x)单调递增， 所以 g ( x ) m in = g ( e 2 ) = 2 ，所以m 2， 即m的取值范围是 ( −  ， 2 ] ． ----10分 （3）证明：由 h ( x ) = x ln x − x + x 2 ，则h(x)=lnx+2x，令H(x)=h(x)， 2x+1 求导可得H(x)= 0在 x ( 0 , +  ) 上恒成立， 则函数 H ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递增，即函数 h ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递增， 由x 是函数h(x)的极值点，则h(x )=0，即lnx =−2x ，由 0 0 0 0 h  （1）=20，则0x 1， 0 所以 f(x )+3x =xlnx −x +3x =−2x2+2x =2x (1−x )0． ----17分 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019.(本小题满分17分) 解：（1）因为椭圆C 的离心率为 高一数学 答案 第4页 共5页 2 3 2 ，所以 c a = 2 3 2 8 ，即c2 = a2，因为 9 | A B 2| = a 2 + b 2 = 1 0 ， 又 a 2 = b 2 + c 2 ，解得 a = 3 ， b = 1 ，则椭圆 C 的标准方程为 x 9 2 + y 2 = 1 . ----4分 （2） ( i ) 证明：设直线l的方程为 y − 1 = k ( x − 3 ) ，其中k 0，且 k  2 3 ， M ( x 1 ，y ),N(x ， 1 2 y 2 ) ，联 立  y x 9 − 2 1 + = y k 2 ( = x 1 − 3 ) ，消去 y 并整理得 ( 9 k 2 + 1 ) x 2 − ( 5 4 k 2 − 1 8 k ) x + 8 1 k 2 − 5 4 k = 0 ，由韦达定理得 x 1 + x 2 = 5 2 4 k − 2 9 k + 1 8 1 k ， x 1 x 2 = 8 1 k 9 2 k − 2 + 5 4 1 k ， 所 以 = 1 k  ( x 1 x 1 − 3 + x x 2 2 − 3 ) = 1 k  2 x ( 1 x x 1 2 − − 3 3 ) ( x 1 ( x 2 + − 1 k 1 x 2 3 ) + ) 1 k 2 = y x 1 1 − 1 + y x 2 2 − = 1 = 1 k x 1 k ( x − 1 2 x x 1  x x − 1 2 3 ) − 2 3 ( + 3 ( x 1 k x + ( 1 x x 2 + x 2 2 − x ) 2 + 3 ) ) 9 81k2 −54k 54k2 −18k 2 −3 1 9k2 +1 9k2 +1 −54k =  = =−6，则 k 81k2 −54k 54k2 −18k 9k −3 +9 9k2 +1 9k2 +1 1 k 1 + 1 k 2 为定值，定值为 − 6 ；-------10分 ( i i ) 直线 B M 的方程为 y = k 1 x + 1 ，令 y = 0 ，解得 x = − 1 k 1 ，即 T ( − 1 k 1 , 0 ) ，设直线 B N 与 x 轴交于点 Q ，直线 B N 的方程为 y = k 2 x + 1 ，令 y = 0 ，解得 x = − 1 k 2 ，即 Q ( − 1 k 2 , 0 ) ，由 ( i ) 知 1 k 1 + 1 k 2 = − 6 1 1 ，所以 − − =6，所以点 k k 1 2 A ( 3 , 0 ) 是 线 段 T Q 的 中 点 ， 则 △ B N T 的 面 积 S = 2 S B A N = 2  1 2 | A B |  d = 1 0 d ，其中 d 为点 N 到直线 A B 的距离，显然，当过点 N 且与直线 A B 平行的直线 l  与椭圆 C 相切时，d 取最大值．设直线 l  1 的方程为y=− x+m(m1)，即 3 x + 3 y − 3 m = 0 ，  1 y=− x+m   3 联立 ，消去 x2  + y2 =1  9 y 并整理得 2 x 2 − 6 m x + 9 m 2 − 9 = 0 ，由△ = 0 ，解得 m = − 2 ，所以平行直 线 l  : x + 3 y + 3 2 = 0 与 l : x + 3 y − 3 = 0 |3 2−(−3)| 3 2+3 之间的距离为 = ，即 10 10 d 的最大值为 3 2+3 3 2+3 ，此时△BNT 的面积为S = 10 =3 2+3．即△BNT 的面积S的最大值为3 2+3． 10 10 ------17分