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专题 10 平面直角坐标系（综合题）
易错点拨
知识点：坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个 为原点，确定 的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的 在坐标轴上标出
(3)在坐标平面内画出这些点，写出 ．
细节剖析：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a 个单位长度，可以
得到对应点 ；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可
以得到对应点 ．
细节剖析：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是
把原图形 平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的
新图形就是把原图形 平移a个单位长度．
细节剖析：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的
坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“ ”．
易错题专训一．选择题
1．（2022春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，
4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
2．（2022春•南昌期中）在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴
则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3．（2022春•武昌区期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距
离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
4．（2021秋•市中区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序
数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．
若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
5．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知 A（0，0），B（﹣3，1），C
（3，4），若点D使得∠BCD＝∠DAB，则点D的坐标可能是（ ）A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）
6．（2022春•信都区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，1），C（1，
2）；△DEF的顶点坐标为D（0，0），E（4，2），F（2，4），关于△ABC和△DEF下列说法中，正确
的是（ ）
A．周长相等
B．面积相等
C．△DEF的周长是△ABC周长的2倍
D．△ABC周长是△DEF的周长的2倍
二．填空
7．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），直线AB与x轴平行，若AB＝
4，则点B的坐标为 ．
8．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于点D，若B（m，
2），C ，A（5，0），则AD•BC＝ ．
9．（2022春•青龙县期中）点A（m+1，2m﹣3）在第一、三象限夹角的平分线上，则m的值为 ．
10．（2022秋•丰泽区校级月考）直线AB经过两点A（1，3）、B（4，6），该直线与x轴所夹的锐角为a，则a值为 ．
11．（2022春•朝阳区校级月考）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两
点A（x，y）、B（x，y），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（ ， ），如：点
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A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（ ， ），即M（2，4）．利用以上结
论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，
且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 ．
12．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点
M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P，
若点P的坐标为（a，1﹣2a），则a＝ ．
13．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连
接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点
（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点（ ）的“双角坐标”为 ；
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标 ；
（3）若点P到x轴的距离为 ，则m+n的最小值为 ．
三．解答题
14．（2022春•东莞市校级期中）已知点P（a+2，2a﹣8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴；（2）点P到y轴的距离为4．
15．（2022春•德化县期中）现给出如下各点：A（0，4），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣3），D（2，﹣
3），E（4，1）．
（1）请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）观察（1）中得到的图形．
①直接写出点C到x轴的距离．
②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．
16．（2022春•沂水县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，m+1），试分别根据下列条件，求出
点P的坐标．
（1）点P到两坐标轴的距离相等；
（2）点P在过A（2，﹣5）点，且与x轴平行的直线上．17．（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，
0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足 +|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，
以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动
（1）求点B的坐标．
（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
18．（2022春•绵阳期末）如图，将四边形ODFE放在平面直角坐标系xOy中，EF∥OD，OE∥DF，在三角形
ABC中，∠C＝90°，点C在四边形ODFE内部，点A和点B分别在边EF和OD上，AC平分∠FAB，边EF
与y轴正半轴交于点G（0，a），EG＝b，设∠E＝θ（θ为锐角）．
（1）请直接写出点E的坐标，并证明：BC平分∠ABD；
（2）当AC∥OE时，
①若∠FAC＝3∠CBD，求θ的值；
②若点B的坐标为（b，0）时，试问：BG是否平分∠ABO？说明理由．19．（2022春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），点B（x，y），定义|x﹣
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x|+|y﹣y|为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x﹣x|＝|y﹣y|时，规定d
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（A，B）＝|x﹣x|，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I任意两点的绝
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对距离的最大值为d，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d，称d与d的较大值为分类系数．
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如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）若将点A，C分为第I类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d＝ ，d＝ ，因此，这种分类
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方式的分类系数为 ；
（2）将点A，B，C，D，E分为两类，求分类系数d的最小值：
（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直
接写出m的取值范围．
20．（2022春•潍坊期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），P（c，b），P（c，
1 2 3d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P，P，P的“最佳间距”．例如：如图，点P
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（﹣1，2），P（1，2），P（1，3）的“最佳间距”是1．
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（1）理解：点Q（2，1），Q（5，1），Q（5，5）的“最佳间距”是 ；
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（2）探究：已知点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y）（y≠0）．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为 ；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
（3）迁移：当点O（0，0），E（m，0），P（m，﹣2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标
是 ．
