专题22直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质（学生版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2024年复习资料_完备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题 22 直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质 （核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布 直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质近几年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长 1、证明线面平行； 2023年全国乙（文科），第19题,12分 2、求三棱锥的体积； 2023年全国乙（理科），第3题,5分 通过三视图求几何体的表面积 2023年全国乙（文科），第3题,5分 2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算 证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线 2023年全国乙（理科），第9题,5分 面角的正切值 1、证明线面平行； 2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直； 3、求二面角 2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积 2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题 1、证明面面垂直； 2023年全国甲（文科），第18题,12分 2、求四棱锥的高 余弦定理解三 2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算 角形 2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题 1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线 2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等； 2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值 2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为高考必考知识点，常在解答题中第一问考查证明问题； 2.考查线线平行、线面平行、面面平行； 3.考查线线垂直、线面垂直、面面垂直； 【备考策略】1.能对空间中的平行关系进行判断或证明. 2.能利用平行关系的性质求解相关问题. 3.能够判断并证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系. 4.能利用垂直的性质解决空间基本图形位置关系的相关问题. 【命题预测】1.考查线线平行、线面平行、面面平行； 2.考查线线垂直、线面垂直、面面垂直； 知识讲解 一、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如 果 一 条 直 线 与 a⊄α, } 判定 的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 b⊂α, a∥α 定理 (线线平行⇒线面平行) a∥b ⇒ 一条直线与一个平面 ,如果过该直 a∥α, } 性质 线的平面与此平面相交,那么该直线与 a⊂β, a∥b 定理 交线平行(线面平行⇒线线平行) α⋂β=b ⇒ 二、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言a∥α, } 判 如果一个平面内的两条 与 b∥α, 定 另一个平面平行,那么这两个平面平行(线 a⋂b=P, α∥β 定 面平行⇒面面平行) a⊂β, 理 ⇒ b⊂β 性 两个平面平行,如果另一个平面与这两个 α∥β, } 质 平面 ,那么两条 平 α⋂γ=a, a∥b 定 理 行(面面平行⇒线线平行) β⋂γ=b ⇒ 平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. α//β β//γ α//γ (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若 , ,则 . (3)两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行. 利用线线平行证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路 是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条 直线平行.在证明过程中,注意内、外、平行三个条件,缺一不可. 应用线面平行的性质定理证明线线平行的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平 面来确定交线.要证线线平行,可把它们转化为线面平行.即在应用性质定理时,一般遵循从“高维”到“低 维”的转化,即从“线面平行”到“线线平行”;而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反. 证明平面与平面平行的常用方法 (1)面面平行的判定定理(主要方法). (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用). (3)利用平面平行的传递性,如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行(客观题可用). (1)如果两个平面平行,那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”). 在解决线面平行问题时,要恰当应用三种平行关系之间的转化: 其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化. 三、直线与平面垂直的判定定理和性质定理 1.定义:如果直线 l 与平面α 内的 直线都垂直,那么直线 l 与平面α 垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言a,b⊂α, } 一条直线与一个平面内 a⋂b=O, 的 都垂直,则 l⊥α l⊥a, 该直线与此平面垂直 l⊥b ⇒ 垂直于同一个平面的两 a⊥α,} a∥b 条直线 b⊥α ⇒ 四、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 1.定义:如果两个平面所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另一个 l⊥α,} 平面的 ,则 α⊥β l⊂β 这两个平面垂直 ⇒ α⊥β, 两个平面垂直,则一 } 个 平 面 内 垂 直 于 l⊂β, l⊥α 交线的直线与另一 α⋂β=a, 个平面垂直 l⊥a ⇒ 1.垂直间的三种转化关系 2.直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 1.证明直线和平面垂直的常用方法: (1)判定定理; (2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α); (3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);(4)面面垂直的性质. ⇒ 2.证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质 ⇒ 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 1.垂直于同一平面的两条直线平行. 2.如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线与平面内所有直线都垂直. 3.垂直于同一直线的两个平面平行. 线面角的几何法解题步骤: 1.找直线上一点P作平面α 的垂线; 2.连接垂足与斜足,得线面角;3.解直角三角形,得到线面角. 1.点到平面的距离的常见解法 (1)定义法:找到(或作出)表示距离的线段,根据线段(所求距离)所在三角形求解. (2)等积法:利用同一个三棱锥的体积相等求解. (3)转化法:将点面之间的距离转化为线面之间(或面面之间)的距离求解. 2.线到平面的距离,平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解. 面面垂直常利用面面垂直的判定定理(线面垂直⇒面面垂直).证明时,先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图 中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决. 当两个平面垂直时,则需利用面面垂直的性质定理,分三步走: 第一步,找到两个平面的交线; 第二步,在其中一个面内找与交线垂直的直线; 第三步,得线面垂直. 找二面角常常采用垂线法: 第一步,找到两个面的交线; 第二步,从一个平面内找一点,向另一个平面作垂线; 第三步,从垂足再向交线作垂线,连线构造,得二面角的平面角或是补角; 第四步,解三角形,得二面角的大小. 1.平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”, 再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定 的,不可过于“模式化”. 2.垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件,同时抓住线线、线面、面面垂直的转 化关系,即在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通 过作辅助线来解决.考点一、直线与平面平行 1．（2023年河北省模拟数学试题）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 PAD为正三角形，M 为线段PD上一点，N 为BC的中点. (1)当M 为PD的中点时，求证：MN //平面PAB. (2)当PB//平面AMN，求出点M 的位置，说明理由. 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN 平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．1．如图，在三棱柱 中， ， ，且 ， 底面 ， 为 中点,点 为 上一点. 求证： 平面 ； 2．（2020年北京市高考数学试题）如图，在正方体ABCDABCD 中， E为BB 的中点． 1 1 1 1 1 求证：BC //平面ADE； 1 1 3．如图，在三棱柱 中，点D是AB的中点．求证： ∥平面 ． 考点二、平面与平面平行1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点． （ ）求证：平面 平面 ． （ ）求证： ． 2．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））如图,四棱柱ABCD－AB C D 的底面 1 1 1 1 ABCD是正方形, O为底面中心, AO⊥平面ABCD, . 1 （1）证明: A BD // 平面CDB ; 1 1 1 （2）求三棱柱ABD－AB D 的体积. 1 1 1 3．（2023届浙江省名校新高考研究联盟联考数学试题）如图，在四棱锥POABC中，已知OAOP1，π π π ， ，CPO ，ABC ，AOC ， 为 中点， 为 中点. CP2 AB4 3 6 2 E PB F AB 证明：平面CEF//平面PAO； 1．（2023年陕西省模拟文科数学试题）如图，在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，S是B 1 D 1 的中点，E,F,G分 别是BC,DC,SC的中点，求证： (1)EG//平面BDDB ； 1 1 (2)平面EFG//平面BDDB . 1 1 2．（2023届广东省模拟数学试题）如图所示的在多面体中，AB AD,EBEC，平面ABD平面BCD，平面BCE平面BCD，点F,G分别是CD,BD中点. 证明：平面AFG //平面BCE； 3．如图，已知正方体ABCDABCD 的棱长为1,E,F 分别是AD,BD的中点. 1 1 1 1 1 (1)求证：平面ABD //平面CBD ； 1 1 1 (2)求证：EF //平面DCC 1 D 1 ； 考点三、平行关系的综合应用1．（2022年全国高考甲卷数学（文科）试题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒， 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角 形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF//平面ABCD； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 2．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱ABC- ABC 中，侧面BCCB 为正方形，平面 1 1 1 1 1 BCCB 平面ABBA ，ABBC 2，M，N分别为AB ，AC的中点． 1 1 1 1 1 1 求证：MN∥平面BCCB ； 1 1 3．如图，正方体ABCDABCD 中，E、F分别为DD、CC 的中点，求证：平面AEC//平面BFD . 1 1 1 1 1 1 11．（2023年天津市名校联考数学试题）如图：在正方体 中AB2，M 为DD 1 的中点. (1)求三棱锥M ABC的体积； (2)求证：BD //平面AMC； 1 (3)若N 为CC 的中点，求证：平面AMC//平面BND . 1 1 2．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： (1)MN∥平面PCD； (2)平面MNQ∥平面PBC． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点 G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上. (1)证明：AP//GH ； (2)若AB的中点为N，求证：MN//平面APD. 考点四、直线与平面的垂直关系1．（2022年全国高考甲卷数学（理科）试题）在四棱锥PABCD中，PD底面 ABCD,CD∥AB,ADDC CB1,AB2,DP 3． 证明：BDPA； 2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD， ADBADC 60，E为BC的中点． 证明：BC DA； 3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥PABC中， ABBC 2 2，PAPBPC  AC 4，O为AC的中点．证明：PO平面ABC； 1．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC， PA ABBC 1，PC  3． 求证：BC平面PAB； 2．如图，在三棱锥P－ABC中，PC 底面ABC，ABBC，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：DE//平面PAC； (2)求证：ABPB 3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题（海南卷））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l 平面PDC； 考点五、平面与平面的垂直关系1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱ABC- ABC 中，AC 平面 1 1 1 1 ABC,ACB90． (1)证明：平面ACC A 平面BBCC； 1 1 1 1 (2)设AB AB,AA 2，求四棱锥A BBCC的高． 1 1 1 1 1 2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC， E为AC的中点． 证明：平面BED平面ACD； 3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED平面ACD； (2)设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积． 4．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若 AD2,QDQA 5,QC 3． 证明：平面QAD平面ABCD；1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD， M为BC的中点，且PB AM ． （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若PDDC 1，求四棱锥PABCD的体积． 2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三 1 1 1 角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于 1 1 1 1 1 1 E，交AC于F. 证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F； 1 1 1 1 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆 心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO= 2，圆锥的侧面积为 3π，求三棱锥P−ABC的体积. 考点六、平行与垂直关系的综合应用1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形CDA45，AD AC 1，O为AC中 点，PO平面ABCD，PO2，M 为PD中点. (1)证明：PB//平面ACM ； (2)证明：平面PAD平面PAC. 2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，ACBDE，过点E的平面与棱PC，PD，AD分别交于点 F､H､G，且平面PAB∥平面EFHG. (1)求证：EG∥平面PDC； (2)若ADCD，PD平面ABCD，AB3，ADCDPD6，求三棱锥FCDE的体积. 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱ABC- ABC 中，侧面AABB为正方形， 1 1 1 1 1 ABBC 2 AC CC BF  AB 1 1 1ABBC 2，E，F分别为AC和CC 的中点，BF  AB . 1 1 1 （1）求三棱锥FEBC的体积； （2）已知D为棱A 1 B 1 上的点，证明：BF DE. 1．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD； (2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 2．在三棱锥PABC中，D,E分别为AB,AC的中点，且CACB.(1)证明：BC∥平面PDE； (2)若平面PCD平面ABC，证明：ABPC. 3．如图， 中， ， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求证： 平面 .【基础过关】 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方 体中，直线AB与平面MNQ0不平行的是（ ） A． B． C． D． 2．若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“l m”是“l//”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A．若l m，m，则l  B．若l ，l//m，则m C．若l//，m，则l//m D．若l//，m//，则l//m 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，AB AD， O为BD的中点. 证明：OACD； 5．（2023年浙江省联考数学试题）如图所求，四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，F 为PA的 中点，E为PB中点.(1)求证：PC //平面BFD； PM (2)已知 点在 上满足 平面 ，求 的值. M PD EC // BFM MD 6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱ABC- ABC 中，侧面AABB为正方形， 1 1 1 1 1 ABBC 2，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱AB 上的点．BF  AB 1 1 1 1 1 证明：BF DE； 7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点 F．(1)求证：PA//平面BDE； (2)求证：F为PD的中点； AN (3)在棱 上是否存在点N，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． AB FN // BDE NB 8．如图1，在 中， ， ， ， 是 的中点， 在 上， .沿着 将 折起，得到几何体 ，如图2 (1)证明：平面 平面 ； 9．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点N 为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD,M 是线段ED的中点，则 A．BM EN，且直线BM,EN 是相交直线 B．BM EN ，且直线BM,EN 是相交直线 C．BM EN，且直线BM,EN 是异面直线 D．BM EN ，且直线BM,EN 是异面直线 10．（2023年河南省模拟数学试题）如图所示，在三棱柱ABC- ABC 中，E,F,G,H 分别是AB,AC， 1 1 1 AC ，AB 的中点，求证： 1 1 1 1 (1)BC //平面AEF； 1 1 1 (2)平面AEF//平面BCGH． 1 11．如图，已知 ， ， ，平面 ⊥平面 ， ，，F为 的中点． 证明： 平面 ； 12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN//平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 13．（2019年江苏省高考数学试题）如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，D，E分别为BC，AC的中点， 1 1 1 AB=BC．求证：（1）AB∥平面DEC ； 1 1 1 （2）BE⊥C E． 1 14．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD； (2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 15．如图，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ， ， 分别是的中点． (1)求证： ； (2)求证：平面 平面 ． 【能力提升】1．如图，在四棱锥 中，侧面 底面ABCD，且 ， ， 8， . 求证： ； 2．如图，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G，H分别是AB，AC，AB，AC 的中点．求证： 1 1 1 1 1 1 1 (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA 平面BCHG. 1 3．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在 上，且 ． (1)求证：平面 平面PAC； (2)求证： 平面PAC； (3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 4．如图，四边形 是菱形，且 ，P是平面 外一点， 为正三角形，平面 平面 . (1)若G为边 的中点，求证： 平面 ； (2)若E为边BC的中点，能否在边PC上找出一点F，使平面 平面 ？ 5．（2023届江苏省二模数学试题）如图，在圆台 中， 分别为上、下底面直径，且 ，， 为异于 的一条母线． (1)若 为 的中点，证明： 平面 ； 6．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: (1) 平面AEC; (2)平面AEC⊥平面PBD． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD 1 1 1 1 是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC . 1 1（1）证明：BE⊥平面EBC ； 1 1 （2）若AE=AE，AB=3，求四棱锥 的体积． 1 8．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 平面 ，且 是 的中点. (1)求证： 平面 ； (2)求异面直线 与 所成角的正切值； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 9．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． 证明：平面 平面 ； 10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，M 、N 分别是A 1 D 1 、A 1 B 1 的中点，过直线BD的 平面//平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）. 6 9 A． B． C． D． 2 8 2 3 11．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体ABCDABCD ，M，N分别是AD，DB的中点， 1 1 1 1 1 1 则（ ） A．直线AD与直线DB垂直，直线MN //平面ABCD 1 1 B．直线A 1 D与直线D 1 B平行，直线MN 平面BDD 1 B 1 C．直线AD与直线DB相交，直线MN //平面ABCD 1 1 D．直线A 1 D与直线D 1 B异面，直线MN 平面BDD 1 B 1 12．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正 1 1 1三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB 1 1 1 1 1 1 于E，交AC于F． （1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F； 1 1 1 1 （2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EBC F的体积． 1 1 1 1 1 1 1 13．（2023年浙江省教研联盟联考数学试题）如图，在三棱柱BCF ADE中，若G，H分别是线段AC， DF的中点. (1)求证：GH BF； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存 在，说明理由.14．（2020年山东省春季高考数学真题）已知点E，F 分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四 边形EFCD沿EF折起，使二面角CEFB为直二面角，如图所示. （1）若点G，H 分别是AC，BF的中点，求证：GH //平面EFCD；【真题感知】 1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2， BC 2 2，PBPC  6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD 5DO，点F在AC上， BF  AO. (1)证明：EF//平面ADO； (2)证明：平面ADO平面BEF； 2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 的中点分别为 ，点 在 上， ． (1)求证： //平面 ； (2)若 ，求三棱锥 的体积．3．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台 中，若 面 ， 分别是 中点. (1)求证： //平面 ； 4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体 中，E，F分别为 的中点， 则（ ） A．平面 平面 B．平面 平面 C．平面 平面 D．平面 平面 5．（2022年全国新高考II卷数学试题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 PB的中点． 证明： 平面PAC；