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专题2.20 《实数》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2020·湖南长沙·中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节
日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值
最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当
时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的
精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四
个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无
关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于
该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
2．（2020·广西中考真题）若 ＝0，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2019·山东滨州·中考真题）若 与 的和是单项式，则 的平方根为（
）．
A．4 B．8 C．±4 D．±8
4．（2017·河北中考真题）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，
下列选项错误的是( )
A． B．B．． D．
5．（2020·江苏宿迁·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC= ，下列选项中，可以作为
AC长度的是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（2019·四川绵阳·中考真题）已知 是整数，当 取最小值时， 的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知 为实数﹐规定运算： ， ，
， ，……， ．按上述方法计算：当 时， 的值等于
（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖北随州·中考真题）根据图中数字的规律，若第 个图中的 ，则 的值
为（ ）
A．100 B．121 C．144 D．169
9．（2020·四川巴中·中考真题）定义运算：若am＝b，则log b＝m（a＞0），例如23＝8，
a
则log 8＝3．运用以上定义，计算：log 125﹣log 81＝（ ）
2 5 3
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
10．（2020·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·湖北荆门·中考真题）下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
12．（2021·广东中考真题）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值
是（ ）
A．6 B． C．12 D．
13．（2021·内蒙古中考真题）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
14．（2021·湖南娄底·中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于
（ ）
A． B． C．10 D．4
15．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题
的反例是（ ）
A． B． C． D．
16．（2016·贵州安顺·中考真题）已知x，y满足 ，则以x，y的值为两边
长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案都不对
17．（2018·山东日照·中考真题）若式子 有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
18．（2015·河北中考真题）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④二、填空题
19．（2021·青海中考真题）观察下列各等式：① ；② ；③
…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
20．（2021·内蒙古中考真题）一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根
为_______．
21．（2021·四川广元·）如图，实数 ， ，m在数轴上所对应的点分别为A，B，
C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．
22．（2021·四川达州·中考真题）已知 ， 满足等式 ，则
___________．
23．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式： ；
；
；
……
根据以上规律，计算 ______．
24．（2020·湖北荆州·中考真题）若单项式 与 是同类项，则 的值是_______________．
25．（2020·湖北中考真题）对于实数 ，定义运算 ．若
，则 _____．
26．（2020·湖南邵阳·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘
都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1 6
3
27．（2020·山东潍坊·中考真题）若 ，则 _________．
28．（2020·湖南张家界·）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
29．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知 ，当分别取1，2，3，……，
2020时，所对应 值的总和是__________．
30．（2020·四川自贡·中考真题）与 最接近的自然数是 ________．
31．（2019·四川绵阳·中考真题）单项式 与 是同类项，则 ______．
32．（2019·四川内江·中考真题）若 ，则 _____．
33．（2019·湖南益阳·中考真题）观察下列等式：
①3﹣2 ＝( ﹣1)2，②5﹣2 ＝( ﹣ )2，
③7﹣2 ＝( ﹣ )2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式____________．
34．（2019·湖南湘西·中考真题）阅读材料：设 ＝（x，y）， ＝（x，y），如果 ∥
1 1 2 2
，则x•y＝x•y，根据该材料填空，已知 ＝（4，3）， ＝（8，m），且 ∥ ，则m
1 2 2 1
＝_____.
35．（2019·山东临沂·中考真题）一般地，如果 ，则称 为 的四次方根，一
个正数 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为 ，若 ，则 _____．
36．（2019·山东菏泽·中考真题）已知 ，那么 的值是_____．
37．（2019·山东滨州·中考真题）计算： _________．
38．（2019·山东滨州·中考真题）观察下列一组数：
，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 个数 __________（用含 的式
子表示）
三、解答题
39．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）计算： ．
40．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点 是数轴上表示实数 的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 的点 ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较 和 的大小，并说明理由．
41．（2021·浙江台州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
42．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和
是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
43．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：
，其中 ．
44．（2020·重庆中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不
能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为
“差一数”．
例如： ， ，所以14是“差一数”；
，但 ，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
45．（2019·贵州安顺·中考真题）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在
指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 （ 且 ），那么 叫做以 为底 的对数，记作
，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式 ，可以转
化为指数式 ．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（ ， ， ， ），理由如下：
设 ， ，则 ， ，
∴ ，由对数的定义得
又∵
∴
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式 转化为对数式________；
（2）求证： （ ， ， ， ）
（3）拓展运用：计算 ________．
46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 均为整数），则有 ．
∴ ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当 均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示 ，得
＝ ， ＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 ，填空： ＋ ＝( ＋
)2；
（3）若 ，且 均为正整数，求 的值．参考答案
1．A
【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一
个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．
解：①圆周率是一个有理数，错误；
② 是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆
的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小
有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限
不循环小数，3.14只是取它的近似值．
2．C
【分析】利用算术平方根性质确定出x的值即可.
解：∵ ＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，
则x的值是1．
故选：C.
【点拨】此题考查算术平方根的性质的应用，解一元一次方程，正确理解算术平方根的性
质得到x﹣1＝0是解题的关键.
3．D
【分析】根据单项式的定义可得 和 是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即
可.
解：由 与 的和是单项式，得
．
，64的平方根为 ．
故选D．
【点拨】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.4．D
【解析】因为 ， ， ，
，故答案选D.
考点：算术平方根，立方根，0指数幂，负数指数幂.
5．A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到
AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，AB=1，BC= ，
∴ ﹣1＜AC＜ +1，
∵ ﹣1＜2＜ +1，4＞ +1，5＞ +1，6＞ +1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利
用三角形三边关系解答．
6．A
【分析】根据绝对值的意义，找到与 最接近的整数，可得结论．
解：∵ ，∴ ，
且与 最接近的整数是5，∴当 取最小值时， 的值是5，
故选A．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
7．D
【分析】当 时，计算出 ，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
解：当 时，计算出 ，
会发现是以： ，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的
值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
8．B
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
解：根据图中数据可知：
则 ， ，
∵第 个图中的 ，
∴ ，
解得： 或 (不符合题意，舍去)
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．
9．A
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log 125=3，log 81=4，再计算出
5 3
所求式子的值即可．
解：∵53=125，34=81，∴log 125=3，log 81=4，
5 3
∴log 125﹣log 81，
5 3
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，
掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理
解新定义就是乘方的逆运算．
10．C
【分析】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得 ；选项B，由3<π<4，
即可得 ；选项C，由 ，6.25<10，可得 ；选项D，由
可得 ．由此可得只有选项C错误．
解：选项A，根据两个负数绝对值大的反而小可得 ，选项A正确；
选项B，由3<π<4， 可得 ，选项B正确；
选项C，由 ，6.25<10，可得 ，选项C错误；
选项D，由 可得 ，选项D正确．
故选C．
【点拨】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无
理数的估算方法是解决问题的关键．
11．D
【分析】根据相应运算的基本法则逐一计算判断即可
解：∵ ,
∴A计算错误;
∵ ,∴B计算错误;
∵ +x无法运算,
∴C计算错误;
∵ ,
∴D计算错误;
故选D．
【点拨】本题考查了幂的乘方，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握各类公式的计
算法则是解题的关键．
12．A
【分析】首先根据 的整数部分可确定 的值，进而确定 的值，然后将 与 的值代入
计算即可得到所求代数式的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ，
∴小数部分 ，
∴ ．
故选： ．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定 的整数部分 与小数部分 的值是
解题关键．
13．C
【分析】先将代数式 变形为 ，再代入即可求解．
解： ．
故选：C
【点拨】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
14．D
【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出 的范围，
再对二次根式化简．
15．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
解：A、 ，是无理数，不符合题意；
B、 ，是无理数，不符合题意；
C、 ，是有理数，符合题意；
D、 ，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题
的关键．
16．B
【分析】先利用绝对值与二次根式的非负性求出x，y的值，再根据x是腰长和底边长两种
情况讨论求解．
解：∵|4−x|＋ ＝0，
又∵|4−x|≥0， ≥0，
∴x＝4，y＝8，
（1）若4是腰长，则三角形三边长为4，4，8，不符合三角形的三边关系；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为8，8，4，周长为8＋8＋4＝20．故选：B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形的三边关系；解题主要利用
了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对能否组成三角形做出
判断．解题的关键是熟练掌握这些基本知识．
17．D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知： ，
∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.
18．C
解：试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．
∵ 7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．8＜ ＜2．9，
所以 应在③段上．
故选C
考点：实数与数轴的关系
19．
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，
右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，
再将n=6代入即可求出答案．
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填： ．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思
维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体
找关系．
20．2
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将 和 相加等于0，列出方程，解出
b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将 算出后，求立方
根即可．
解：∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【点拨】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的
两个平方根互为相反数．
21．-3
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为 ，
∴点D表示的数为 ，
∵A点表示 ，C点位于A、D两点之间，
∴ ，
∵m为整数，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不
等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的
思想方法．
22．-3
【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
解：由 ，变形得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：-3
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的
乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
23．
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为 ，等式右边为1与
的和；利用这个结论得到原式＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021，然后把 化为1﹣
， 化为 ﹣ ， 化为 ﹣ ，再进行分数的加减运算即可．
解：由题意可知， ，
＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021
＝2020+1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣2021
＝2020+1﹣ ﹣2021
＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字
的特征进行简便运算．
24．2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．解：由同类项的定义得：
解得
则
故答案为：2．
【点拨】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
25．
【分析】根据给出的新定义分别求出 与 的值，根据 得出关于a的
一元一次方程，求解即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定
义是解题的关键．
26．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到 ，然后中间一行的三个数相乘以及最
后一行的三个数相等都是 ，即可求解．
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为： ，
设第二行中间数为x，则 ，解得 ，
设第三行第一个数为y，则 ，解得 ，∴2个空格的实数之积为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是
解决此类题的关键．
27．5
【分析】根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：根据题意得， ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于
0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
28．
【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本
题．
解：由题干信息可抽象出一般规律： （ 均为奇数，且 ）．
故
．
故答案： ．
【点拨】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何
种规律，严格按照该规律求解．
29．
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
解：当 时，
当 时，
则所求的总和为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方
法是解题关键．
30．2
【分析】先根据 得到 ，进而得到 ，因为14更接近
16，所以 最接近的自然数是2．
解： ，可得 ，
∴ ，
∵14接近16，
∴ 更靠近4，
故 最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
31．1
【分析】先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出 ， 的值，然后代
入代数式计算即可．
解：由题意知 ，即 ，
∴ ， ， ，
则 ，
故答案为1．
【点拨】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
32．1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
解：∵ ，
∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案是：1002．
【点拨】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
33．
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得
到第n个等式右边的式子为( ﹣ )2(n≥1的整数)．
解：∵①3﹣2 ＝( ﹣1)2，
②5﹣2 ＝( ﹣ )2，
③7﹣2 ＝( ﹣ )2，
…，
∴第n个等式为：(2n+1)-2 =( ﹣ )2，
∴第6个等式为： ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与
右边的变化规律是解题的关键.
34．6【分析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；
解：∵ ＝（4，3）， ＝（8，m），且 ∥ ，
∴4m＝3×8，
∴m＝6
故答案为6
【点拨】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键.
35．
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为 .
【点拨】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
36．4
【解析】
【分析】将所给等式变形为 ，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出
答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4
【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平
方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.37．
【分析】根据根式的计算法则计算即可.
解：原式 ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查根式的计算，注意绝对值的计算，这是同学们往往容易计算错误的，
应当引起重视.
38．
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可.
解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 ，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为 ，
∴ ；
故答案为 ；
【点拨】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
39．
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
解：原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键
是掌握运算法则，正确的进行化简．
40．（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为 ，再利用圆规画圆弧即可得到
点 ．（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
解：（1）如图所示，点 即为所求．
（2）如图所示，点 在点 的右侧，所以
【点拨】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无
理数在数轴上的表示是关键．
41．（1）见详解；（2）60°
【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；
（2）先证明AC垂直平分BD，从而得 是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得
BD=20， 是等边三角形，进而即可求解．
解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三
角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．
42．（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2） 或
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个
位上的数字为 可得： ＜ 且 为整数，再由“共生数”的
定义可得： 而由题意可得： 或 再结合方程的正整数解分类讨
论可得答案．
解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或
【点拨】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论
的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
43． ； ．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
解：
原式当 时，
原式
。
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相
关的性质和运算法则是解题的关键．
44．（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、
359、374、389
【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2
的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解
法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被
15整除的数，进一步即得结果．
解：（1）∵ ； ，
∴49不是“差一数”，
∵ ； ，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、
344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点拨】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法
依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
45．（1） ；（2）详见解析；（3）2.
【分析】（1）根据对数式的定义转化即可；
（2）先设 ， ，根据对数的定义可表示为指数式为： ， ，
计算 的结果，类比所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式： 和 的逆用，计算可
得结论．
解：（1） （或 ），故答案为 ；
（2）证明：设 ， ，则 ， ，
∴ ，由对数的定义得 ，
又∵ ，
∴ ；
（3） ．
故答案为2．
【点拨】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系，解
题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系．
46．（1） ， ；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3） ＝7或 ＝13．
解：(1)∵ ，
∴ ，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
