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专题2.21 实数知识点分类训练专题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
知识点一、无理数
1．下列各数： ， ， ，﹣2，0，1.020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加
1），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为64时，输出的y值是（ ）
A．8 B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数 B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．实数可分为有理数，零，无理数 D．无限小数是无理数
知识点二、平方根
4．若 和 是一个正数的平方根，则这个正数为（ ）
A．25 B．225 C．25或225 D．
5．下列各式中计算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
6．根据下表回答问题：278.89的平方根是（ ）
x 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9
2259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61
A．16.7 B． C． D．
知识点三、算术平方根
7．下列等式成立的是（ ）A． ＝±5 B．± ＝±0.6 C． ＝﹣4 D． ＝3
8．要使 有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．下列计算正确的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点四、立方根
10．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11． 的立方根与 的平方根之和是（ ）．
A．6或 B．0或 C．6或 D．0或6
12．对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，
min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，
且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
知识点五、实数的概念
13．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数：③立方
根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正
确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．下列语句错误的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．任何一个正数都有两个平方根
C． ＝±2 D．有理数和无理数统称实数
15．在下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①0是最小的实数；②数轴上所有的点都表示实数；③无理数都是带根号的数；④ 的立方根是 ；⑤ 的平方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点六、实数的分类
16．在0， ， ， ， ， ， 中，有理数一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．在实数 ，0， ，3.1415926， ， ，3π中，有理数的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．设AB的长是m，下列关于m的四
种说法，其中，所有正确说法的序号是（ ）
①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是13的算术平方根；④3＜m＜4
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
知识点七、实数的性质
19． 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
20．若x，y都是实数，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．无法计算
21．根据嘉琪同学的答案，该题她的得分应是（ ）A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
知识点八、实数与数轴
22．如图，矩形ABCD中， ， ，点AB在数轴上，点A表示数－1，若以点A
为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A． B． C． D．2.5
23．如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
24．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
知识点九、实数的大小比较
25．在实数 ，4， ，0中，最小的数是（ ）
A． B．4 C． D．0
26．关于 ， ，2大小比较正确的是（ ）
A． ＜2＜ B． ＜ ＜2 C． ＜ ＜2 D．2＜ ＜
27．以下关于 的说法，错误的是（ ）
A． 是无理数 B． ＝±2
C．2＜ ＜3 D．能够在数轴上找到表示 的点
知识点十、无理数的估算28．估计 的运算结果应在下列哪两个整数之间（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
29．计算 的结果在（ ）
A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间
30．面积为5的正方形的边长在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
知识点十一、无理数的整数部分与小数部分
31．若两个连续整数 、 满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
32．已知m是 的整数部分，n是 的小数部分，则m2﹣n的值是（ ）
A．6﹣ B．6 C．12﹣ D．13
33．规定用符号 表示一个实数 的整数部分，例如： ， ，按此规定
的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．1
知识点十二、实数的混合运算
34．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ，结
果为（ ）
A． B． C． D．
35．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或36．若 ，则 的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
知识点十三、程序设计与实数运算
37．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的 为256时，输出的 是（ ）
A． B． C． D．
38．有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入x为64时，输出的y是（ ）
A．8 B． C． D．
39．按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，用输出的结果是（ ）
A．7 B．6+4 C．2 D．6﹣4
知识点十四、新定义下的实数运算
40．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝ 计算(3※2)×(8※12)的
结果为( )
A．2－4 B．2 C．2 D．2041．对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：
min{1，－2}＝－2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正
整数，则a－b的立方根为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
42．对实数a、b，定义运算a∗b＝ ，已知3∗m＝36，则m的值为（ ）
A．4 B．± C． D．4或±
知识点十五、实数运算的实际运用
43．若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；
②1.7 b ）定义一种新运算a※b= ，如3※2=
，那么12※4=______
89．阅读材料：若ab=N，则b=logN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则
a
log 8=log 23=3．根据材料填空：log 9=_____．
2 2 3
90．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为： ．如 ，
根据定义可得 _____________ ．
知识点十五、实数运算的实际运用
91．如图，将长方形分成四个区域，其中 ， 两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余
区域的面积是_________．
92．如图，正方形 被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分
别是2和6，那么两个长方形的面积和是__________．93．已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣ a＝2b+ ﹣a，则ab=____．
知识点十六、实数运算的相关规律题
94．观察分析下列数据，寻找规律：0，√3，√6，3，√12，√15，√18，…，那么第13
个数据是______．
95．已知 ， （ ），请用计算器计算当 时， 、
的若干个值，并由此归纳出当 时， 、 间的大小关系为______.
96． 观察下列各式： ， ， ，…,根据你发现的规律，
若式子 (a、b为正整数)符合以上规律，则 =_______.参考答案
1．B
【分析】根据无理数的三种形式求解．
解： ， ，
无理数有： ，1.020020002…，共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开
不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数．
2．B
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理
数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
解：当输入是64时，取算术平方根是 8，8是有理数，再把 8 输入，8的算术 ， 是
无理数，所以输出的是 ．
故选B．
【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键值注意读懂数值转换器．
3．B
【分析】根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案．
解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，错误，不符合题意；
B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确，符合题意；C、实数可分为有理数和无理数，错误，不符合题意；
D、无限不循环小数是无理数，错误，不符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．C
解： 和 为一个正数的平方根，若两数不同，则互为相反数，∴ ，
解得 ，即 ， ．若两数相同，则 ，解得 ，
， ．
答案：C
易错：A或B
错因：只考虑了一种情况，导致结果错误．
易错警示：审题时需要注意题干是否对平方根有所限定．做题时容易理解为只有一种情况
而漏解．
5．C
【分析】根据平方根、立方根的运算及性质逐个判断即可．
解：A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C正确；
D、 ，故D错误．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了平方根、立方根的运算及性质，解题的关键是熟记运算性质．
6．C
【分析】根据表格找到 对应的 ，再求平方根即可，一个正数的平方根有
2个，并且它们互为相反数．解： ，
的平方根是 ．
故选C.
【点拨】本题考查了求一个数的平方根，理解一个正数的平方根有2个，并且它们互为相
反数是解题的关键．
7．B
【分析】根据算数平方根和立方根的定义逐一进行化简即可得出答案；
解：A. ＝5，故选项A不符合题意；
B. ＝±0.6，故选项B符合题意；
C. ＝ ＝4，故选项C不符合题意；
D. ＝﹣3，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了算数平方根和立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．D
【分析】根据只有非负数才有算术平方根进行求解即可．
解：∵要使 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了非负数才有算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解即可．
9．B
【分析】根据一个非负数a的平方等于b，那么a就叫做b的算术平方根进行求解即可．
解：∵① ，故①错误；
② ，故②正确；③ ，故③正确；
④ ，故④错误；
⑤ 没有意义，故⑤错误；
故选B．
【点拨】本题主要考查了算术平方根，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关
计算法则．
10．A
【分析】根据负数的立方根转化为正数的立方根计算可判断A，把带分数化为假分数，再
根据分数的立方根可判断B，根据负数立方根转化为正数立方根计算可判断C，根据立方
根定义可判断D．
解：A. ，故选项A正确；
B. ，故选项B不正确；
C. ，故选项C不正确；
D. ，故选项D不正确．
故选择A．
【点拨】本题考查立方根的计算，掌握立方根的求法与性质是解题关键．
11．B
【分析】根据先化简 ，然后求出 ， ，再计算即可得到结果．
解：∵ ， ， ，
根据题意得：-3+3=0或-3-3=-6，
则-27的立方根与 的平方根之和为为0或-6．
故选：B．
【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解本题的关键．12．A
【分析】根据a，b的范围即可求出a−b的立方根．
解：根据题意得：a≤ ，b≥ ，
∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∵a和b为两个连续正整数，
∴a＝5，b＝6，
∴a﹣b＝﹣1，
∴﹣1的立方根是﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新定
义是求解本题的关键．
13．C
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；
②实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；
③立方根等于它本身的数有-1，0和1，故说法正确；
④无理数是开方开不尽的数，即无理数是无限不循环小数，也是无限小数，故说法正确；
⑤算术平方根等于本身的数是1和0，故说法错误；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了实数和实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质
解答即可．
14．C
【分析】根据无理数、平方根、算术平方根、实数的定义分别进行判断，即可解答．
解：A.无理数是无限不循环小数，故此选项不符合题意；
B.任何一个正数都有两个平方根，故此选项不符合题意；
C. ＝2，故此选项符合题意；
D.有理数和无理数统称实数，故此选项不符合题意．
故选：C．【点拨】本题考查了无理数、平方根、算术平方根、实数的定义，解题的关键是掌握相关
定义并能应用所学知识进行准确判断．
15．B
【分析】利用实数的定义分别判断后即可确定正确的答案．
解：①0不是最小实数，故①错误；
②数轴上所有的点都表示实数，正确；
③无理数不一定是带根号的数，故③错误；
④ 的立方根是- ，故④错误；
⑤ 的平方根是± ，正确，
故选：B．
【点拨】考查了实数的有关概念及性质，属于基础知识，难度较小．
16．C
【分析】根据有理数的分类即可得出答案．
解：因为有理数包括整数和分数，所以0， ， ， =7是有理数，故有4个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了有理数的分类，熟练有理数的分类是解决本题的关键．
17．D
【分析】根据有理数的定义判断即可得到结果．
解：在实数 ，0， ，3.1415926， ， ，3π中，
有理数有 ，0， ，3.1415926， ， 共6个，
故选：D．
【点拨】本题考查了实数，解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类．有理数包括整
数，分数．无限不循环小数是无理数．
18．D
【分析】先根据勾股定理求出 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的
关系判断②；根据算术平方根的定义判断③；利用估值无理数大小的方法判断④．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．设AB的长是m
∴ ，
是无理数，说法正确；
根据实数与数轴上的点一一对应的关系，m可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
13的平方根是 ，所以 是13的算术平方根，说法正确；
∵ ，∴ ，即3＜m＜4，说法正确．
故选：D
【点拨】本题考查勾股定理，实数中无理数的概念，实数与数轴的关系，算术平方根的定
义，估算无理数大小，有一定的综合性．
19．B
【分析】根据无理数的大小估算，比较 和 的大小，进而根据绝对值的意义化简可得答
案．
解： 的绝对值是 ．
故选B
【点拨】本题考查了绝对值的意义，无理数大小的估算，比较无理数大小是解题的关键．
20．A
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出3-4y的取值范围，然后根据
绝对值的意义化简．
解：∵3x-1≥0,1-3x≥0，
∴x= ，
∴y> ，
∴3-4y<0，
∴ = ，
故选A．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的意义，以及分式的约分，熟练掌握
二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
21．A
【分析】根据实数的性质依次判断即可求解．
解： =2，∴ 的算术平方根是 ，故嘉琪选择错误；
若2 =6，则x=± ，嘉琪选择正确；
若m＜n，则2-m＞2-n, 故嘉琪选择错误；
若x3=0.8,则x= 故嘉琪选择错误；
故嘉琪得2分
故选A．
【点拨】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知不等式及实数的运算法则．
22．B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得
M点表示的数．
解：AC= ，
则AM= ，
∵A点表示-1，
∴M点表示 ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形
中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
23．C
【分析】确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，∴ 对应的点是M．
故选：C．
【点拨】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个
有理数之间，进而求解．
24．D
【分析】根据图示，可得：-1＜a＜0＜1＜b，据此化简即可．
解：由数轴可得：-1＜a＜0＜1＜b，
∴
=
=
=
故选：D．
【点拨】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知数轴上各点与全体实数
是一一对应关系是解答此题的关键．
25．A
【分析】根据正数大于0和一切负数，因此只需比较 和 的大小即可得到答案.
解：∵正数大于0和一切负数，
∴只需比较 和 的大小
，∵ ，
∴ ，
∴最小的数是 ．
故选A.
【点拨】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．A
【分析】由实数比较大小的方法求解即可．解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】此题考查了实数比较大小的方法，解题的关键是熟记实数比较大小的方法．
27．B
【分析】根据无理数的概念、二次根式的基本性质及实数与数轴上点的关系即可判断．
解： 、 ，是无理数，故 正确；
、因为 ，故 错误；
、因为 ，所以 ，故 正确；
、因为有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的．故 正确．
【点拨】本题考查了无理数的有关概念、二次根式的基本性质、及实数的性质，掌握相关
概念和性质是解决问题的关键．
28．C
【分析】根据二次根式的运算法则和无理数的估算方法解答即可．
解：
，
而 ，故 ，
故选C
【点拨】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算．解答本题的关键是掌握二次根式的
运算法则和无理数的估算方法，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
29．D
【分析】估计 的大小，即可估计 的大致范围．
解：∵
∴
∴
即 的结果在7至8之间
故选：D．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算，关键是确定算术平方根在哪两个相邻自然数之间．
30．C
【分析】先求出边长，然后根据无理数的估算判断即可．
解：∵ 正方形的面积为5，
∴ 正方形的边长为 ，
∵
∴1＜ ＜2
∴面积为5的正方形的边长范围在2和3之间，
故选C．
【点拨】本题是对算术平方根和无理数知识的考查，熟练掌握无理数的估算是解决本题的
关键．
31．C
【分析】先利用“夹逼法”求 的整数部分，再利用不等式的性质可得 在哪两个整
数之间，进而求解．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，∴4＜ ＜5，
∵两个连续整数x、y满足x＜ ＜y，
∴x=4，y=5，
∴x+y=4+5=9．
故选C．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”
是估算的一般方法，也是常用方法．
32．C
【分析】由于3＜ ＜4，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判
断出所求的无理数的整数部分，可得m，小数部分让原数减去整数部分，可得n，代入求
值即可．
解：∵3＜ ＜4，
∴m＝3；
又∵3＜ ＜4，
∴n＝ ﹣3；
则m2﹣n＝9﹣ +3＝12﹣ ．
故选：C．
【点拨】本题考查估计无理数的大小，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
33．B
【分析】先求出 的范围，再根据范围求出即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴∴ =-3
【点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出 的范围．
34．C
【分析】先根据a、b在数轴上的位置，即可推出 ， ， ，由此
进行求解即可．
解：由题意得： ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，化简绝对值，算术平方根，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
35．C
【分析】根据已知条件，分别求出a、b的值，即可求出a+b的值．
解：
当 时，
当 时，
∴a+b=-5或a+b=-11．
故选：C【点拨】本题考查了平方根、立方根、实数的混合运算等知识点，熟知平方根和立方根的
运算是解题的关键．
36．A
【分析】利用非负数的运算性质，求出a、b、c的值，即可得出正确选项．
解：∵
又∵
∴
∴
∴
故选：A
【点拨】本题考查了非负数的运算性质的知识点，熟知三类非负数及其运算性质是解题的
关键．
37．A
【分析】根据流程图代入数值，逐步计算即可．
解：当 =256时，取算术平方根为16，是有理数，
代入 =16，取算术平方根为4，是有理数，
代入 =4，取算术平方根为2，是有理数，
代入 =2，取算术平方根为 ，是无理数，则输出为 =
故选：A
【点拨】本题主要考查了程序框图的迭代问题以及算术平方根的求取，算术平方根是一个
数的两个平方根中正的那一个是本题易错点，对无理数的识别是解决本题的关键．
38．B
【分析】把64按给出的程序逐步计算即可．
解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，因为8是有理数，所以再取
算术平方根，结果为 ，是无理数，故y＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根的定义，实数的分类．解题的关键是弄清题目中所给的运算程序．
39．D
【分析】判断出6除以3的商与 的差是多少，根据所得的差与1的大小关系，确定出输
出结果是多少即可．
解：6÷3﹣ ＝2﹣ ，
∵2﹣ ＜1，
∴输出结果是：
（2﹣ ）×（2﹣ ）＝6﹣4 ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算是解题的关键.
40．B
解：试题分析：∵3＞2，∴3※2= ，∵8＜12，∴8※12= = ，∴
（3※2）×（8※12）=（ ）× =2．故选B．
考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．
41．A
【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜ ＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的
值，然后代入即可求得a－b的立方根．
解：∵ ， ，
∴a＜ ＜b，
∵5＜ ＜6，且a和b为两个连续正整数，
∴a=5，b=6，
∴ ，∴ 的立方根为-1．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计
算公式是解题的关键．
42．C
【分析】分m≤3、m＞3两种情况，根据新定义和3∗m＝36列出方程求解可得．
解：①若m≤3，则32×m＝36，
解得m＝4＞3（舍）；
②若m＞3，则3m2＝36，
解得m＝± ，
∵m＝﹣ ＜3，
∴m＝ ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查新定义法则运算，正确理解新定义运算法则是解题关键．
43．C
【分析】根据正方形面积算法得到a2=3，再利用实数的性质分析得出答案．
解：∵面积为3的正方形的边长为a，
∴a2=3，
∴①a一定是一个无理数，正确，
②1.72=2.89，1.82=3.24，2.89 < > > < <
【分析】（1）直接比较被开方数的大小即可；
（2）用平方法进行比较即可；
（3）用平方法进行比较即可；
（4）用取近似值的方法比较分子的大小即可；
（5）用取近似值的方法比较分子的大小即可；（6）用平方法进行比较即可．
解：（1）∵5>3，∴ > ；
（2）∵ , ∴ ；
（3）∵140<144= , ∴ > ；
（4）∵ ，则 ，
∴ > ；
（5）∵ ，则 ，∴ ，
∴ ；
（6）∵ , ∴ ．
故答案为：（1）>；（2） ；（3）>；（4）>；（5） ；（6） ．
【点拨】本题主要考查了实数大小的比较，此题利用了比较平方，比较分子，比较近似值
等的方法比较两数的大小．此类题目应根据各代数式的特点采用相应的方法．
74．＞
【分析】先分别求出 和 的平方各是多少，再利用作差法求得
＞0，从而即可判断出 和 的大小
关系．
解：∵ ，
，
∵ ＞0，
∴ ＞ ，∴ ＞ ．
故答案为：＞．
【点拨】此题主要考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法及二次根式的相关运
算法则是解题的关键．
75．＜
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，然后比较即可得到结论．
解：点A，B之间的距离d= ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了勾股定理和实数比较大小，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
76．8； 1，2，3，4
【分析】根据 ， 即可求出答案，再根据 即可求出
答案；
解：∵ ，
∴大于 且小于 的所有整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3共8个；
∵
∴
∴小于 的所有正整数有1，2，3，4
故答案为：8；1，2，3，4；
【点拨】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具
备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
77．9【分析】先估算出 的范围，再求出a、b值，最后代入求出即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴a=2，b=3，
∴ ，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出 的取值范围是解此题
的关键．
78．③
【分析】由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，
得出AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
解：在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7
由勾股定理得：AB＝ ＝ ，
由题意可知AB＝A′B′＝ ，
又OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝ ＝ ，
∵ ，
∴
∴BB′＝7− ＜1．
故答案为：③．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表
达式．
79．1【分析】根据 得出 与 ，再代入所求式子计算即可．
解： ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小、平方差公式，解题的关键是正确得出无理数
的整数部分和小数部分．
80．±
【分析】根据平方根的性质可知2a-14与a+2互为相反数，列方程即可求出a，根据立方根
的定义可求得b的值，先确定与 最接近的两个整数，即可求出c的值；
解：∵正数x不等的平方根分别是2a-14和a+2，
∴（2a-14）+（a+2）=0， 解得a=4，
∵b+1的立方根为-3，
∴b+1=-27， 解得b=-28，
∵4＜5＜9，
∴ 2＜ ＜3，
∴c=2，
∴2a-b+5c=46，
∴2a-b+5c的平方根为± ，
故答案为：± .
【点拨】本题主要考查立方根和平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
81．4
【分析】根据算术平方根的非负性和无理数的估算求解即可.
解：∵ ，
∴ ，
解得
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的整数部分为4，
故答案为：4.
【点拨】本题主要考查了算术平方根的非负性，无理数的估算，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解.
82． ； ； ；
【分析】根据同类根式的合并法则和去绝对值符号法则进行计算．
解：（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4）
故答案为： ； ； ； ．
【点拨】本题考查同类根式的计算，掌握运算法则是关键．83．
【分析】由立方根、算术平方根进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
解：原式= ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了立方根、算术平方根，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
84．
【分析】化简绝对值，再进行实数的计算．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，掌握化简绝对值是解题的关键．
85．2 ．
【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
解：当输入x，若 ＝2 的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2 ＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2 ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
86．15
【分析】把 代入代数式 得到结果，若大于12则输出，若结果不大于
12再次代入，循环后满足条件即为所求结果．
解：∵当 时， ；
当 时， ，∴最后输出的结果为15，
故答案为：15.
【点拨】本题考查程序框图的应用，涉及平方差公式、实数的大小判断，中等难度，读懂
流程图，会判断根式的大小是解题关键.
87．2
【分析】先判断出 的范围，然后根据分段函数解析式，代入相应的解析式进行计算
即可求解．
解：当输入 时，∵ ，
∴满足第二个函数解析式，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了实数的估算，以及分段函数的求解问题，理解分段函数的意义，确定
自变量符合的范围是解题关键．
88．
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
解：12※4＝
故答案为：
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关
键．
89．2
解：分析：由于32=9，利用对数的定义计算．
详解：∵32=9，
∴log 9=log 32=2．
3 3
故答案为2．
点睛：属于定义新运算题目，读懂材料中对数的定义是解题的关键.
90．【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算．
解：由题意得：
= =2 ．
故答案为2 ．
【点拨】本题考察了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可．
91． -1.
【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
解：∵ ， 两正方形区域的面积分别是1和6，
则 ， 两正方形区域的边长分别是1和 ，
则剩余区域的面积为：（1+ ）× -1-6= -1.
故答案为： -1.
【点拨】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
92．
【分析】先根据两个小正方形的面积分别是 和 求出正方形的边长，进而可得出
长方形的长和宽，进而得出结论．
解： 两个小正方形的面积分别是 和 ，
两个正方形的边长分别为 和 ，
两个长方形的长是 ，宽是 ，
两个长方形的面积和 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
93．
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.解：已知等式整理得:5﹣ a＝（2b﹣a）+ ，
可得 ，
解得: ，
故 ，
故答案为：
【点评】
此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
94．6
【解析】
被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，…，每两数相差3，所以第13个数为√36＝6.
故答案为6.
点睛：本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键.．
95．
【解析】
试题分析：当n=3时，A= ≈0.3178，B=1，A＜B；
当n=4时，A= ≈0.2679，B= ≈0.4142，A＜B；
当n=5时，A= ≈0.2631，B= ≈0.3178，A＜B；
当n=6时，A= ≈0.2134，B= ≈0.2679，A＜B；
……
以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，
A、B的关系始终是A＜B.
96．4
【分析】从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，据此求出a、b的值即可求得答案.
解：∵ ， ， ，…，
∴用含n的式子来表示为： ，
∵ ，
∴a=8-1=7，b=a+2=9，
∴ = =4，
故答案为4.
【点拨】本题考查了本题考查了规律型——数字的变化类，找到变化的规律是解题的关键．
