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专题2.5 认识无理数（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握无理数的概念，能正确区别有理数和无理数,
2. 掌握无理数的表现形式，并能确找出无理数.
【要点梳理】
m
1、定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n (m、n是整数，n≠0)的数叫做
有理数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。如圆周率、 。
2、有理数的分类
整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，
也不是负数。有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。
3、无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环
4 、区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
实数的分类
¿
¿ ¿
¿
实数
注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称
为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a
＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数。
几个易混淆概念非负数 非正数 非负整数 非正整数
{0 { {0 { {0 { {0 {
¿ ¿ ¿¿¿ ¿ ¿ ¿¿¿ ¿ ¿ ¿¿¿ ¿ ¿ ¿¿¿
【典型例题】
类型一、实数的分类
1．把下列各数填入相应的括号内：
－2，100 ，－ ，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，
正有理数集合：｛ …｝
整数集合： ｛ …｝
负分数集合： ｛ …｝
无理数集合： ｛ …｝
【分析】根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类分别进行判断，即可得到答
案．
解：根据题意，则
正有理数集合：｛0.9， ，…｝；
整数集合：｛－2，0，…｝；
负分数集合：｛－ ，－∣－5.2∣，…｝；
无理数集合：｛100 ，0.1010010001…，…｝；
【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练
掌握所学的知识进行解题．
【变式1】把下列各数写入相应的集合中：- ， ，0.1， ， ， ，
0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．【答案】（1）0.1、 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次
加1）；（2） 、 0.1、 、 、0 ；（3） 、 、0.1212212221．．．
（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．
解：（1）正数集合{0.1、 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数
逐次加1）}；
（2）有理数集合{ - 、 0.1、 、 、0 }；
（3）无理数集合{ 、 、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次
加1） }．
【点拨】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
【变式2】将这些数按要求填入下列集合中：
，4， ，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，
负数集合｛ …｝
分数集合｛ …｝
非负整数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据负数、分数、非负整数以及无理数的定义进行判断即可.题中-（-5）
=5，-|-5|=-5.
解：负数集合｛ ，-1，-|-5|， …｝分数集合｛ ，3.2 …｝
非负整数集合｛ 4，0，-（-5） …｝
无理数集合｛ ， …｝
类型二、网格上认识无理数
1．如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请求出图中阴影正方形的边长；
（2）大家知道 是无理数， ，∴它的整数部分为1，小数部分可以表示
为 ．请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，
并求所画正方形边长的整数部分．
（3） 的整数部分是 ；小数部分是 ．
【答案】（1） ；（2）图见解析，整数部分为2；（2）6，
【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；
（2）画出正方形，然后利用勾股定理求解即可；
（3）估算出 的范围，即可找到答案．
解：（1）边长为 ；
（2）如图，边长为 ，
，
，
整数部分是2；
（3） ，
，
∴整数部分为6，小数部分为 ．
【点拨】本题主要考查无理数，掌握无理数的估算和勾股定理是解题的关键 ．
举一反三：
【变式1】 在下列 网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的
顶点均在格点上，且满足：
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
【答案】答案见解析
【分析】（1）由勾股定理得出 5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为 的等腰直角三角形，画出图形即
可．解：（1） 5，
△ABC即为所求，
如图1所示；
（2）由勾股定理得：
，
△DEF即为所求，
如图2所示．
【点拨】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算
与作图是解决问题的关键．
【变式2】如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点
O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪
些不是有理数？
【答案】AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.
【解析】
【分析】运用勾股定理求出各条线段的长度即可求得结果.
解：由题图知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，
由勾股定理，得AB2=32+42=25，
BC2=32+32=18，
CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，
因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.
【点拨】此题主要考查了有理数及无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：
π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数.
类型三、与无理数有关的探究题
3．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： ≈1.414…，它是个
无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多
少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 ﹣1来表示它的
小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1） 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a+b﹣ 的值．
（2）已知8+ =x+y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求3x+（y﹣ ）2018的值．
【答案】（1）1；（2）28.
【解析】（1）估算出 和 的大致范围，然后可求得a、b的值，然后再求代数
式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y- 的值，最后进行计算即可．
试题解析：（1）∵4＜5＜9，9＜13＜16，
∴2＜ ＜3，3＜ ＜4．
∴a= ﹣2，b=3．
∴a+b﹣ = ﹣2+3﹣ =1．
（2）∵1＜ ＜2，
∴9＜8+ ＜10，
∴x=9．
∵y=8+ ﹣x．∴y﹣ =8﹣x=﹣1．
∴原式=3×9+1=28．
举一反三：
【变式1】 （阅读材料）
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴1＜ ＜2．
∴ ﹣1的整数部分为1．
∴ ﹣1的小数部分为 ﹣2
（解决问题） 的小数部分是多少；
我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
阅读理解：求 的近似值．
解：设 =10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．
因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即 的近似值
为10.35．
理解应用：利用上面的方法求 的近似值（结果精确到0.01）．
【答案】解决问题： 的小数部分为 -9；理解应用： 的近似值为9.89.
【分析】解决问题：先求出 介于哪两个连续的整数之间，即可得出结论；
理解应用：设 =9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．
解：解决问题：∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为9，∴ 的小数部分为 -9.
理解应用：设 =9+x，其中0＜x＜1，则97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，
∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜1，
∴97≈81+18x，
解之得x≈0.89，即 的近似值为9.89.
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，能估算出 的范围是解此题的关键．
【变式2】观察下图,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少?它的边长是多少?
(2)估计阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间?
【答案】(1) .(2) 边长在3与4之间..
【解析】试题分析：（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积
减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方
形的边长；
（2）根据 ＜ ＜ ，可以估算出边长的值在哪两个整数之间．
试题解析：(1)由图可知，图中阴影正方形的面积是： ，
则阴影正方形的面积为10，即图中阴影正方形的面积是10，边长是 .
(2)∵ ＜ ＜ ,∴ ，即边长的值在3与4之间.
类型四、无理数的估算4 已知 的平方根是 ， 的立方根是2， 是 的整数部分，
求 的值..
【答案】16
【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出
答案．
解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
解得：a=5，
∵3a+b-9的立方根是2，
∴15+b-9=8，
解得：b=2，
∵c是 的整数部分，
∴c=7，
则a+2b+c=5+4+7=16．
【点拨】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，
正确得出a，b，c的值是解题关键．
举一反三：
【变式1】 阅读理解：
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3
∴ 的整数部分为2，小数部分为 -2
解决问题：
已知a-1的平方根是±1，3a+b-2的立方根是2，x是 的整数部分，y是 的小数
部分，求a+b+2x+y- 的算术平方根．
【答案】3.
【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．解：∵a-1的平方根是±1，
∴a-1=1，
∴a=2，
∵3a+b-2的立方根是2，
∴3a+b-2=8，
∴b=4，
∵x是 的整数部分，y是 的小数部分，
∴x=3，y= -3，
∴a+b+2x+y- =9，
∴a+b+2x+y- 的算术平方根=3．
故答案为：3.
【点拨】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．也考查了平方
根．
【变式2】设2＋ 的整数部分为x，小数部分为y.
（1）求2x＋1的平方根；
（2）化简：|y－2|.
【答案】（1）±3；（2）4－ .
【分析】（1）先求出x和y的值，再根据平方根的定义求解；
（2）根据绝对值的定义求解即可。
解：解 ，
∴x＝4，y＝2＋ －4＝ －2
（1）
（2）|y－2|＝| －2－2|＝| －4|＝4－
【点拨】本题考查了无理数的估算，也考查了平方根和绝对值的定义，能估算出 的大小是关键。类型五、无理数的应用
5.阅读下列材料：
设： ，①则 .②
由 ，得 ，即 .
所以 .
根据上述提供的方法.把 和 化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可
以化成分数？
【答案】 ， .任何无限循环小数都可以化成分数.
【解析】
【分析】设 ①则 ，②；由 ，得 ；由
已知，得 ，所以 任何无限循环小数都可以这样化成
分数.
解：设 ①则 ，②
由 ，得 ，即 .
所以 .
由已知，得 ，
所以 .任何无限循环小数都能化成分数.
【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.
举一反三：
【变式1】如图所示， 是直角三角形，四边形 是正方形. ，
.
(1)求正方形的面积；
(2)求正方形对角线的长.（精确到1)
【答案】(1)161； (2)18
【分析】（1）在 中，根据勾股定理， ；
（2）连接 ，在 中.根据勾股定理，得 .再估计AE大小.
解：（1）在 中，根据勾股定理，得 .
所以 .
所以正方形 的面积为161.
(2)如图，连接AE，在 中.根据勾股定理，得 .
所以 .
因为 ， ， .
所以 .
所以 .
所以正方形 的对角线长约为18.【点拨】此题考查了勾股定理的应用．要注意三角形的三边的求解方法：借助于直角
三角形，用勾股定理求解．
【变式2】化简求值：
已知 是 的整数部分， ，求 的平方根．
已知：实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.
分析：（1）由于3＜ ＜4，由此可得 的整数部分a的值；由于 =3，根据
算术平方根的定义可求b，再代入 计算，进一步求得平方根．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵3＜ ＜4，∴a=3．
∵ =3，∴b=9，∴ = =9，∴ 的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则
+2 ﹣|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
