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专题 3.1 函数的概念及其表示
练基础
1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R上的函数 满足， ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
当 时， （1） ①；当 时， （1） ②，由此进行计算能求出 （1）
的值．
【详解】
定义在 上的函数 满足， ，
当 时， （1） ，①
当 时， （1） ，②
② ①，得 （1） ，解得 （1） ．
故选：B
2．（2021·浙江高一期末）已知 则 （ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】由题意 ．
故选：D．
3．（2021·全国高一课时练习）设 ，则 的值为（ ）
A．16 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【解析】
根据分段函数解析式直接求解.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：B.
4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数 的定义域和值域都是 ，
则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B
【解析】
根据函数 在 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.
【详解】
因为函数 在 上为增函数，且定义域和值域都是 ，
所以 ， ，解得 或 （舍），
故选：B5．（上海高考真题） 若 是 的最小值，则 的取值范围为( ).
A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D．
【答案】D
【详解】
由于当 时， 在 时取得最小值 ，由题意当 时， 应该
是递减的，则 ，此时最小值为 ，因此 ，解得 ，选D．
6．（广东高考真题）函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
【详解】
由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ；
故答案为 ．
7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数 的定义域为 ，图象如图1所示，函数 的定义
域为 ，图象如图2所示.若集合 ， ，则 中有
___________个元素.【答案】3
【解析】
利用数形结合分别求出集合 与集合 ，再利用交集运算法则即可求出结果.
【详解】
若 ，则 或 或1，∴ ，
若 ，则 或2，∴ ，
∴ .
故答案为：3.
8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是_______．
【答案】
【解析】
令 ，根据函数值域的求解方法可求得 的值域即为所求的 的定义域.
【详解】
令 ，则 ，
在 上单调递增， ， ， ，
的定义域为 .
故答案为： .
9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数 ，若 ，
则实数 ___________.
【答案】1或
【解析】
分别令 ， ，解方程，求出方程的根即 的值即可.
【详解】
当 ，令 ，解得： ，
当 ，令 ，解得： ，
故 或 ，
故答案为：1或 .
10.（2021·云南高三二模（理））已知函数 ，若 ，且 ，设，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
用 表示出 ，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】
画出 图象如下图所示，
，令 ，解得 ，
由 得 ， ，且
所以 ，
结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值为 ，当
时， 取得最小值为 .
所以 的取值范围是 .
故答案为：练提升
TIDHNE
1．（2021·云南高三二模（文））已知函数 ，若 ，且 ，设
，则（ ）
A． 没有最小值 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】B
【解析】
先作出分段函数图象，再结合图象由 ，得到m与n的关系，消元得关于n的函数，最后求最
值.
【详解】如图，作出函数 的图象，
且 ，则 ，且 ，
，即 .
由 ，解得 .
，
又 ， 当 时， .
故选：B.
2．（2020·全国高一单元测试）已知函数 ，若 ，则 的取值集合是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据分段函数值的求解方法，对 与 两种情况求解，可得答案.
【详解】
若 ，可得 ，解得 ，( 舍去)；
若 ，可得 =5，可得 ，与 相矛盾，故舍去，
综上可得： .
故选：A.
3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.
【详解】
A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为 ，所以函数值域为 ，值域是定义域的真子
集不符合题意；
C.易得定义域为 ，值域为 ，定义域是值域的真子集；
D.定义域为 ，值域为 ，两个集合只有交集；
故选：AC
4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f(x)= ，则f(x)满足的关系有（ ）
A． B． =C． =f(x) D．
【答案】BD
【解析】
根据函数 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】
因为f(x)= ，
所以 = = ，即不满足A选项；
= = ， = ，即满足B选项，不满足C选项，
= = ， ，即满足D选项．
故选：BD
5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数 令 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．方程 有3个根
C．方程 的所有根之和为－1 D．当 时，
【答案】ACD
【解析】
由题意知 可得 ；令 ，因为方程 没有实根，即 没有实根；令 ，则方程 ，即 ，通过化简与计算即可判断C；当 时，
，则将函数 在 的图象向左平移1个单位长度可得函数 的图象，即可判断
D．
【详解】
对于A选项，由题意知 ，则 ，所以A选项正确；
对于B选项，令 ，则求 的根，即求 的根，
因为方程 没有实根，
所以 没有实根，所以选项B错误；
对于C选项，令 ，则方程 ，即 ，
得 ， ，由方程 得
或 ，
解得 或 ，易知方程 ，没有实数根，所以方程 的所有根之和为－1，选项C
正确；
对于D选项，当 时， ，则将函数 在 的图象向左平移1个单位长度可得
函数 的图象，
当 时，函数 的图象不在 的图象的下方，所以D选项正确，故选：ACD．
6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ， ，对于任意的
， ，则（ ）
A． 的图象过点 和
B． 在定义域上为奇函数
C．若当 时，有 ，则当 时，
D．若当 时，有 ，则 的解集为
【答案】AC
【解析】
根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；
【详解】
解：因为函数 ， ，对于任意的 ，
，令 ，则 ，则 ，令 ，则
，则 ，所以 过点 和 ，故A正确；
令 ，则 ，即 ，所以 为偶函数，故B错误；令 ，则 ，则 当 时，所以 ，又
，则 ，即当 时， ，故C正确；
令 ，则 ，则 ，当 时，所以 ，又
，则 ，即当 时， ，因为 是偶函数，所以 时， ，
所以 的解集为 ，故D错误；
故选：AC
7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 ，则
C． 在 上是减函数
D．若关于 的方程 有两解，则
【答案】ABD
【解析】
根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出 的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：由题意得： ，
所以 ，故A正确；对于B：当 时， ，解得a=1，不符合题意，舍去
当 时， ，解得 ，符合题意，故B正确；
对于C：做出 的图象，如下图所示：
所以 在 上不是减函数，故C错误；
对于D：方程 有两解，则 图象与 图象有两个公共点，
如下图所示
所以 ，故D正确.
故选：ABD
8．（2021·浙江高三月考）已知 ，设函数 ，存在 满足，且 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
求得 关于 对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由
此求得 的取值范围.
【详解】
由于 存在 满足 ，且 ，所以 图象上存在关于 对称的两个不
同的点.
对于 ，交换 得 ，
即 ，
构造函数 （
），所以 的零点 满足 ，
由 得 ，
由 得 ，即
，
由于 ，所以解得 .故答案为：
9. （2021·浙江高一期末）已知函数 ， ， ．
（1）在图 中画出函数 ， 的图象；
（2）定义： ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别
用图象法和解析式法表示函数 ．（注：图象法请在图 中表示，本题中的单位长度请自己定义且标
明）
【答案】（1）图象见解析；（2） ；图象见解析.
【解析】
（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；
（2）根据 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.
【详解】
（1） ， 的图象如下图所示：（2）当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上所述： .
图象如下图所示：
10. （2021·全国高一课时练习）已知函数 ， .
（1）在平面直角坐标系里作出 、 的图象.
（2） ，用 表示 、 中的较小者，记作 ，请用图象法和
解析法表示 ；（3）求满足 的 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3） .
【解析】
（1）化简函数 、 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；
（2）根据函数 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数 的解析式；
（3）根据图象可得出不等式 的解集.
【详解】
（1） ， .
则对应的图象如图：
（2）函数 的图象如图：解析式为 ；
（3）若 ，
则由图象知在 点左侧， 点右侧满足条件，此时对应的 满足 或 ，
即不等式 的解集为 .
练真题
TIDHNE
1.（山东高考真题）设 ,若 ,则 (1) （ ）
f (x)=¿ f (a)=f (a+1) f =
a
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由x≥1时f (x)=2(x−1)是增函数可知,若a≥1,则f (a)≠f (a+1),所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)
得 ,解得 1,则 (1) ,故选C.
√a=2(a+1−1) a= f =f(4)=2(4−1)=6
4 a
2.（2018上海卷）设D是含数1的有限实数集，f (x)是定义在D上的函数，若f (x)的图象绕原点逆时针旋
π
转 后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）
6
√3 √3
A．√3 B． C． D．0
2 3
【答案】B
【解析】
π
由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会重合．
6
√3 π π
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=√3， ，0时，此时得到的圆心角为 ， ，0，然而此时x=0
3 3 6
或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当√3 π
x= ，此时旋转 ，此时满足一个x只会对应一个y，
2 6
故选：B．
3. （2018年新课标I卷文）设函数f (x)=¿，则满足f (x+1)<f (2x)的x的取值范围是（ ）
A. (−∞，−1] B. (0，+∞) C. (−1，0) D. (−∞，0)
【答案】D
【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有¿，解得x<0，所以满足f (x+1)<f (2x)的x的取
值范围是(−∞，0)，故选D.
4.（浙江高考真题（文））已知函数 ，则 ， 的最小
值是 ．
【答案】
【解析】
如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知
.5. （2018·天津高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解
集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】(1,4)
【解析】
分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应
确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.
详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0
的解集是
当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当
时， ，由 在 上只能有一个零点得 .综上，
的取值范围为 .
