专题2.9 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
1．抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1
2．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．0或3
3．抛物线y＝－1＋3x2( )
A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点
4．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．对于抛物线 与抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．都有最高点 D．顶点坐标相同
6．二次函数 在 内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
7．下列函数中，对于任意实数 ， ，当 时，满足 的是（ ）
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
8．已知函数 经过A（m， ）、B（m−1， ），若 ．则m的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
9．已知点 ， 均在抛物线 上，则 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于二次函数y=x2﹣3的图像与性质的描述，不正确的是( )
A．该函数图像的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图像关于y轴对称
D．该函数图像可由函数y=x2的图像平移得到
11．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
12．二次函数 的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 =1 D．抛物线经过点（2,3）
13．下列对二次函数 的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
14．若二次函数y＝x2+ 与y＝－x2+k的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是
（ ）A．这两个函数图像有相同的对称轴 B．这两个函数图像的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根 D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
15．已知点（x，y），（x，y）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
1 1 2 2
A．若y=y，则x=x B．若x=﹣x ，则y=﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若0＜x＜x，则y＞y D．若x＜x＜0，则y＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
16．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图像经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( )
A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14
C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋20
17．二次函数 的图像与 的图像形状相同,开口方向相反,且经过点 ,则
该二次函数的解析式为( )
A． B． C． D．
18．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与
面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝
x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．﹣12 B．0 C．4 D．16
19．若一条抛物线与 的形状相同且开口向下，顶点坐标为 ，则这条抛物线的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．20．与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达
式为（ ）
A．y=﹣x2 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2+1
21．与抛物线 顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是
（ ）
A． B． C． D．
22．如图所示是二次函数y= 的图像在x轴上方的一部分，对于这段图像与x轴所
围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A．4 B． C．2π D．8
23．如图，在 中， ， ，点 从点 沿边 、 匀速运动到
点 ，过点 作 交 于点 ，线段 ， ， ，则能够反映
与 之间函数关系的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
24．如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C
重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设
BP=x， BE=y，则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 （0,3）为圆心，2为半
径的圆上的动点， 是线段 的中点，连结 .则线段 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
26．已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到
x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长
的最小值是（ ）A．5 B．9 C．11 D．13
二、填空题
27．二次函数 图像的顶点坐标是_____.
28．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
29．抛物线 的顶点坐标是______________.
30．记实数 ，中的最小值为 ，例如 ，当 取任意实数时，则
的最大值为___________．
31．抛物线 的开口比抛物线 的开口________．（填“大”
“小”或“相等”）
32．二次函数y=3x2-3的图像开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，
y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，
当x=_____时，y的最_____值是_____.
33．设A（﹣1，y），B（0，y），C（2，y）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y，
1 2 3 1
y，y 由小到大关系为_____．
2 3
34．已知二次函数 ，如果 随 的增大而增大，那么 的取值范围是__________．
35．若点M(﹣2，y)，N(﹣1，y)，P(4，y)在抛物线 上，则y，y，y 由小到
1 2 3 1 2 3
大的顺序为_______.36．如图，已知抛物线 ，直线 ，当 任取一值时， 对应的函数值
分别 为 ，若 ，取 中的较小值记为 ；若 ，记 ，例如：
当 时， ，此时 ，下列判断：
①当 时， ；
②当 时， 值越大， 值越小；
③使得 大于2的 值不存在；
④使得 的 值是 或 ．
其中正确的是_______________________．
37．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图像开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
38．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图像的顶点是(3，2)；③图像
与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．
39．已知二次函数 ，当 分别取 时，函数值相等，则当 取时，函数值为______．
40．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有 ， ， ，
这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为 ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽
取一个小球，记标号为 .则 ， 使得二次函数 的图像同时经过四个象限的概
率为______．
41．从抛物线y=2x2﹣3的图像上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____．
42．请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 .
此二次函数的解析式可以是______________
43．将函数 向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的
函数解析式为__________．
44．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
45．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个
二次函数的解析式可以是______．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的
直线交抛物线 于点B，C，则BC的长为________．
47．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是
“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，则图中CD
的长为__________．48．如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2－1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两
点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2－2px＋q＝0的两根，则弦AB的长等于
_______.
49．在线段 上取点 ，分别以 、 为边在 的同一侧构造正方形 和正方
形 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最小值
为______．
50．已知二次函数y=2x2的图像如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线
交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
51．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B
作BC∥y轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为___52．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，
过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨
迹是________,y关于x的函数解析式是________.
53．如图，抛物线 与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点 、 ，
与 轴交于点C，若 为直角，则a=_______
三、解答题
54．在同一平面直角坐标系中画出函数 和 的图像，并根据图像回答下列
问题：
（1）抛物线 经过怎样的平移才能得到抛物线 ？（2）函数 ，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最
大值，最大值是_____________；其图像与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是
________________.
（3）试说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
55．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个
单位就能与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
﹣
x 1 5
2
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
参考答案
1．C
【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．
解：∵抛物线y=x2+1，
∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a
（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
2．B
【分析】由于函数图像关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得
问题的答案．解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，
∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，
∴-（m2-3m）=0，
解得：m=0或m=3，
∵二次函数的二次项系数m不能为0，
∴m=3．
故选：B．
【点拨】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c为常数）．熟
练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．
3．B
【分析】抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，因而抛物线的开口一定向上，则函数一定
有最小值，图像存在最低点．
解：∵抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，
∴抛物线y=-1+3x2开口向上，且有最低点．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ，
），
对称轴直线x= ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜ 时，y随x的增大而减小；x
＞ 时，y随x的增大而增大；x= 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最
低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜ 时，y随x的增大而增大；x
＞ 时，y随x的增大而减小；x= 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最
高点．
4．C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性
质解答．
5．D
【分析】根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的开口方向、
顶点坐标以及对称轴和是否有最高点，分别分析即可．
解：∵抛物线 ，
∴此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a<0，开口向下，有最高点
∵ ，，
∴此函数顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，a<0，开口向下，有最高点
A. 开口方向相同，正确，不符合题意；
B.对称轴相同，正确，不符合题意；
C. 都有最高点，正确，不符合题意；
D. 顶点坐标相同，不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是中考考查重点，
同学们应熟练掌握．
6．C
【分析】根据图像，直接代入计算即可解答
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y =-2×16+3=-29．
最小值故选：C．
【点拨】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，
第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
7．A
【解析】
分析：根据一次函数、二次函数和反比例函数图像的特点可以判断各个选项中函数图像的
变化，从而可以判断各个选项是否符合题意．
详解：∵y=-3x+2，
∴y随x的增大而减小，则对于任意实数x，x，当x＞x 时，满足y＜y，故选项A正确，
1 2 1 2 1 2
∵y=2x+1，
∴y随x的增大而增大，则对于任意实数x，x，当x＞x 时，满足y＞y，故选项B错误，
1 2 1 2 1 2
∵y=2x2+1，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，则对于任意实数
x，x，当x＞x 时，足y 不一定大于y，故选项C错误，
1 2 1 2 1 2
∵y=﹣ ，
∴y随x的增大而增大，则对于任意实数x，x，当x＞x 时，满足y＞y，故选项D错误，
1 2 1 2 1 2
故选：A．
点睛：本题考查二次函数图像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征，解答本题
的关键是明确一次函数和二次函数图像的变化特点．
8．B
【分析】由 图像开口向下，对称轴为y=0知，要使 ，需使A点更靠近对
称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ．解：∵ 图像开口向下，对称轴为y=0且
∴ ，下面解此不等式．
第一种情况，当m＜0时，得 ，解得m＜0；
第二种情况，当 时，得 ，解得 ；
第三种情况，当 时，得 ，解得，无解；
综上所述得 ．
故选：B．
【点拨】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次
函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图
像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．
9．A
解：∵抛物线 开口向上，对称轴为直线 （即y轴），点 比点
到对称轴的距离近，
∴ .
点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）
当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.
10．B
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
解：A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描
述错误；
由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；
C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图像关于y轴对称，此选项描述正确；
D．该函数图像可由函数y=x2的图像向下平移3个单位得到，此选项描述正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图像平移的规律逐
一分析四个选项的正误是解题的关键．11．B
【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物
线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
解：①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x=1，x=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，
1 2
0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴 =0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.
12．B
解：A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所
以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
13．B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，
从而可以解答本题．
解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图像开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图像、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．C
【分析】利用二次函数的性质以及解方程的知识解题．
解：∵二次函数y=x2+ 与y=-x2+k的图像的顶点重合，
∴k= ，
∴A、B、D正确；
C、错误，因为方程-x2+k=0有实数根．
故选C．
【点拨】主要考查二次函数的性质．
15．D
解：试题分析：A、若y=y，则x=﹣x ；B、若x=﹣x ，则y=y；C、若0＜x＜x，则
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y＜y；D、正确．故选D．
1 2
考点：二次函数图像上点的坐标特征．
16．D
【解析】【分析】可可求得答案.分别求出各选项的对称轴，判断抛物线开口方向，结合图
像，判断函数值的增减；把点(－2，4)代入解析式可得答案.
【详解】A.对称轴是x=1，开口向下，当x<1时,y随x的增大而增大, 当x=-2时，y≠4, 不
符合条件；
B. 对称轴是x=1，开口向上，当x<1时,y随x的增大而减小, ,不符合条件；
C. 对称轴是x=-1，开口向下，当-1<x<1时,y随x的增大而减小, 不符合条件；
D. 对称轴是x=2，开口向下，当x<1时,y随x的增大而增大, 当x=-2时，y=4,故符号条件；
故选：D.
【点睛】本题考核知识点：二次函数的性质.解题的关键在于求出函数的对称轴，结合开口方向，判断函数值的变化情况.
17．D
【分析】根据二次函数y=ax2+c的图像与y=2x2的图像形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然
后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.
解：∵二次函数y=ax2+c的图像与y=2x2的图像形状相同，开口方向相反，
∴a=−2，
∴二次函数是y=−2x2+c，
∵二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，
∴1=−2+c，
∴c=3，
∴抛该二次函数的解析式为y=−2x2+3；
故选：D.
【点拨】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解.
18．A
【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m、n的方程，求得m、n便可．
解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，
∴n＝m2+k，
∴k＝n﹣m2，
∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，
∴|m|＝4，|n|＝4，
当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．
故选：A．
【点拨】本题是一个新定义题，主要考查了二次函数的图像与性质，矩形的性质，关键是
根据题意列出m、n的方程．
19．C
【分析】根据抛物线与 的形状相同且开口向下，可知 ；再由顶点坐标为
（0，-2）可得抛物线解析式为 .解：∵抛物线与 的形状相同且开口向下，
∴
∵顶点坐标为（0，-2）
∴抛物线解析式为
故答案是：C.
【点拨】本题考查了 中a的意义及根据顶点坐标来写解析式，熟练掌握相
关性质是解题的关键.
20．D
【分析】与抛物线y=-x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物
线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数．
解：与抛物线y=-x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-
x2+1只有二次项系数互为相反数．
即y=x2+1，
故选D．
【点拨】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．
21．B
【解析】
【分析】与抛物线y＝− x2−1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物
线，即与抛物线y＝− x2−1只有二次项系数不同．
解：与抛物线y＝− x2−1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，
即与抛物线y＝− x2−1只有二次项系数不同．
即y= x2-1．
故选：B．
【点拨】考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题关键是运用了二次项系数确定函数开口方向．
22．B
解：函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成的三
角形面积S=4，则以半径为2的半圆的面积为S=π× ×22=2π，则阴影部分的面积S有：4
1 2
＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选 B
23．D
【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即 时；②当P点在AB上时，即
时，求出这两种情况下的PC长，则y= PC•OC的函数式可用x表示出来，对照
选项即可判断．
解：∵△AOB是等腰直角三角形， ，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即 时，
PC=OC= ，S =y= PC•OC= ，
△POC
是开口向上的抛物线，当 时， ；
②当P点在AB上时，即 时，
OC= ，则BC= ，PC=BC= ，
S =y= PC•OC= ，
△POC
是开口向下的抛物线，当 时， ．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和
性质，二次函数的图像和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动
点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
24．D【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分
∠CPC′；又PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，又因为BP=x，BE=y，BC=4，
AB=3，分别用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一个
关于x和y的关系式，化简即可．
解：连接DE，
△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；
又因为PE为∠BPC′的角平分线，
可推知∠EPD=90°，
已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，
即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；
在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，
在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，
即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，
化简得：y=- x2+ x(0 )，图像是一段开口向下的抛物线；
结合题意，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
25．C
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是
AP上的中点可知OQ= BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P
时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.
解：∵抛物线 与 轴交于 、 两点
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4.在直角三角形COB中
BC=
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点
∴OQ为△ABP中位线，即OQ= BP
又∵P在圆C上，且半径为 ，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大
此时BP=BC+CP=
OQ= BP= .
【点拨】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，
与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.
26．C
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线 于点P，由PF=PE结合三角形三
边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，
进而得出△PMF周长的最小值.
解：如图
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线 于点P，此时△PMF周长最小
∵F（0,2）M（3,6），∴ME=6，FM
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11
故选C
【点拨】本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，
27．(0,-1)
【分析】二次函数的性质类型的题目,根据题意，把二次函数的一般形式转化为顶点式解析
式；
再根据顶点式解析式即可求出二次函数的顶点坐标.
解：因为y＝x2－1＝(x－0)2－1，即当x＝0时，y＝-1，所以二次函数y＝x2－1的顶点坐标
为(0，-1).
答案为：(0，-1).
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是要把二次函数解析式转化为顶
点式.
28．（0，-2）
【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点是形式，即可的得出顶点坐标．
解：y=-x2-2=-(x+0)2-2，
∴这个二次函数图像的顶点坐标为(0，－2)．
故答案为(0，－2)
【点拨】本题考查了二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式是解题的关键.
29．(0，-1)
【分析】抛物线的解析式为：y=ax2+k，其顶点坐标是（0，k），可以确定抛物线的顶点坐
标．
解：抛物线 的顶点坐标是(0，-1).
30．3
【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，观察最大值的位置，通过求函数值，求出
最大值．
解：画出函数 和 的图像，如图：由图可知：当x＝1时，函数有最大值，最大值为3，
所以 的最大值为3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图像，数形结合容
易求解．
31．小
【分析】抛物线开口的大小由a的绝对值决定，|a|越大，抛物线开口越小.
解：∵
∴抛物线 的开口比抛物线 的开口小.
故答案为：小．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解
题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．
32．上 (0，-3) y轴 增大 减小 小 0 小 -3.
解：二次函数y=3x2-3中k=3,所以开口向上，顶点坐标（0，－3），对称轴为y轴，当x>0
时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.因为a=3>0，所以y有最小值，
当x=0时，y的最小值是－3.
故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.
33．y＜y＜y
3 1 2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，
通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵而B（0，y）在对称轴上，A（﹣1，y）到对称轴的距离比C（2，y）近，
2 1 3
∴y＜y＜y．
3 1 2
故答案为：y＜y＜y．
3 1 2
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
34．
【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，
∴二次函数图像开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图像是一条抛物线；②开口方向与a有关；
③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
35．
【解析】
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y，y，y 的值，比较大小即可．
1 2 3
解： ∵M(﹣2，y)，N(﹣1，y)，P(4，y)是抛物线 上的三点，
1 2 3
∴
∴
故答案为： .
【点拨】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，掌握函数图像上点的坐标满足函数
解析式是解题的关键．
36．③④
【分析】根据二次函数和一次函数的图像与性质即可得出答案.解：由题可得，函数图像如图所示
∴当-1<x<0时， ；当x=-1时， ；当x<-1时， ，故①错误；
由①可知，当x<0时，抛物线与直线的交点坐标为(-1,0)
结合图示，可知，当-1<x<0时，M= ，当x越大时，M越大；当x=-1时，M= ；当
x<-1时，M= ，当x越大时，M越大，故②错误；
由以上分析可知，当x≥0时， ，则M= ，此时 ，故 ；当-1<x<0时，
M= ，解得0<M<2；当x≤-1时，M= ，解得M≤0，故③正确；
由③可得M=1的情况有两种：（1）当x≥0时，即 ，解得x= ；（2）
当-1<x<0时，2x+2=1，解得x= ，故④正确；
故答案为③④.
【点拨】本题考查的是二次函数和一次函数的图像与性质，难度较大，需要熟练掌握并灵
活运用相关基础知识.
37．①
【分析】根据二次函数图像的特点得出答案
解：①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所
以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的
开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.
【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
38．①③
解：根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得①最小值为2,正确;②图像的顶点是
(0,2)，错误；③图像与x轴没有交点，正确；④当x<−1时，y随x的增大而减小，错误；
故答案为①③
39．2020
【分析】根据二次函数y=2x2+2020，当x分别取x，x（x≠x）时，函数值相等，可以得
1 2 1 2
到x 和x 的关系，从而可以得到2x+2x 的值，进而可以求得当x取2x+2x 时，函数的值．
1 2 1 2 1 2
解：∵二次函数y=2x2+2020，当x分别取x，x（x≠x）时，函数值相等，
1 2 1 2
∴2x2+2020=2x2+2020，
1 2
∴x=-x ，
1 2
∴2x+2x=2（x+x）=0，
1 2 1 2
∴当x=2x+2x 时，y=2×0+2020=0+2020=2020，
1 2
故答案为：2020．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明
确题意，利用二次函数的性质解答．
40．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，使得二次函数 的图像同时经过四
个象限的结果有8个，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为 ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，
记标号为 ，共有12个数组，
∴使得二次函数 的图像同时经过四个象限的（m，n）的数组有（－5，2），（－5，3），（－1，2），（－1，3），（2，－5），（2，－1），（3，－5），（3，－
1），共有8组，
∴m，n使得二次函数 的图像同时经过四个象限的概率为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了用列表法或树状图法求概率及二次函数的性质，熟练掌握利用列表法
或树状图列出所有等可能的结果以及二次函数的性质是解题的关键．
41．﹣3≤y≤5
解：试题分析：可先求得二次函数的对称轴为x=0，在对称轴两侧分别求其最值，可求得
答案．
解：
∵y=2x2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y有最
小值，最小值为﹣3，
当﹣1≤x＜0时，可知当x=﹣1时，y有最大值，最大值为﹣1，
当0≤x≤2时，可知当x=2时，y有最大值，最大值为5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故答案为﹣3≤y≤5．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
42．
【分析】根据二次函数图像和性质得a 0,c=3,即可设出解析式.
解：根据题意可知a 0,c=3,
故二次函数解析式可以是
【点拨】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
43．
【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，
即可求解．解：将函数 向上平移3个单位后，得到函数解析式为 ，新函数图
像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式
为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了函数图像的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，
二次函数解析式中a的符号决定函数图像开口方向，a的绝对值决定函数图像开口大小．
44．y=x2+2，答案不唯一．
【分析】对称轴是y轴，即直线x=− =0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项
即可．
解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如
y=x2+2，答案不唯一.
故答案为y=x2+2.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
45． （答案不唯一）
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
解：∵图像为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题
的关键.
46．6
解：试题分析：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时， ，解得x=±3．
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．
∴BC=3﹣（﹣3）=6．47．
【分析】根据二次函数的解析式可知对称轴为y轴，分别令x=0，y=0，可得出A、B、D
的坐标，可得OD、OA、OB的长，根据AB为直径，可求出OC的长，进而可求出CD的
长，
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为y轴，
当x=0时，y= ，
当y=0时， =0，
解得：x=1，x=-1，
1 2
∴A（-1，0），B（1，0），D（0， ），
∴OA=OB=1，OD= ，
∵AB为直径，y轴为对称轴，
∴原点O为圆心，
∴OC=OA=1，
∴CD=OC+OD=1+ = ．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数图像与坐标轴交点问题，正确求出A、B、D三点坐标是解题关
键．
48．2
【解析】
解：M（p，q）在抛物线y=x2-1上，
故有q=p2-1，即p2-q=1；
设A，B两点的横坐标为m、n；
则有m+n=2p，mn=q；
而弦AB的长的等于|m-n|
故|m-n|2=（m+n）2-4mn=4p2-4q=4（p2-q）=4．∴|m-n|=2
故答案为2．
49．4
【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，
根据x的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ= = = ，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示
出PQ的长．
50．2
【解析】
∵二次函数y=2x2的图像沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S = ×2×2=2，
△OAB
故答案为2．
51．
【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在
直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值．
解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上，
∴设点C的坐标为(x，x2−2x)．
∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴，
∴点B的坐标为(x，x)．
∵点B在点C的上方，设BC的长为L，
∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x− )2＋ ，
∵a＝−1＜0，
∴L有最大值，
∴线段BC长度的最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图像和性
质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键．
52．抛物线 y= x2+1
【分析】当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形
AOBC是矩形，由 P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出
PC、AP，在Rt△APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上
时，用同样的方法求解即可.
解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC
是矩形，
∴AC=OB=x，BC=OA=2，
∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y，
在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y= x2+1；
当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x满足的关系式是：y= x2+1，
∴y ，x满足的关系式是：y= x2+1.
故答案为：抛物线、y= x2+1.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式，
难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键.
53．
【分析】直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C
（0，1），再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后
把B点坐标代入y=ax2+1即可得到a的值．
解：直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），
∵C（0，1），
∴CD=4，
∵AB过点（0，-3）且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B（4，-3），
把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=- ．
故答案为- ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
54．（1）抛物线 向下平移1个单位长度才能得到抛物线 ;（2）>0；=0，1；（0，1），（-1，0）和（1，0）;（3）抛物线 的开口方向向上，对称轴是
y轴，顶点坐标是（0，-3）.
【解析】
【分析】（1）根据作出的图像，即可得到平移方向和单位；
（2）由 ，结合二次函数的图像和性质，即可得到答案；
（3）根据二次函数的图像和性质，即可得到答案.
解：函数 和 的图像如图所示.
（1）抛物线 向下平移1个单位长度才能得到抛物线 .
（2）函数 ，当 时，y随x的增大而减小；当 时，函数有最大值，最大
值是1；其图像与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，
0）；
故答案为：>0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）.
（3）抛物线 的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图像后即可得到平移的单位和方向．解
题的关键是掌握二次函数的图像和性质.
55．（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称
轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向
都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜
m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图像的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根
据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
解：（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称
轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向
都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数图像上点的坐
标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
