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专题3.1 函数的概念及其表示
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
新课程考试要求 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象
核心素养
（例5.10）等核心数学素养.
1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和
考向预测 性质．
2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
【知识清单】
1．函数的概念
函数
两个集合 设A，B是两个
A，B 非空数集
对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数
f：A→B x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做
函数值，函数值的 集合 { f ( x ) | x ∈ A }叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段
函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几
个部分组成，但它表示的是一个函数.
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中， 与 不表示同一函数的是（
）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定
义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数 是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
考点二：求函数的定义域
y 76xx2
【典例2】（2019·江苏高考真题）函数 的定义域是_____.
【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定
义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的
取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】1
f(x) 2x
1.函数 lg(x1) 的定义域为（ ）
[2,2] [2,0)(0,2]
A． B．
(1,0)(0,2] (-1,2]
C． D．
y f(x1) [2,3] y f(2x1)
2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ，则
的定义域是（ ）
5
A．[0,2 ] B．[1,4] C．[5,5] D．[3,7]
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解
法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要
用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
高频考点三：求函数的解析式
【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f =x2+ ，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．
【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数 的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标
分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数 的解析式．
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
f(x) f[g(x)] f[g(x)] f(x)
3.已知 求 ，或已知 求 ，用代入法、换元法或配凑法．1
f( )
4.若 f(x) 与 x 或 f(x) 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式探究】
1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f [f(x)−2x]=6，则f(2)=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数 满足 ， ．
（1）求 的解析式．
（2）求 在 上的最大值．
考点四：求函数的值域
1
f x x x0
【典例6】函数 x 的值域为（ ）
2, ,2 2, ,2
A． B． C． D．R
【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则（
）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 的定义域和值域都是 D．函数 的定义域和值域都是
【典例8】（2021·浙江高一期末）函数 的定义域是_________，函数
的值域为__________．
【规律方法】
函数值域的常见求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问
题，均可使用配方法．(2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，
即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y ＝f(a)，y ＝f(b)；
最小 最大
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y ＝f(b)，y ＝f(a)．
最小 最大
②形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋
(k＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫做对勾函
数，其图象的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
高频考点五：分段函数及其应用
【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形 中， 点 从点 出发，
沿 向，以每 个单位的速度在正方形 的边上运动；点 从点 出发，沿
方向，以每秒 个单位的速度在正方形 的边上运动.点 与点 同时出发，运
动时间为 (单位：秒)， 的面积为 (规定 共线时其面积为零，则点 第一次到达点
时， 的图象为（ ）
A． B．C． D．
【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数 若 ，则
的取值范围是__________．
【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数 ， 表示 中较小的那个数，
若 ， ，则集合 _______； 的最大值是
_______.
【典例12】（江苏高考真题）已知实数 ，函数 ，若 ，则a
的值为________
【总结提升】
1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式探究】
1.（2021·全国高一课时练习）已知a> ，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1 B．a+
C．a- D．a-
2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x) 则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数
a=_______.
