文档内容
第 01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量的基本概念............................................................................................................2
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题....................................................................................2
题型三：共线定理及其应用................................................................................................................3
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用........................................................................3
题型五：平面向量的直角坐标运算....................................................................................................5
题型六：向量共线的坐标表示............................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................6
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：平面向量的基本概念
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
2．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
3．若向量 与 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若非零向量 ，则 与 的方向相同
D．若 ，则
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
4．如图所示，在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 交
于点 .若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东聊城·一模） 是 内的一点，若 ， ，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知向量 共线，且 ，则 ．
题型三：共线定理及其应用
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
8．已知非零向量 和 不共线，若 与 共线，则 的值为 ．
9．已知 是不共线的向量，且 ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线C． 三点共线D．
三点共线
10．已知 分别为 的边 上的点，线段 和 相交于点 ，若 ， ，
，其中 ．则 的最小值为 ．
11．在 中， 为 上的一点，满足 .若 为 上的一点，满足
，则 与 的关系为 ； 的最小值为 .
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
12．已知 分别为 的边 上的中线，设 ， ,则 ＝（ ）A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
13．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．设 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
15．在 中， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在 中，点 为线段 的中点，点 是线段 上靠近
的三等分点，则 （ ）
A． B．
C． D．
17．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 与 交于点 ，则 （ ）
A． B．C． D．
18．（2024·云南昆明·一模）在 中，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：平面向量的直角坐标运算
19．若向量 ，则 对应的位置向量的终点坐标是 ．
20．如图，直线 ､ 与 轴正方向的夹角分别为 和 ， ， ，则 的坐
标是 .
21．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形 中， ， ，则 ．
22．已知 ， ，点 在线段 延长线上，且 ，则点P的坐标为 .
23．已知梯形ABCD，其中AB DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标
为 ．
∥
24．已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
题型六：向量共线的坐标表示
25．如果 三点共线，则 的值为 .
26．已知 ， ，且 ，则实数 ．
27．若 ， ， 三点共线，则 .
28．在平面直角坐标系中， ，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为 ．
1．已知向量 ， 不共线，实数 ， 满足 ，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
2．设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 ， ， ， ，则与向量 同方
向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中， ，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为 的重心， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．6
7．（2024·青海海西·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．28．（2024·河北承德·二模）在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2024·高三·山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中，
为BC边上一点，且 为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的方向相同或者相反
B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
11．（多选题）（2024·山西晋中·模拟预测）在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边
上一点，且满足 ， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
12．（2024·上海·三模）设平面向量 ， ，若 ， 不能组成平面上的一个基底，
则 ．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 中， ，P是线段AD上的动点（与端点不重合），
设 ，则 的最小值是 .14．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若将 ，
作为平面向量的一个基，则向量 可表示为 （用 表示）.
15．（2024·江西鹰潭·模拟预测） 的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量
， ，若向量 与向量 共线，则角 ．
16．（2024·上海松江·二模）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 .
1．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（广东卷））已知平面向量 ， ，且
，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
2．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））已知向量 ， ，若
，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－ 或 D．0
3．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么
能够表示为（ ）A． B．
C． D．
4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图
所示），设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅱ））在 中， 是 边上一点.若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））平面向量 ， 共线的充要条件是
（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
7．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知向量 ， ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））已知向量 ， ，且 ，则
．
9．（2020年江苏省高考数学试卷）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，
使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是 ．
