文档内容
第 01 讲 平面向量的概念及其线性运算
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
角度2：模
角度3：零向量与单位向量
角度4：相等向量
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
角度2：平面向量的数乘
高频考点三：共线向量定理的应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量 或 ；模 或 .
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作 .
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用 表示.
特别的：非零向量 的单位向量是 .
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量， 与 共线可记为 ；
特别的： 与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 .
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作 .
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量 ，
我们规定 .
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 叫做 与 的和,记作 ,即
.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量 , ,作 , ,以 , 为邻边作 ,则以 为起点的向量
( 是 的对角线)就是向量 与 的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则.
2.2向量的减法
①定义：向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 .
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 .如图所
示如果把两个向量 , 的起点放在一起,则 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 .它的长度与方向规
定如下：
①
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
3、共线向量定理
①定义：向量 与非零向量 共线，则存在唯一一个实数 ， .
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意 ；特别地，若 ，实数 仍存
在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量 ， ，则 （当 与 反向共线时左边等号成立；当 与
同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量 ， ，则 （当 与 同向共线时左边等号成立；当 与
反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如
中， 中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
中 中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若 为线段 的中点， 为平面内任意一点，则 .
4.3三点共线等价形式：
（ ， 为实数），若 ， ， 三点共线
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一课前预习）判断下列结论是否正确.
（1）若 与 都是单位向量，则 ；( )（2）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量；( )
（3）直角坐标平面上的 轴， 轴都是向量；( )
（4）若 与 是平行向量，则 ；( )
（5）若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点M与N不重合；( )
（6）海拔、温度、角度都不是向量.( )
【答案】 错误 正确 错误 错误 正确 正确
【详解】
（1）若 与 都是单位向量，而单位向量方向不一定相同，故不能得到 ；
（2）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是方向相反的向量，因而是共线向量；
（3） 轴与 轴有方向但是没有长度，因而 轴， 轴都不是向量；
（4）若 与 是平行向量，则 与 方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必须长度相等，方向相
同，故不能得到 ；
（5）若用有向线段表示的向量 与 不相等，则终点一定不相同，即点M与N不重合；
（6）海拔，温度，角度都是数量，只有大小没有方向，不是向量.
2．（2022·全国·高一专题练习）若 与 都是单位向量，则 .( )
【答案】错误
【详解】
因 与 都是单位向量，则 与 长度相等，而它们的方向不确定，即 与 不一定相等，
所以命题：“若 与 都是单位向量，则 .”不正确.
故答案为：错误
3．（2022·全国·高一专题练习）如果 ，那么 > .( )
【答案】错误
【详解】
向量不能比较大小，所以 错误.
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量 ，则 或 ( )
【答案】错误
【详解】
，但是方向不确定，因此不能判断 或 ，故错误，
故答案为：错误.
5．（2022·江苏·高一专题练习）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量.( )
【答案】√
如图所示，分别在O点的南偏西 和北偏东 作向量 与 ，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以 与
共线，所以说法正确﹒
故答案为：√
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
例题1．（2022·上海·复旦附中高一期中）①加速度是向量；②若 且 ，则 ；③若 ，
则直线 与直线 平行．上面说法中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当 ，满足 且 ，但 不一定平行，所以②不
正确；若 ，则直线 与直线 平行或在一条直线上，所以③不正确.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图， 和 是在各边的三等分点处相交的两个全等的
正三角形，设 的边长为 ，写出图中给出的长度为 的所有向量中，
（1）与向量 相等的向量；
（2）与向量 共线的向量；
（3）与向量 平行的向量.
【答案】（1） ， ；（2） ， ， ， ， ；（3） ， ， ， ， .
【详解】
（1）与向量 相等的向量，即与向量 大小相等，方向相同的向量，有 ， ；
（2）与向量 共线的向量，即与向量 方向相同或相反的向量，有 ， ， ， ， ；
（3）与向量 平行的向量，即与向量 方向相同或相反的向量，有 ， ， ， ， .
角度2：模
例题1．（2022·浙江省定海第一中学高一期中）已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】
因为 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C例题2．（2022·全国·高一专题练习）在边长为 的正三角形 中， 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
以 、 为邻边作菱形 ，则 ，
由图形可知， 的长度等于等边 的边 上的高的 倍，
即 ，因此， ，故选：D.
例题3．（2022·上海市复旦中学高一期中） 是 的_____________条件.
【答案】充分不必要
【详解】
，充分性成立； 或 ，必要性不成立，
是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
角度3：零向量与单位向量
例题1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小 B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【详解】
根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D.
例题2．（2022·广东东莞·高一期中）下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．零向量与任一向量平行
C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同【答案】C
【详解】
对A，零向量的模长为0，故A正确；
对B，零向量与任一向量平行，故B正确；
对C，零向量的方向是任意的，故C错误；
对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确；
故选：C
例题3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量 ，则与向量 垂直的单位向量的坐标为
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】
易知 是与 垂直的向量， ，
所以与 平行的单位向量为 或 ，
故选：D．
角度4：相等向量
例题1．（2022·山西·大同市第三中学校高一期中）在菱形 中，与 相等的向量可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 为菱形，所以 ， ，故A、C错误；
对于B： ，故B正确；对于D： ，故D错误；
故选：B
例题2．（多选）（2022·山东菏泽·高一期中）设点 是平行四边形 的对角线的交点，则下列结
论正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 共线
【答案】AD
【详解】
因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有 ，A正确；
平行四边形对角线长不一定相等，则 与 不一定相等，B不正确；
点A，O，B不共线，C不正确；
平行四边形ABCD中， ，即有 与 共线，D正确.
故选：AD
例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图， 是正六边形 的中心，且 ， ，
．在以 这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与 相等的向量有哪些？
(2) 的相反向量有哪些？
(3)与 的模相等的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)由相等向量定义知：与 相等的向量有 .
(2)由相反向量定义知： 的相反向量有 .
(3)由向量模长定义知：与 的模相等的向量有
.题型归类练
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【详解】
对于A， ，故A错误；
对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；
对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；
对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；
故选：C.
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，当 且 时， 或 ，A错误；
对于B，当 时， ，B错误；
对于C，当 时， 或 ，C错误；
对于D，当 时， ，D正确．
故选：D．
3．（多选）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若 为单位向量，且 ，则
B．若 ， ，则
C．D．若平面内有四点 ，则必有
【答案】ABC
【详解】
对于A， ， 与 同向或反向， 或 ，A错误；
对于B，若 ，则 ， ，但 与 可能不共线，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ， ，D正确.
故选：ABC.
4．（2022·上海交大附中高一阶段练习）下列数学符号可以表示单位向量的是______（选项之间不需要分
隔符号）
① ② ③ ④
【答案】②④
【详解】
对于①，因为 ，所以 不表示单位向量，
对于②，因为 ，所以 表示单位向量，
对于③，因为 表示两个单位向量的数量积，结果是一个数，所以 不表示单位向量，
对于④，因为 表示与 同向的单位向量，所以④符合题意，
故答案为：②④
5．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形 中， ， 分别为边 、 的中点，如图．
(1)写出与向量 共线的向量；
(2)求证： ．
【答案】(1) ,
(2)证明见解析
【解析】.(1)据题意，与向量 共线的向量为： , ；
(2)证明： 是平行四边形，且 ， 分别为边 ， 的中点，
，且 ，
四边形 是平行四边形，
，且 ，
．
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
例题1．（2022·广东·华南师大附中高一期中）下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D正确；
故选：A
例题2．（2022·广东·深圳中学高一期中）如图，在 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，
则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
在 中，点M是线段 上靠近B的三等分点，则 ，
所以 .
故选：B
例题3．（2022·河北·沧县中学高一期中）化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解： ，
＝ ，
故选：B．
例题4．（2022·广东·福田外国语高中高一期中）如图，在 中，点 是线段 上靠近 的三等分
点，点 是线段 的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题图， .
故选：A
例题5．（2022·北京通州·高一期中）如图，在平行四边形 中， 与 交于点 ， ，
，则下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对于A选项， ，A错；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：C.
例题6．（2022·河南安阳·高一阶段练习）在等边 中， 为重心， 是 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
O为 的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有 ，而D是 的中点，
所以 .
故选：D
角度2：平面向量的数乘
例题1．（2022·北京通州·模拟预测）设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若 为非零向量，且存在负数 ，使得 ，则 共线且方向相反，，充分性成立；
当 时， 的夹角可能为钝角，此时不存在复数 ，使得 ，必要性不成立；
“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
例题2．（2022·重庆一中高一期中）在 中， 为 的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
.
故选：D
例题3．（2022·江苏淮安·高一期中）设 为基底，已知向量 ， ，
，若 ， ， 三点共线，则 的值是（ ）
A．2 B．-4 C．-2 D．3
【答案】B
【详解】
因 ， ，则 ，
因A，B，D三点共线，则 ，即 ， ，而 ，
则有 ，即 ，又 与 不共线，于是得 ，解得 ，
所以k的值是 .
故选：B
题型归类练
1．（2022·江苏常州·高一期中）如图平面四边形ABCD中， ，则 可表示为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ，即 .
故选：D.
2．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定
理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该
直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， ，
， ，A错误，B错误；
，C错误；，D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高一专题练习）设向量 ， ，求 ．
【答案】 ##
【详解】
故答案为：
4．（2022·四川成都·高一期中（文））如图，在梯形ABCD中， ，E为线段AB的
中点，F为线段AC上的一点，且 ，记 ．
(1)用向量 表示 ﹔(2)用向量 表示 ．
【答案】(1) (2)
(1)解：由题可知： ， ， ，
所以 ．
(2)解：
．
5．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）如图所示，已知 ， ， ， ， ，
，试用 表示下列各式：(1) ；(2) ；(3) ．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
高频考点三：共线向量定理的应用
例题1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知向量 ， ，则“存在实数 ，使得 ”是“ ，
共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由存在实数 ，使得 ，可得 共线；
但当 时， 共线，此时不一定存在实数 ，使得 ．
故选：A．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）设 为基底向量，已知向量 ， ，
，若 ， ， 三点共线，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
易知 ，
又A，B，D三点共线，所以存在实数 ，
使得 ，即 ，则 ，所以 的值是 .
故选：A
例题3．（2022·全国·模拟预测）在 中，点 为线段 上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【详解】
因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
例题4．（2022·广东·广州市海珠中学高一期中）如图．在 中，已知 ，
， 与 交于点 ， ， ，则 _________（用 ， 表示 ）．
【答案】
【详解】
∵M、E、C三点共线，则
B、E、N三点共线，则
则可得 解得
∴故答案为： ．
例题5．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期中）设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线；
（2）试确定实数 ，使 和 共线．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
（1）证明： ， ， ，
， 共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2） 和 共线，
∴存在实数λ，使 ，
即 ， .
， 是两个不共线的非零向量，
， .
题型归类练
1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）已知 ， 是两个不共线向量 与 共线，
则t的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 与 共线，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A．
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））已知不共线的两个向量 与 共
线，则实数t等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 与 共线，
所以有且仅有唯一的实数 ，满足 ，
则 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·湖南师大附中高一期中）如图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线
AB，AC于不同的两点M，N．设 ，△ ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】
由题意得 ，
因为M、O、N三点共线，所以 ，解得 ，
故选B．
4．（2022·江苏宿迁·高一期中）如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，
则实数 的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
因为 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 ，
故选：B
5．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）如图，在△ 中， ， 是 上的一点，若
，则实数 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，又 ，则 ，
故
因为 三点共线，故可得 ，解得 .故选：A.
6．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（理））设 ， 是两个不共线的向量，若向量
与向量 共线，则 ___________．
【答案】 ##
【详解】
由题意得存在唯一实数 ，使 ，
所以 ，
因为 ， 是两个不共线的向量，
所以 ，解得 ，
故答案为：
7．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）如图，在 中， 为线段 上靠近 点的三等分点，
若 ，则 ________________．
【答案】
【详解】
因为 为线段 上靠近 点的三等分点，所以
三点共线，所以 .
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若
，则 的最小值为______．
【答案】【详解】
是线段 上一点， ， ， 三点共线，
， ，且 ， ，
，
当且仅当 时取等号．
的最小值为9．
故答案为：9．
9．（2022·湖北·武汉市第十一中学高一期中）已知 中，点D在线段 上，且 ，延长
到C，使 ．设 ， ．
(1)用 表示向量 ；
(2)若向量 与 共线，求k的值．
【答案】(1) ， ；(2) ．
【解析】
(1)∵A为 的中点，
∴ ，
可得 ， ；
(2)由（1）得 ，
∵ 与 共线，则 ，
即 ，
∵ 不共线，
∴ ，解得 ．第四部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
2．（2020·海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C
3．（2021·全国·高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________．【答案】
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
