专题4.3应用导数研究函数的极值、最值2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小
新课程考试要求
值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例2）、数
核心素养
学运算（多例）、数据分析等.
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或
范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结
合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
考向预测 （3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与
方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
（4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题
呈现；
（5）适度关注生活中的优化问题.
【知识清单】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近
的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附
近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单
调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【考点分类剖析】
考点一 ：函数极值的辨析
【典例1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间为 B． 的极小值点为1C． 的极大值为 D． 的最小值为
y  f x
【典例2】（2020·江苏高二期末）已知函数 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
f x
A．1是函数 的极小值点
f x
3
B． 是函数 的极小值点
f x 3,1
C．函数 在区间 上单调递增
f x
x0
D．函数 在 处切线的斜率小于零
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的
图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′
(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x 处有极值时，一定有f ′(x)＝0，f(x)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x 两
0 0 0 0
侧的符号后才可下结论；若f ′(x)＝0，则f(x)未必在x＝x 处取得极值，只有确认x<x<x 时，
0 0 1 0 2
f(x)·f(x)<0，才可确定f(x)在x＝x 处取得极值．
1 2 0
【变式探究】
ex
f x
1. （2020·山东高二期中）【多选题】已知函数 lnx ，则（ ）
x0,1 f x
x
A． 时， 的图象位于 轴下方
f x
B． 有且仅有一个极值点
f x
C． 有且仅有两个极值点
f x 1,2
D． 在区间 上有最大值2.（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则
下列结论中一定成立的是( D )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【易错提醒】
（1）可导函数y＝f(x)在点x处取得极值的充要条件是f ′(x)＝0，且在x左侧与右侧f ′(x)的符号
0 0 0
不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数
没有极值．
考点二：已知函数求极值点的个数
【典例3】（2021·山东日照市·高三月考）已知函数 ．
（1）若 讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 的极值点个数．
【易错提醒】
极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
【变式探究】
a
f(x) lnx
（2019·河南高考模拟（文））已知函数 ex .
ae y  f(x) (1, f(1))
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
f(x)
（2）求函数 的极值点个数.
考点三：已知函数求极值（点）【典例4】（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（文））函数 的极值点是
___________.
【典例5】（2020·河北高三其他模拟（文））已知函数 ， .
（1）当 时，证明： ；
（2）当 时，函数 是否存在极大值，若存在，求出极大值；若不存在，请说明
理由.
【规律方法】
(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义
域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x处取
0 0
极大值,如果左负右正,那么f(x)在x处取极小值．
0
(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数
没有极值．
【变式探究】
1. （2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））若 是函数 的极值点，则 （
）
A． B．
C． D．
f x x3 3ax2 f x
x2
2.（2020·山东潍坊中学高二月考）已知 是 的极小值点，那么函数 的极大
值为______.
考点四：已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【典例6】（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））已知函数 在处有极值10，则 （ ）
A． B．0 C． 或0 D． 或6
【典例7】（2018·北京高考真题（文））设函数 .
f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
【规律方法】
由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式
求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点
两侧导数是否异号．
【变式探究】
1.（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））在 中， ， ， 分别为 ， ， 所对的
边，若函数 有极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
ax3 1
f x bx2 a2x
2.（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））设函数 3 3 在x1处取得极值为
ab
0，则 __________．
【特别提醒】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
考点五：利用导数求函数的最值
【典例8】（2021·北京高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【规律方法】
求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，
f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，比较大小，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
f(x)2x3ax2 2
【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知函数 .
f(x)
（1）讨论 的单调性；
0<a<3 f(x)
0,1
M m M m
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【易错提醒】
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极
值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【变式探究】
1
f(x) xsinx,x[0,],
1.（2020·浙江宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数 2 则 f(x)的最小值为
________，最大值为_______.
x
f xex 
2.（2019·新疆高考模拟（文））已知函数 tx1（其中e是自然对数的底数）．
( ) t 0 f x
Ⅰ 当 时，求 的最小值；
1 
,
(Ⅱ)当t 0时，求 f x 在  t  上的最小值．
考点六：根据函数的最值求参数的值（范围）
【典例10】（2021·全国高三二模）已知直线 与曲线 相切，当 取得最大值时， 的值
为_______________________．
【典例11】（2021·重庆高三其他模拟）已知函数 ， .（1）求 的单调性；
（2）若 ，且 的最小值小于 ，求 的取值范围.
【易错提醒】
1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数
时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它
们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【变式探究】
1．（2021·四川高三月考（文））设函数 ，已知 且 ，若
的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．2
ex 2x, xa,
f(x)
2.（2019·北京高考模拟（文））设函数 若 ，则 的最小值为
ax1, xa. a1 f(x)
f(x) a
__________； 若 有最小值，则实数 的取值范围是_______．