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重难点突破01 圆中的范围与最值问题
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1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y−b
μ=
（1）形如
x−a
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
t=ax+by
（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
m=(x−a) 2 +(y−b) 2
（3）形如 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值
问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点 在圆 上运动，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 看作圆上的点 到点 的直线的斜率的相反数.
当经过点 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为 ，所以圆心到切线的距离等于半径，故 ，解得 故当
时，切线斜率最小，此时 最大，最大值为 ，
故选：C例2．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点 在圆 上运动，则下
列选项正确的是（ ）
A． 的最大值为 ，最小值为
B． 的最大值为 ，最小值为 ；
C． 的最大值为 ，最小值为 ；
D． 的最大值为 ，最小值为 ；
【答案】BC
【解析】（1）设 ，整理得 ，则 表示点 与点 连线的斜率．
当该直线与圆相切时， 取得最大值与最小值，所以 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）设 ，整理得 ，则 表示直线 在 轴上的截距．
当该直线与圆相切时， 取得最大值与最小值，所以 ，解得 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
故选：BC.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为圆 ： 上任意一点，则 的最大
值为 .
【答案】【解析】
由于 ，故 表示 和 连线的斜率，设 ，如图所示，当 与圆相切
时， 取得最大值，
设此时 ，即 ，又圆心 ，半径为1，故 ，解得 ，
故 的最大值为 .
故答案为： .
变式1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知 为圆C：
上任意一点，且点 ．
（1）求 的最大值和最小值．
（2）求 的最大值和最小值．
（3）求 的最大值和最小值．
【解析】（1）圆C： ，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，
当M与A重合时 取得最小值，
即 ，
与B重合时 取得最大值即 ，故最大值为 ，最小值为 ；（2）易知 ，由图形知当 与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设 ，则C到其距离为 ，解得 ，
故最大值为 ，最小值为
（3）设 ，如图所示， 即过点M的直线 的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取
得最值.圆心C到该直线的距离为 ，所以 或9，故最大值为9，最小值为1.
题型二：直线型
例4．（2023·全国·高三专题练习）点 是圆 上的动点，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】由 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值是 .
故答案为： .
例5．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点 是圆 上的动点，则
的最大值为（ ）A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由 ，令 ，则 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是圆 ： 上的一动点，若圆 经
过点 ，则 的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆 ： 经过点 ，
．又 ，所以 ，
可看成是直线 在 轴上的截距.如图所示，
当直线 与圆相切时，纵截距 取得最大值或最小值，此时 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 的最大值与最小值之和为 .
故选：C．
题型三：距离型
例7．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿
基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究
成果之一，指的是：已知动点 与两个定点 , 的距离之比为 （ ，且 ），那么点 的轨迹就
是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点 , 间的距离为 ，动点 满足 ，则 的最大值为
【答案】 /【解析】由题可知 ,
不妨设：
所以有 ，
因为
得 ，整理得 ，得 ，
显然 ，得 ，解得：
有 =
因为 ，
所以当 时， 有最大值为
故答案为：
例8．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知 为圆 上任意一点，
且 ．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)若 ，求 的最大值和最小值；
(3)若 ，求 的最大值和最小值．
【解析】（1）因为 ，即 在圆 外，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
因为 ，即 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）圆 的圆心 ，半径 ，
令 可得 ，即圆和直线 总有公共点求 的最大值和
最小值，
即 ，解得 ，所以 的最大值为 ，最小值为 ；
（3） ，
令 ，
当 即 时 ，
此时点 在圆外，所以 ，求 的最大值和最小值转化为求
圆 与圆 总有公共点求 的最大值和最小值，而
两圆心的距离为 ，
当两圆外切时 ，解得 ，此时 ，
当两圆内切时，两圆心的距离 ，所以只能圆 在圆 的内部，
所以 ，解得 ，此时 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ．
例9．（2023·高一课时练习）已知点 在直线 上运动，求 的最小值及取
得最小值时点 的坐标．
【解析】因为 ，可看作定点 与直线上任意一点距离的平方，
所以距离最小值即是点 到直线 的距离，
由点到直线的距离公式可得最小值为 ；
此时直线 与直线 垂直，所以直线 的方程为 ，即 ，
由 得 ，即 .
故 的最小值为 ，此时点P的坐标为 .
变式2．（2023·高二课时练习）已知点 在直线 上运动，则 取得最小值
时点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】 转化为直线 上的点 到点 的距离的平方，
又点 到直线 的距离最小，过点 且与直线 垂直的直线为
因此两直线联立， ，解得
故点 的坐标为
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知 为圆 上任意一点．则
的最大值为
【答案】 /
【解析】圆 即 ，
故圆心 ，半径为 ，
又 表示圆C上的点M到点 的距离，
故其最大值为 ，
故答案为：
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 对任意 都恒成立，
所以 .
不妨设 又 .
当 ，设 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 对应的点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
所以 可以看成是 到 的距离，
所以 的最小值为 .
当 时，同理可得 的最小值为1.
故选：A
变式5．（2023·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点 ，点 在圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
【答案】C
【解析】设点 ,点 在圆 上运动,满足 ,且 ,
当 时, 取得最大值是 ;
故选: .
题型四：周长面积型
例10．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 ， ，点 是圆 上任意一点，则面积的最大值为 ，最小值为 .
【答案】
【解析】因为两点 ， ，
所以直线 的方程为： ，即 ， ，
圆 ，其圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离最大值为 ，距离最小值为 ，
所以 面积的最大值 ；
面积的最小值 .
故答案为： ； .
例11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，点M为直线 上一个动点，
过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有 ， ，
因此有 ，
要想四边形 周长最小，只需 最小，即当 时，
此时 ，此时 ，即最小值为 ，
故选：A
例12．（2023·全国·模拟预测）已知直线 ： 与圆 ： 相交于不同两点 ，
，位于直线 异侧两点 ， 都在圆 上运动，则四边形 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ： 可以化为标准方程 ，
则其圆心为 ，半径 ，
则直线 与圆心的距离 ，
故由勾股定理可得半弦长为 ，
所以 .
又 ， 两点位于直线 异侧且都在圆 上运动，
所以四边形 的面积可以看作是 和 的面积之和，
则当 为弦 的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，
即四边形 的面积最大，
最大面积 .
故选：A.
变式6．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆 的方程为 ，点 是直线 上的一
个动点，过点 作圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，则四边形 的面积的最小值为
【答案】
【解析】由圆 ，得到圆心 ，半径
由题意可得： ， ， ，，
在 中，由勾股定理可得： ，
当 最小时， 最小，此时所求的面积也最小，
点 是直线 上的动点，
当 时， 有最小值 ，此时 ，
所求四边形 的面积的最小值为 ；
故答案为：
变式7．（2023·高二课时练习）已知 ， ，点 为圆 上任意一点，则
面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，直线 的方程为： ，
于是点 到直线 ： 的距离 ，而点 在圆 上，
因此点 到直线 距离的最大值为 ，又 ，
所以 面积的最大值为 .
故选：D题型五：数量积型
例13．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点 为椭圆 上任意一点， 是圆
上两点，且 ，则 的最大值是 .
【答案】24
【解析】设圆的圆心为 ，则 ，椭圆的右焦点坐标也为 ，
且 是圆 的一条直径，因此
，
因为点 是椭圆的右焦点，点 在椭圆上，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 的最大值为24.
故答案为：24.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切于点
，设直线 与 轴的交点为 ，点 为圆 上的动点，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心的为 ，因为直线 与圆 相切于点 则所以 得 ，所以 ， ，
所以直线方程为 ，圆的方程为 ，所以 ， ，
的中点 ，
则
因为 ，
所以
故 ，所以 的最大值为
故答案为：
例15．（2023·江苏南京·高一校考期中）已知点 ，点 为圆 上的
动点，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】圆的标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，
，
当点 动到 点时， 取得最大值，即为 在 上的投影，
.
故答案为： .
变式8．（2023·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段
（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知： 等于 与 在 上的投影的乘积，
故当 在 上的投影最大时，数量积最大，此时点 在以 为圆心的圆的最上端 处，此时投影为
，故数量积为 ，
故当 在 上的投影最小时，数量积最小，此时点 在以 为圆心的圆的最下端 处，此时投影为
，故数量积为 ,
故 ，
故选：A
变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆
的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围
是（ ）
A． . B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
可得 为 与 在 方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆 与DE交于M，
过M作 于 ，设以C为圆心的圆 与 垂直的
切线与圆 切于点N与 延长线交点为 ，
则 在 方向上的投影最小值为 ，最大值为 ,
又 ， ，
则 ，
则 的取值范围是 .故选：A
变式10．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心
为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记圆心为 ，则 ，
因为 互为相反向量，
所以 ，
因为正六边形ABCDEF的边长为2， 为正六边形的中心，
所以当 与正六边形顶点重合时， 有最大值2，
当 在正六边形边上的中点处时， 有最小值，此时 .
所以 .
故选：B题型六：坐标与角度型
例16．（2023·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M： 上，点 ，
，则 最小和最大时分别为（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
【答案】B
【解析】
如图所示，当 与圆相切时对应 的最大和最小，设最小时切于 ，最大时切于 ，
由 ，可得 ，所以 ，同理得
由点 ， ，可知 ，
所以 ，
.
故选：B.
例17．（2023·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点
0 0
Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
【答案】
【解析】如图圆 ， 在直线 上，
若圆存在点 ，使得 ，
当 在直线 上运动，极端情况， 与圆 相切， .
在 中， ，所以 .
所以以 为圆心， 为半径的圆与直线交于 ， 两点.
符合条件的点在线段 之间.
所以 或 .
故 的取值范围为 .
故答案为：
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点 在圆 上， ,
则 ，
如图，当 与圆相切时， 取得最小值 ，所以 ，此时点 .
故选：C变式11．（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆 ）与圆
交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 可化为 ，
故圆N的圆心为 ，半径为 ，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以 且 ，故 ，
当 的坐标为 时， ，
在△NAB中， ，
又 ， 在 上单调递减，
故 为锐角，且当 时， 最大，又 在 上单调递增，
所以当 最大时， 取得最大值，且最大值为 ，
故选：D
变式12．（2023·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最
大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心 ，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得 ,即 ，
，当且仅当 时取等号，即 ，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
变式13．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，圆 是以圆 上任意一点为圆
心，1为半径的圆．圆 与圆 交于 ， 两点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中， ．如图所示：
当公共弦 最大，即 为圆 的直径时，
最大，又 可得 为锐角，即 取得最大值．
此时 ，则 ．
故选：D
题型七：长度型
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 及点 ，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】作出点A关于直线 的对称点 ，如图：
设点 ，则有 ，解得 ，即 ，而C(2，0)
由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离 满足 (当且仅当Q是线段PC与圆C的交点
时取“=”)，
连接 交直线 于点O，P为直线 上任意一点，连 (线段PC交圆C于点Q)，
则 ，当且仅当点P在线段 上，即与点O
重合时取“=”，
所以 的最小值为3.
故答案为：3
例20．（2023·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线 与圆 交于 两点，
且 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】 的几何意义为点 到直线 的距离之和，其最大值是 的中
点 到直线 的距离的2倍.
由题可知， 为等边三角形，则 ，
∴AB中点 的轨迹是以原点 为圆心， 为半径的圆，
故点 到直线 的最大距离为 ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ＝ .故答案为： .
例21．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知 为圆 上
的两点，且 ，设 为弦 的中点，则 的最大值为 .
【答案】15
【解析】注意到 ，
则 ，又 ，
则 ，又由垂径定理可知， ，则 .
故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.
注意到 ，表示P到直线 距离的5倍，又圆上一点到
距离的最大值为： ，
则 的最大值为15.
故答案为：15
变式14．（2023·上海静安·高二校考期末）已知实数 满足 ， ，
则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】设圆 ，直线 ， ， ，
则 ， 都在圆 上，
∵ ，
，
∴△MON是等边三角形，∴ ．表示 和 到直线 的距离和 ，
由图形得只有当 、 都在直线 的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取 、 的中点 ，过 作 ，垂足为 ，则 ，
∵ 为等边三角形， 为 的中点，∴ ，
则 在圆 上运动，
则当MN∥l时， 到直线 距离的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为：
变式15．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名
的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足 （其中 是正常数，且 ），则P的轨迹
是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点 ，P是圆 上的动
点，则 的最小值为
【答案】
【解析】如图，在 轴上取点 ，， ， ， ，
（当且仅当 为 与圆 交点时取等号），
.
故答案为： .
变式16．（2023·全国·高二期中）已知圆 是以点 和点 为直径的圆，点 为圆 上
的动点，若点 ，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，知： 且 ，即圆 的半径为4，
∴圆 ： ，
如上图，坐标系中 则 ，
∴ ，即△ △ ，故 ，
∴ ，在△ 中 ，
∴要使 最大， 共线且最大值为 的长度.
∴ .
故选：A变式17．（2023·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知 ， 是曲线 上两个不
同的点， ，则 的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 化简得 ，
由 ，得 .
因为 ，所以 或 .
当 时， ；当 时， .
所以方程 表示的曲线为圆 的左半部分和圆
的右半部分.
根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时， 取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时， 取得最小值，且最小值为 .故 的
最大值与最小值的比值是 .
故选：B.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ，点 在 内部，
，则 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为 ， ，所以 .在 中，由正弦定理得： （R为 的外接圆半径），所以 ，解得： .
如图所示：设 的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以 ， .
所以点M的轨迹为： ，可写出 （ 为参数）.
因为点 在 内部，所以 （其中 满足 ， ）.
所以
因为 满足 ， ，所以 ，
所以当 时 最小.
故答案为：2
变式19．（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线 上运动，点E是
圆 上的动点，点F是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】如图所示，圆 的圆心为 ，半径为3，
圆 关于直线 的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为 ，
则 ，解得： ，
故圆B的圆心为 ，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为： ，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时 点的对称点为 ，且 ，所以
，在P点运动过程中，当P，B，A， ，F五点共线时，且 在圆B左侧，点F在
圆A右侧时， 最大，最大值为
故选：D.
题型八：方程中的参数
例22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ，点M
在以 为直径的半圆上，且满足 ，则 的最大值为（ ）A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，以 为原点建立直角坐标系，设 中点为 ，易得 ，则 中点
， ，
故以 为直径的圆的方程为 ，过 作 轴平行线交 轴于 ，交半圆于 ，则
，设 ，
则 ，又
，
故 ，则 ，其中
，
显然当 时， 取最大值 .
故选：D.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】设点 ，因为 ，所以 ，
点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又直线 的方程为 ： ， ，圆心 到直线 的距离
，所以 到直线 的距离最大值为
则 面积的最大值为 .
故选： .
例24．（2023·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点 ，点 为圆
上一动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点 为圆 上一动点，故设 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 ，则 ，
其中 为辅助角， ，
则 ，整理得 ，
故 的最大值为 ，
故选：A
变式20．（2023·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点 的动直线 与圆
交于 两点，过 分别作 的切线，两切线交于点 .若动点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接 、 ，则 、 ，所以四边形 对角互补，则 、 、
、 四点在以 为直径的圆上.
设 ，则该圆的圆心为 ，半径为 ，则该圆的方程为
，又该圆和圆 的交点弦即为 ，故 直线所在的方程为
，整理得 ，又因为点 在直线 上，故
，即 点的轨迹为 ，又因为 的坐标为 ，因为
，所以 在圆 上运动，故 的最小值为 到直线 的距离
减去半径，即 ，即 的最小值为 .
故答案为：
