文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错05 等腰三角形的性质与判定易错
【典型例题】
1．（2021·山东东营市·七年级期末）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF于点D，则线段BE与AF的数量关系式是_____（不
需要说明理由）；
（2）类比探究如图②，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF于点D，请写出BE与AF的数量关系式，并说
明理由；
（3）解决问题如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，若AM=2，AN=1，则AB的长为______．
【答案】
（1）如图，连接AD，
∵ ，AB＝AC，D为BC中点，
∴BD =AD=DC， ， ．
∴ ，
∵
∴ ．∴ ，
∴ ．
∴BE＝AF．
（2）如图，连结AD，
由（1）可知 ，
∴ ．
∵DE⊥DF，
∴∠BDE+∠BDF＝90°，
又AD⊥BC，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；（3）如图，过M点作 ，交AB的延长线于点G，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AN=BG=1，
∵AM=GM=2，
∴在 中， ，
∴AB=AG-AB= ．
【点睛】
本题考查三角形综合题，主要知识点为全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·山西朔州市·八年级期末）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为
（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°或20°
【答案】D
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．
2．（2020·重庆沙坪坝区·八年级期末）如图，在 中， ，D为BC的中点， ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练
运用等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，已知 中， 点 是射线 上的两个动点(点 在点 的右侧)．且 连结 ，若 ， ．则 关于 的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质
是解题的关键．
二、填空题
4．（2020·克山县第二中学校八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，
CP＝4cm．则BP的长＝________．
【答案】8cm
【点睛】
本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长．
5．（2021·重庆巴南区·八年级期末）如图，等腰 的周长为36，底边上的高 ，则 的周长为
________．
【答案】30
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高线，顶角的平分线重合）是解题关键．
6．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）在 中， ，在射线 上一动点D，
从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间
t为_____________秒．
【答案】 、10和16
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．三、解答题
7．（2020·苏州市吴江区铜罗中学八年级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点
F在BC上，且AE=CF．
求证：(1)DE=DF；
(2)∠EDF=90°．
【答案】
证明：（1）∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠FCD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF（2）由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF．
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠CDF＋∠EDC＝∠EDF＝90°，
即∠EDF=90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件，难度一般．
8．（2021·北京东城区·八年级期末）已知 是等边三角形，点D是 的中点，点P在射线 上，点Q在线段
上， ．
（1）如图1，若点Q与点B重合，求证： ；
（2）如图2，若点P在线段 上， ，求 的值．
【答案】
证明：（1）∵ 为等边三角形，
∴
∵D为 的中点，∴ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）过点D作 交 于点E．
∵ 为等边三角形， ，点D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ． ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·山东烟台市·七年级期末）已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由
（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长
【答案】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD；
（2）如图，由（1）可知：△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，
即52＋122＝ED2
∴DE＝13；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是本题的关键．
10．（2020·广西防城港市·八年级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，
BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【答案】
（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C
在△DBE和△ECF中 ，
∴△DBE≌△ECF
∴DE=EF
∴△DEF是等腰三角形．
（2）由（1）得△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠CEF，
又∵∠A=40° ，AB=AC，
∴∠B=∠C= (180°－40°）=70°，
∴ ∠BDE+∠BED=110°，
∴ ∠CEF+∠BED=110°，
∴∠DEF=70°．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和三角形内角和定理，准确找到并证明全等三角形是解题关键，有一
定的难度，属于中档题．
11．（2021·北京平谷区·八年级期末）如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AE=DE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）若∠B=60°，DE=2，求AD 的长．【答案】
解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，
∴∠CAD=∠EDA，
∴∠BAD=∠EDA，
∴DE∥AB
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=60°
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴DE=DC=EC=AE=2
在Rt△ADC中，AD= = ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，灵活运
用是解题的关键．12．（2020·江西省宜春实验中学八年级月考）如图， ， ， ，点 在线段
上．若 ， ．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）求 的度数．
【答案】
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在△ABD和△ACE中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AD=AE，
∴ 为等边三角形；
（2）∵ 为等边三角形，∴∠AEB=60°，
∵∠CAE=20°，∠2=40°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠2=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AEB=120°-60°=60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和等知识，证明 是解
题关键．
13．（2021·全国八年级）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC
的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）若CE＝1，求EF的长．
【答案】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴ ，
∵DE//AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ECD＝∠EDC＝60°，∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝1，
∵∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠ECD﹣∠F＝30°，
∴CE＝CF＝1，
∴DF＝2；
∴在Rt△DEF中，
EF ．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2020·苏州市吴江区铜罗中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC(不含端点B、C上
运动)，连接AD，作∠ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．
(1)当∠BDA=120°时，求∠DEC的度数；
(2)当CD=BA时，说明△ABD≌△DCE；
(3)在运动变化过程中，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形，若存在，请求出∠BDA的度数；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）∵∠B=40°，∠ADB=120°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-120°-40°=20°，∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=20°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=120°；
（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB=180°，∠DAB+∠B+∠ADB=180°，∠B=∠EDA=40°，
∴∠EDC=∠DAB．
∵∠B=∠C，DC=AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）存在，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA= （180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
综合上述可得：当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．【点睛】
考查了三角形综合题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是理
解和掌握等腰三角形的判定与性质．
15．（2021·辽宁大连市·八年级期末）如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE、BD、CD，∠BDC＝60°．
（1）①求证BD＝CE；
②求∠DCE的度数；
（2）如图2，点P是BC中点，连接DP，求 的值．
【答案】
（1）①∵△ADE和△ABC为等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中 ，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE；②∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB，
∴∠AEC+∠CED=60°，
∴∠ADB+∠CED=60°，
∵∠CBD=∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠CDE，
∴∠CDE+∠CED=60°，
∴∠DCE=120°；
（2）延长DP到K使PD=KP，连接CK作等边三角形DMC，连接AM，
在△DPB和△KPC中 ，
∴△DPB≌△KPC(SAS)，
∴CK∥BD，CK=BD，DK=2PD，
与①同理得△DAM≌△DEC，
∴CE=AM，由①得BD=CE，
∴AM=CK，∠AMD=∠ECD=120°，
∵CK∥BD，
∴∠DCK=120°，
在△KCD和△AMD中 ，
∴△KCD≌△AMD(SAS)，
∴AD=KD，
∴ ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
16．（2021·河北衡水市·八年级期末）在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的
延长线上，且ED＝EC．
（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，
请给予证明；（提示：过E作 交AC于点F）
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC， 的边长为1，AE＝2，请直接写
出CD的长．【答案】
解：（1）AE＝BD；
证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，
∴CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝30°．
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠ECB＝30°．
∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，
∴∠DEB＝30°，
∴∠D＝∠DEB，
∴BD＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BD；
（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；
证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；
（3）CD的长为3或1
如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，
∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，
∴∠CEF＝60°＋∠BEC．
∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．
又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD＝EF＝2，
∴CD＝BD－BC＝1，
如图3，同理可得CD＝3，
综上所述，CD的长为3或1
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的
知识并熟练应用是解题的关键．
