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专题 5.2 诱导公式及三角恒等变换
题型一 利用诱导公式进行化简与求值
题型二 利用互余互补关系进行求值
题型三 三角恒等变换的简单化简与求值
题型四 辅助角公式的应用
题型五 给角求值型
题型六 给值求值型
题型七 给值求角型
题型八 三角恒等式的证明
题型一 利用诱导公式进行化简与求值
例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.
【详解】 .
故选：B.
例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标
原点，始边为x的非负半轴，终边经过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；
（2）根据诱导公式化简求值.
【详解】（1）由题知角 终边经过点 ，则 ，
∴ ， ，
故 .
（2）由（1）知 ，
则 ，
故 .
练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】 .
故选：C.
练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知 ， ，且满足 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，结合 ，可得 ，
又因为 ， ，则 ，
所以 ，整理得 .
故选：B.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则
______．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出 ，从而得出 ，再利用诱导公
式，弦化切即可得结果.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ．
所以
．
故答案为：7.
练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角 的顶点与坐标
原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)-1【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得 的值；
（2）方法：1：由（1）知 ，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，
代入，即可求解；
方法2：利用三角函数的定义求得 ，结合诱导公式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点
，
由三角函数的定义，可得 .
（2）解：方法1：由（1）知 ，
则 .
方法2：由角 终边过点 ，可得 ，则 ， ，
所以 .
练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点 是角
终边上一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义得到 ，再根据诱导公式计算得到答案.
【详解】点 是角 终边上一点，故 ，
.
故选：D
题型二 利用互余互补关系进行求值
例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知 ，
则 ___________．【答案】 /
【分析】由 ，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】因为 ，
故答案为：
例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若 ，则
__________.
【答案】 /
【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】 .
故答案为： .
练习6．（2021·高三课时练习）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】∵ ，
则 ，
故选：B．
练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】通过 ，利用诱导公式变形计算.
【详解】 .
故选：A.
练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知 ， ，求 的
值；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）因为 ，所以 ，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角
公式可求出答案；
（2）由诱导公式可将所求表达式化简为 ，即可得出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 .
（2）
.
练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量 ，
，若 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】由 ，则 ，可求得 ，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，则 ，
所以 .
故选：B.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的
值为______.
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由 可得
，
故答案为：
题型三 三角恒等变换的简单化简与求值
例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.
【详解】对于A， ，A不符合；
对于B， ，B不符合；
对于C， ，C符合；
对于D， ，D不符合.
故选：C例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定 得到 ， ，展开计算得
到答案.
【详解】 ， ， ，
故 ，
.
故选：A
练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故选：B．
练习13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图，三个相同的正方形相接，则
__________.
【答案】 /
【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.
【详解】依题意， ，
所以 .
故答案为：
练习14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中） 的值为
____________.
【答案】2
【分析】由 变形求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以.
故答案为：2
15．（甘肃省顶级名校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题）
（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出结果.
【详解】
．
故选：B
题型四 辅助角公式的应用
例7．（2023·广西·校联考模拟预测） 的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.
【详解】 ，而 ，则 ，即有
，
所以 的值所在的范围是 .
故选：A
例8．（2023春·山东青岛·高三校考期中）函数 的最大值为
__________.
【答案】
【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为 ，可得最大值.
【详解】 ，其中 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
练习16．（2023春·广东深圳·高三深圳中学校考期中）函数 的最
小正周期和振幅分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简可得 ，结合最小正周期和振幅的概念即可
求解.
【详解】 ，
所以最小正周期为 ，振幅为1.
故选：A.
练习17．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数
的最小正周期是______．
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简 ，即可由周期公式
求解.
【详解】
所以最小正周期为 ，
故答案为：
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式和三角恒等变换化简 ，得到
，再对 进行配凑，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【详解】因为 ，
，
所以 ，
．
故选：A
练习19．（2023·北京·高三专题练习）若函数 的最大值为2，则
__________， 的一个对称中心为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式求出A，再由余弦型函数求出对称中心.
【详解】由 知， ，
解得 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
即函数 的对称中心为 ，
则满足条件的点如 ， 等都可以.
故答案为： ； （答案不唯一）
练习20．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数 .
(1)求 的周期和最大值；(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) ，最大值
(2)
【分析】（1）将 化为一般式，求周期与最大值；
（2）将 两边平方可求 的值.
【详解】（1） ，
周期 ，最大值 ，当 时取最大值.
（2）由 得 ，两边平方得：
，
.
题型五 给角求值型
例9．（2022春·高三课时练习）求 ________.
【答案】 /0.5
【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.
【详解】
故答案为： .
例10．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考阶段练习）（多选）下列各式中
值为 的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】BC
【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正
弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的
正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项， ；
对于B选项，
；
对于C选项， ，
；
对于D选项，因为 ，
所以， .
故选：BC.
练习21．（2022·全国·高一专题练习） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.
【详解】 .
故选：A
练习22．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若 ，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得 的值.【详解】由已知可得
.
故选：A.
练习23．（2022春·江苏淮安·高三淮阴中学校考阶段练习）（多选）下列式子成立的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；
【详解】解：对于A：
而 ，故A错误；
对于B： ，
所以 ，故B正确；
对于C： ，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：BD
练习24．（2023春·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）计算：
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
练习25．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考阶段练习）（多选）下列计算正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三
角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D.
【详解】 ，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为 ，
故 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD
题型六 给值求值型例11．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有 ，将条件代入求值
即可.
【详解】 .
故选：C
例12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校联考期中）已知 都是锐角，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定 的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得
和 的值，然后根据 ，并结合两角和的余弦公式，
得解；
（2）由 ，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为 与 都是锐角，
所以 ， ，
又 ，
所以 ， ，
所以 ， ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 ，解得： (负值舍去).
练习26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中学校考阶段练习）若
＝2，则tan ＝____________.
【答案】
【分析】根据弦切互化可得 ，由正切的二倍角公式可得 ，进而利用正
切的和角公式即可代入求值.
【详解】 ，解得
，
所以 ，故
故答案为：
练习27．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知 ，且 ，那
______.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求出 ，再利用诱导公式转化
，即可求解.【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
练习28．（2023春·四川成都·高三成都七中统考阶段练习）若
，则 （ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】A
【分析】解法一：将 与 展开并用和差公式化简得
，从而求得 值.
解法二：令 ，则 ，代入条件利用和差公式化简得 ，从而求
得 值.
【详解】解法一：由题得 ，
所以 ，
即 ，
即 ，显然 ，故 .
解法二：令 ，则 ，
所以 可化为 ，
即 ，
所以 ，即 ，所以 ，则 ， ，
所以 ， .
故选：A.
练习29．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考期中）若 ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出 ， .然后根据两角
差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以， .
又 ，所以 .
所以，
.
故选：C.
练习30．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若 ，
，则 （ ）
m=
1−ex
+lnx
x
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 的范围和 ，得到 和 的值，即可求出
的值【详解】由题意， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D.
题型七 给值求角型
例13．（2023春·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考阶段练习）已知 ，且
， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得 ，根据 ，
利用两角和的正弦公式可求得结果；
（2）根据同角三角函数关系式可求得 ，由 ，
结合两角差的余弦公式和 的范围可求得结果.
【详解】（1） ， ， ，
；
（2） ， ， ，，
， ， .
例14．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角差公式可得 ，根据齐次式问题运算求解；
（2）根据题意可得 ，根据两角和差公式分析运算即可.
【详解】（1）因为 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，则 ，
则 ，可得 ，
所以则 ，
又因为 ，则 ，
所以 .
练习31．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式
成立的 的值为_______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用通分，两角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化简，找出条件关系，求出满
足条件的一个角即可
【详解】因为
所以
所以
解得：
当 时，
所以使等式 成立的 的一个值为：故答案为： （答案不唯一）
练习32．（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知 ， ，
， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角度范围得到 ， ，计算 ，得
到答案.
【详解】 ， ， ，故 ，故 ；
， ， ， ，
故 ， ；
， ，故 .
故选：C
练习33．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 运算求解；
（2）先求出 ，再分析得到 ，即得解.【详解】（1）由题意可得： .
（2）由（1）可知： ，
则 ，
∵ ， ，则 ， ，
可得 ，
故
练习34．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知 ，
.
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；
（2）结合角的范围解一元二次方程得 ，然后根据两角和正切公式求出
，然后根据角的范围确定角的大小.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以
（2）因为 ，所以 或 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以因为 ， ，所以 ，所以 .
练习35．（2023春·江苏镇江·高三统考期中）已知 ， ，且
， ．
(1)求 ；
(2)求角 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）综合利用同角间的三角函数的关系，二倍角公式和两角和的余弦公式进行计
算；
（2）根据已知条件，利用两角和差和倍角三角函数公式依次求得 ， ，
的值。然后根据三角函数的单调性进一步缩小 的范围，从而得解.
【详解】（1）∵ ， ，∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2） ， ，
，
∵ ，∴ ，
由倍角公式得 ,由（1）得 ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴
∴ ,
∴ .
题型八 三角恒等式的证明
例15．证明下列恒等式.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）利用两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式，化简证得等式成立.
（2）利用两角和与差的正切公式，化简证得等式成立.
【详解】（1）左边 右边.
（2）左边 右边.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础
题.
例16．（2022·高一课时练习）证明下列恒等式.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）利用诱导公式和二倍角公式，证得等式成立.
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.（3）利用同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.
【详解】（1）左边 右边.
（2）左边 右边.
（3）左边 右边.
练习36．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】利用配方法和平方关系可证该恒等式.
【详解】左边
右边，
∴原等式成立．
练习37．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】由二倍角公式，可得左边 ，通分后即可证明左边等于右边.
【详解】证明：因 .
则 ，
.
故左边
右边.
练习38．（2023春·上海浦东新·高三校考阶段练习）求证：
(1) ；(2)在非直角三角形ABC中，
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证；
(2) 借助 得到 ，再利用和角正切公式展开整理即可得证.
【详解】（1）左边
=右边
故 .
（2）
又
故 .
练习39.证明下列各恒等式：
；
；
．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论；
（2）本题可通过积化和差公式以及诱导公式证得结论；
（3）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论.
(1)
，
故 成立.
(2)
，
故 成立.
(3)
，
故 .
练习40．证明：（1）求证： ；
（2）求证： ;【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）因式分解后应用二倍角公式变形可证；
（2）切化弦通分，由两角和的正弦公式，诱导公式变形可证．
【详解】证明：（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边．
