文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错03 等腰三角形共点问题易错
【典型例题】
1．（2021·山东德州市·八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，
C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在
的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线
CE与直线BC的位置关系．
【答案】
（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE∴BC=BD+CD=CE+CD
（2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：
又∵AB=AC，AD=AE
（3） ； ；理由如下：
补全图形如图3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，
∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，
∴ ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用及等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握：两边及
其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·广西柳州市·八年级期末）如图， 和 都是等边三角形，且 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所
学的知识，正确求出 ．
2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期末）如图， 是等边三角形，点 为 边上一点，以 为边
作等边 ，连接 ．若 ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证 是解题的关键．
3．（2021·四川资阳市·八年级期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．
下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【点睛】
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全
等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰
直角三角形CDE，∠DCE=90°，连结BE．若AD=5，DB=12，则DE的长为_________．
【答案】13
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·苏州市吴江区铜罗中学八年级月考）如图，C是线段AB上的一点， 和 都是等边三角形，AE交
CD于M，BD交CE于N，交AE于 ，则① ；② ；③ ；④ ；
⑤ 是等边三角形．其中，正确的有 .【答案】①②④⑤
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题
的关键．
6．（2021·河南新乡市·八年级期末）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（ 不与
、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ，在点 从 向 运动过程中，如果
是等腰三角形，则 的度数是____________
【答案】110°或80°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．
三、解答题
7．（2021·山东烟台市·七年级期末）已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由
（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长【答案】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD；
（2）如图，
由（1）可知：△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，
即52＋122＝ED2
∴DE＝13；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是本题的关键．
8．（2021·广东阳江市·八年级期末）如图， 均为等边三角形，连接 ，连接并延长 交 于点 ．（1）求证： ;
（2）连接 ，求证 平分 .
【答案】
(1)∵△ABC,△AEF是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF≌△BAE;
(2)过点A分别作AH⊥CD于点H,AG⊥BE,交BE的延长线于点G,
由（1）知，△CAF≌△BAE，
∴CF=BE， ,∴ ，
∴AH=AG，
∴DA平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆
定理是解题的关键.
9．（2021·广东东莞市·八年级期末）如图， ， ， ， ，垂足
为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积；
（3）求 的度数．
【答案】
（1）证明： ，
， ，
，
在 和 中，，
．
解:（2） ，
，
，
，
．
（3） ， ，
，
，
，
，
，
．【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形
的性质解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020·吉林吉林市·八年级期末）（1）如图①， 和 都是等边三角形，且点 ， ， 在一条直线
上，连结 和 ，直线 ， 相交于点 ．则线段 与 的数量关系为_____________． 与 相交
构成的锐角的度数为___________．
（2）如图②，点 ， ， 不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立．
（3）应用：如图③，点 ， ， 不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有 ．设直线 交
于点 ，请把图形补全．若 ，则 ___________．
【答案】
（1）相等； .理由如下：
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
又∵ ，
∴ .
（2）成立；理由如下：
证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
，∴ ．
∴ ， ．
又∵ ，
∴ .
（3）补全图形（如图）,
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∵∠AEC=30°，
∴∠AEC=∠AED，
∴EQ⊥DQ，
∴∠DQP=90°，
根据（1）知，∠BDC=∠AEC=30°，
∵PQ=2，
∴DP=4.
故答案为：4.
【点睛】
本题是一道猜想证明题，以两线段之间的大小关系为基础，考查了等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的性质，证明两个手拉手模型三角形全等是解题的关键.
11．（2021·湖北武汉市·八年级期末）已知 中， ，以 和 为边向外作等边 和等边
．
（1）连接 、 ，如图 ，求证： ；
（2）若 为 中点，连接 ，如图 ，求证： ；
（3）若 ，延长 交 于 ， ，如图 ，则 ．（直接写出结果）
【答案】
（1）证明：∵等边 和等边 ．
AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
∴∠ABE=∠DBC，
，
；（2）延长 使 ，连接 ，
∵ 为 中点，
∴CN=DN，
又∠AND=∠FNC，
，
， ，
∵ ，∠DAB=60°，
∴∠DAC=120°，
∴ ，
，
∵AC=CA，
，
；（3）过E作EG⊥BE，交AM延长线于G，
∴ ， ， ，
∴AC=2 ，
由勾股定理得：BC= ，
∴∠EBM=180°-∠ABC-∠CBE=30°，
∴∠G=180°-∠GBE-∠BEG=60°=∠CAB，
∵BC=EB，
∴△CAB≌△BGE（AAS），
∴GE=AB= ，
∴BG=2GE=2 ，
∵∠DAM=60°=∠G，
又∵∠AMD=∠GME，
∴△AD≌△GME（AAS），
∴AM=GM，
∴GM=AB+BM，∴BG=BM+GM=2BM+AB=2 ，
∴2BM+ =2 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角
形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．
12．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图，已知 和 是等边三角形，点 在直线 上，连 ，过点
作 于点 ．（1）如图1，当点 在线段 上时：
①求 的度数：
②猜想线段 ， ， 的数量关系，并加以证明：
（2）如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为
，请直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】
（1）①∵ 和 是等边三角形，
∴BC=AC，EC=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∆BCE≅∆ACD，
∴ =∠B=60°；
② - =2 ，理由如下：
∵ 于点 ，
∴∠AFC=90°，
又∵∠CAD=60°，
∴在∆AFC中，∠ACF=30°，设AC=a，则AF= ，FC= ，
∵∆BCE≅∆ACD，AB=AC=a，
∴AD=BE，即： +FD=a-AE，
∴ =FD+AE，即： =FD+AE，化简得： - =2 ；
（2）过点C作CN⊥AB于点N，过点F作FM⊥AE于点M，
∵ 和 是等边三角形，
∴BC=AC=AB，EC=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∆BCE≅∆ACD（SAS），
∴∠EBC=∠DAC=60°，BE=AD，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠DAE=180°-60°-60°=60°，
∵CN⊥AB，CF⊥AD，
∴CN=CF，
又∵AC=AC，∴Rt∆ANC≅ Rt∆AFC（HL），
∴AN=AF，
在Rt∆AFM中，∠FAM=60°，
∴MF= AF，
在Rt∆AFC中，∠CAD=60°，
∴AF= FC，
∴MF= FC= NC，
又∵BE=AD，BE-AE=AB=2AN，AD-FD=AF=AN，
∴BE-AE=2(AD-FD)，
∴BE-AE=2(BE-FD)，
∴BE=2FD-AE，
∴ BE·NC= (2FD-AE) ·NC=2( FD ·NC)- AE·NC，
∴ BE·NC=2( FD ·FC)- AE·2MF，
∴S =2S -2S ，
∆BCE ∆FCD ∆AEF
∴m=2y-2x．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造直角三角形，是解
题的关键．13．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 、 重合），以
为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图，当点 在线段 上，如果 ，则 ______度．
（2）设 ， ．
①如图，当点 在线段 上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点 在线段 的反向延长线上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】
（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）① ．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点 在射线 的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
在△ABD与△ACE中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明
△ABD≌△ACE是解本题的关键．
14．（2020·浙江金华市·八年级期末） 和 都是等腰直角三角形， ．（1）如图1，点 ， 在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）
（2）如图2，点 在 内部，点 在 外部．连结 ， ，则 ， 满足怎样的数量关系和位置
关系？请说明理由；
（3）如图3，点 ， 都在 外部，连结 ， ， ， ， 与 相交于 点．
①若 ，求四边形 的面积；
②若 ， ，设 ， ，求 与 之间的函数关系式．
【答案】
(1)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即：BD=CE，
∵BD、CE相交于点A，∠BAC=90°，
∴BD⊥CE；
(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC， ∠CAE=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
延长BD，分别交AC，CE于F，G，BD=CE，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AFB=∠GFC，
∴∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE；
（3）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE= ，∠ABD=∠ACE
∵∠1=∠2
∴∠BHC=∠BAC=90°
∴S =S +S = = = ，
四边形BCDE △BCE △DCE
②∵∠BHC=90°，
∴CD2+EB2=CH2+HD2+EH2+HB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2=2AB2+2AD2=26，即：x+y=26，
∴y=26-x．
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线，注意对角线
互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半．
