文档内容
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
思维导图
知识点总结
1.平面向量的基本定理
条件 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量
1 2
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋
结论 1 2 1 1
λ e
2 2
基底 两个不共线的向量e ，e 叫作这个平面的一组基底
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，称为向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝ ( x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4.向量平行的坐标表示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )(a≠0)，则a∥b x y － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
[常用结论]
⇔
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论
起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
典型例题分析
考向一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则
CB＝( )
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，
所以AB＝3AD，
所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为
M，又CM＝tCP，则t的值为________.
答案
解析 如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴CM＝xCQ＋(1－x)CA＝CB＋(1－x)CA，
又∵CP＝CA＋CB，CM＝tCP，
∴解得t＝.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结
论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同
的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
考向二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则
CO的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点
O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝.
(2)(2023·北京人大附中统练)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，
b}表示c，则( )
A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
答案 D
解析 如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，
所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则解得
所以c＝3a－2b.故选D.
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段
两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
考向三 平面向量平行的坐标表示
角度1 利用向量平行求参数
例3 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于( )
A.－2 B.－1
C.－ D.
答案 A
解析 ∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
∴2a＋b＝(4，2)，
又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，
∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故选A.
(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且 A，B，C 三点共线，则 k＝
________.
答案 －
解析 由题意，得AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
AC＝OC－OA＝(－2k，－2).
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
角度2 利用向量平行求向量或点的坐标
例4 在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于
点M，则点M的坐标为________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案
解析 因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，
所以点C，同理点D.
设M的坐标为(x，y)，
则AM＝(x，y－5)，而AD＝.
因为A，M，D三点共线，
所以AM与AD共线，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.
而CM＝，CB＝＝，
因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线，
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.
由得
所以点M的坐标为.
感悟提升 1.两平面向量平行的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零
时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
基础题型训练
一、单选题
1．若 则 等于（ ）
A． B．
C． D． ＋
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将 改为起点为 的向量后再转化可求解.
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：D
2．若向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标 ，利用向量的模长公式可求得结果.
【详解】向量 ， ，则 ，因此， .
故选：C.
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据 求得 ，由此求得 ，进而求得 .
【详解】由题意可得 ，解得 ，所以 ，因此
．
故选：D
4．已知向量 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出 ，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，则 是 的充分不必要条件；
故选：A
5．已知向 ， ，若 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】应用向量线性运算的坐标表示 ，再由向量垂直的坐标表示有 ，即可求 值.
【详解】由题设， ，
与 垂直，则 ，可得 .
故选：A
6．已知点 不共线， 为实数， ，则“ ”是“点 在 内（不含
边界）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若 ，且 ，可知 三点共线，
若 ，点 在 内部（不含边界），则 ；
反之不成立，例如 时，此时 在 外部，
所以“ ”是“点 在 内（不含边界）”的必要不充分条件，
故选：B.
二、多选题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 与 反向 D． 可作一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量共线、向量运算、基底等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】由于 ，所以 ， 不能作一组基底，所以A正确，D错误.
，B正确，
，所以 与 反向，C正确.
故选：ABC
8．已知向量 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D．
【答案】BD
【分析】首先求出 ， ，再根据向量数量积、模及夹角的坐标表示一一计算可得；
【详解】解：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，故A错误；
，所以 ，故B正确；
， 所以 ，因为 ，所以 ，故D正确；
又 ，故 在 上的投影向量为 ，故C错误；
故选：BD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．设向量 ， ，若 ，则 ________．
【答案】1
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 的值.
【详解】由于 ，
所以 .
故答案为：
10．假设 ， ，若 ，则 ________________.
【答案】 或
【分析】设出 ，利用 与 列出式子求解即可得出答案.
【详解】设 ，
，
，即 ，
又 且 ，
，即 ，
代入 ，解得： 或 ，
则当 时， ，
当 时， ，
或 .
故答案为： 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11． 中， ，若 ，则 ___________．
【答案】
【分析】由平面向量的三点共线定理求得x、y的值，代入计算即可.
【详解】 ，
，
即 ．
.
故答案为： .
12．已知点 ， ，向量 ，则 __________．
【答案】
【详解】设 ， 点 ，向量 ，
，解得 ， ， ，故答案为 .
四、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形， ， .
(1)则 等于多少？
(2)求 的模？
【答案】(1)5；
(2) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据向量加法法则得出 ，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；
（2）根据向量减法法则得出 ，结合平面向量模的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
则 ，
（2）因为 ，
所以 ，
即 的模为 .
14．已知 三个顶点的坐标分别为 .
(1)若 是 边上的高,求向量 的坐标;
(2)若点E在x轴上,使 为钝角三角形,且 为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】（1）设 ，求出向量 ， ， 的坐标，再由向量垂直和共线的条件，得到方程，解
得即可；
（2）设 ，求得向量 ， 的坐标，由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，
计算即可得到范围．
【详解】解：（1）设 ,则 , ,
由题意知 ,则 ,又 ,
则有 ,即 ,①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ,得 ,
即 ,②
联立①②解得 .则 .
（2）设 ,则 ,
由 为钝角,得 ,解得 ,
由 与 不能共线,得 ,解得 .
故点E的横坐标的取值范围是 .
【点睛】本题考查向量垂直和共线的坐标表示，考查向量的夹角为钝角的等价条件，属于中档题和易错题．
15．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， .
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求四边形 的面积.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）设 ，根据题中条件，得到 ， ，再由向量的坐
标表示，根据 ，即可求出点 的坐标；
（2）先用向量的方法，证明四边形 为等腰梯形；连接 ，延长 交 轴于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得到 ， 均为等边三角形，进而可求出四边形面积.
【详解】（1）在平面直角坐标系 中， ，所以 ，
又 ，设 ，
则 ， ，
所以点 ；
又 ，所以 ，
即点 ；
（2）由（1）可得， ， ，
所以 ，即 ；
又 ，
所以四边形 为等腰梯形；
连接 ，延长 交 轴于点 ，则 ， 均为等边三角形.
.
【点睛】本题主要考查由向量的坐标求点的坐标，以及求四边形的面积，熟记平面向量的线性运算，以及
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】向量模的坐标表示即可，属于常考题型.
16．已知向量 .
(1)若 ，求m，n的值：
(2)若向量 满足 ，求 的坐标.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示可得 ，即可求m、n.
（2）设 ，由向量垂直的坐标表示及模长的坐标运算列方程组求出x、y即可.
【详解】（1）由题设， ，解得 .
（2）若 ，则 ，而 ，又 ，
所以 ，且 ，
可得 或 ，故 或 .
所以 的坐标为 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．已知 =(4，5)， =(－3，4)，则 －4 的坐标是（ ）
A．(16，11) B．(－16，－11) C．(－16，11) D．(16，－11)
【答案】D
【分析】直接利用向量的坐标运算求解.
【详解】 －4 .
故选：D
2．已知 ， 为平面向量，且 ， ，则 ， 夹角的余弦值等于（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】C
【分析】先根据向量减法得 ，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.
【详解】∵ ，∴ ．
又 ，∴ ，
∴ ．
又 ， ，
∴ ．
故选：C.
3．正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则 的取值范围为
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，写出 坐标，设 ，
用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
【详解】以 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ， ，
圆方程为 ， 在圆上，设 ，
， ，
，
，所以 ．
故选：B．
4．在平面四边形 中， ， ， .若E、F为边BD上的动点，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由 可知平面四边形 是平行四边形，由 可知四边形 是菱
形且边长为 ，由 可知 ，即可求出相关的角度和长度，把 分解为向量之和，
用数量积公式化简为 即可得到最大值，再由基本不等式即可得到最小值.
【详解】如图，设 交于 .不妨设 点到 点的距离大于 点到 点的距离.
由 可知 且 ，所以平面四边形 是平行四边形.
设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以平面四边形 是菱形.
又因为 ，即 ,
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 . ，
因为 ，所以 .
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 点在 处或 点在 处时， 有最大值 ，
因为 ，
当且仅当 时等号成立，所以 有最小值 .
所以 的取值范围为 .
故选：A
5．把点 按向量 平移到点 ，则函数 的图像按向量 平移后的图象的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据坐标平移的性质和平面向量坐标加减法运算，解得 的坐标，再根据函数图象平移的方法，
可得 的图像按向量 平移后的图象的函数表达式．
【详解】解：由题可知，把点 按向量 平移到点 ，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 的图象按向量 平移后的图象的函数表达式为 .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量坐标的加减法运算，以及函数图象的平移方法，属于基础题．
6．在 中， ， ， ，M是 外接圆上一动点，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为 ，
由 ，
可得利用正弦函数的图像及性质即得解.
【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设M的坐标为 ，过点B作 轴
又
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，
故选：C
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，
考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
二、多选题
7．设 、 、 是平面上任意三点，定义向量的运算： ，其中向量 由向量
以点 为旋转中心顺时针旋转 得到（若 为零向量，规定 也是零向量）.对平面向量 、 、 ，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意 ，
C．若 、 为不共线向量，满足 ，则 ，
D．
【答案】BD
【分析】设 ， ，计算得出 ，然后利用平面向量数量积的坐标运算逐
项检验可得出结果.
【详解】对于A选项，设 ， ，
则 ，同理 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，故 ，A错；
对于B选项， ，
则
，B对；
对于C选项，设 ，因为 与 不共线，则 ，
因为 ，即 ，即 ，
解得 ， ，C错；
对于D选项， ，
，
，
因为
，
，
故 ，D对.
故选：BD.
8．已知 的重心为 ，点 是边 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．若 ，则 的面积是 面积的
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则当 取得最小值时，
【答案】ACD
【分析】由三角形重心性质可判断A;由 变为 ，
结合向量的线性运算可推出 ，由此可判断B;求出 ，
根据数量积的运算求得 ，判断C;求出 的表达式，
确定当 时， 取得最小值，由此计算 ，判断D.
【详解】设 的中点为 ，则 ，由重心性质可知 ，
则 ， 故A正确；
由 ，得 ，则 ，
即 ，所以 为边 上靠近点 的三等分点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 的面积是 面积的 ，故B错误；
在 中，由余弦定理得 ，
则 ，故C正确；
由余弦定理得 ，
所以
，
则当 时， 取得最小值 ，
此时 ， ，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．已知向量 ， 则 ______ ．
【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ．
故答案为： ．
10．向量 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】利用向量垂直、平行以及加法运算、模长公式的坐标形式进行求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为 ，且 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以
所以 ， .
故答案为： .
11．已知平面向量 ，其中是 是单位向量且夹角为 ，向量 满足 ，则
的最大值与最小值之差为__________.
【答案】
【分析】设 ，由 ，得 ，由 得
，令 与 联立，利用判别式可得答案.
【详解】根据题意不妨设 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
由 得 ，令 ，
联立 得 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
12．已知 ， ，则 的范围是________.
【答案】
【分析】设 ， ．对 ， 两边平方，可得 ，再利用向基本不等式的
性质即可得出．
【详解】设 ， ， .
， ，
，
，
，
则 ，
的范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： ，
（2）基本不等式及其有关变形： 当且仅当 时取等号.
四、解答题
13．在下列各小题中，已知向量 ， 的坐标，分别求 的坐标：
（1） ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
【答案】（1） ； ．（2） ； ．（3） ； ．（4） ； ．
【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得.
【详解】解：
（1） ；
．
（2） ； ．
（3） ； ．
（4） ； ．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
14．已知点 、 、 及 ， 为何值时，点 在 轴上？点 在 轴上？点
在第二象限？
【答案】答案见解析
【解析】求出向量 的坐标，可得出点 的坐标，根据点 的位置，可得出关于实数 的等式或不等式
（组），进而可求得对应的实数 的取值或取值范围.
【详解】因为 .
若点 在 轴上，则 ，所以 ；
若点 在 轴上，则 ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若点 在第二象限，则 ，解得 .
15．已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 ．
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 ，且 与 的夹角为 ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2)0
【分析】（1）设 ，由向量模的坐标表示可求得 ，从而得向量 的坐标；
（2）由数量积定义求得 ，再由数量积的运算律计算．
(1)
由 ，可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
(2)
∵ 与 的夹角为 ，
∴ ，
∴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．已知向量 ， ．设函数 ， ．
(1)求函数 的解析式及其单调增区间；
(2)设 ，若方程 在 上有两个不同的解 ，求实数 的取值范围，并
求 的值.
(3)若将 的图像上的所有点向左平移 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数 的图像．当 （其中 ）时，记函数 的最大值与
最小值分别为 与 ，设 ，求函数 的解析式.
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据向量的数量积公式化简得出 ，再求其单调增区间即可；
（2）当 时，方程 有两个不同的解x，x ，结合函数 图象得出实数 的取值范围
1 2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）根据图象变化得出函数 ，在给定区间上求出函数 的最大值与最小值，得到函数
即可.
【详解】（1）由题意可知
， .
由 ，可得 ，
∴函数 的单调增区间为 ；
（2）∵ ，
∵ ， ，得 ， ，
∴ 在区间 ( )上单调递增，
同理可求得 在区间 ( )上单调递减，
且 的图象关于直线 ， 对称，
方程 即 ，
∴当 时，方程 有两个不同的解x，x ，
1 2.
由 单调性知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 时，方程 有两个不同的解x，x ，
1 2.
∴ ，实数 的取值范围是 .
又∵ 的图象关于直线 对称，∴ ，即 ，
∴ .
（3）将 的图像上的所有的点向左平移 个单位，
可得函数 ，
再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数 ，
∴ ，
∵ ∴
①若 ， ， ，
此时 ；
②若 ， ， ，
此时 ；
③若 ， ， ，
此时 ；
④若 ， ， ，
此时 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴综上
【点睛】方法点睛：
直线与三角函数在给定区间的交点问题，先求出函数在该区间的单调性，得出函数 的图象，数形结合
讨论直线与 的交点个数.根据具体的交点个数得出相应的参数范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
