§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
我们把不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，
1 1 2 2 1 2 1 2
a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，
1 2 1 2 1 1
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直
线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λa＋μb＝λa＋μb，则λ＝λ，μ＝μ.( √ )
1 1 2 2 1 2 1 2(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.AB＝3AC B.DA＝－2CD
C.AC＋BD＝0 D.BC＝AD
答案 ABC
3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
4.如图，OA，OB不共线，且AP＝tAB(t∈R)，用OA，OB表示OP＝__________________.
答案 (1－t)OA＋tOB
解析 ∵AP＝tAB，
∴OP＝OA＋AP
＝OA＋tAB
＝OA＋t(OB－OA)
＝OA＋tOB－tOA
＝(1－t)OA＋tOB.
题组三 易错自纠
5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行
四边形所在平面的一个基底的是( )
A.AD，AB B.DA，BC
C.CA，DC D.OD，OB
答案 AC
解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，
对于A，AD与AB不共线，可作为基底；
对于B，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于C，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；
对于D，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 BD
解析 设b＝，依题意有
解得或
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝a，
AC＝b，则DE等于( )
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
答案 C
解析 DE＝DC＋CE
＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC
＝－AB－AC＝－a－b.
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
解析 由题图可设CG＝xCE(0<x<1)，
则CG＝x(CB＋BE)＝x＝CD＋xCB.
因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，
所以λ＝，μ＝x，所以＝.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向
量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是
不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
跟踪训练1 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，
DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
解 (1)由题意知，A是BC的中点，
且OD＝OB，由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA，
所以OC＝2OA－OB＝2a－b，
DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，EC∥DC，故设EC＝xDC.
因为EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
DC＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，
所以由平面向量基本定理，
得解得故λ＝.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN
＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
方法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又∵a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴
(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
1．本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？
解 设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，
则OP＝(OA＋OB)，
即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝，
∴线段AB中点的坐标为.
2．本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？
解 设AB的中点为P，O为坐标原点，
∵CG＝CP，
∴OG＝OC＋OP＝OC＋(OA＋OB)，
∴OG＝(OA＋OB＋OC)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝，
∴重心G的坐标为.
思维升华 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向
线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
跟踪训练2 (1)已知O为坐标原点，点 C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|BC|＝2|
AC|，则向量OB的坐标是________．
答案 (4,7)
解析 由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，
得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，
即解得所以向量OB的坐标是(4,7)．(2)如图所示，以e，e 为基底，则a＝________.
1 2
答案 －2e＋e
1 2
解析 以e 的起点为坐标原点，e 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 e ＝(1,0)，e
1 1 1 2
＝(－1,1)，a＝(－3,1)，令a＝xe＋ye，即(－3,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，
1 2
则所以即a＝－2e＋e.
1 2
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2020·惠州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为
________．
答案 －2
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x,2)，
又∵a－b与b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，
∴x＝－2.
(2)(2018·全国Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝
________.
答案
解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，
因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，
所以4λ－2＝0，即λ＝.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点
M，则点M的坐标为________．
答案
解析 因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
所以点C，同理点D.
设M的坐标为(x，y)，
则AM＝(x，y－5)，而AD＝，
因为A，M，D三点共线，所以AM与AD共线，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，
而CM＝，CB＝＝，
因为C，M，B三点共线，所以CM与CB共线，
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20，
由得
所以点M的坐标为.
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a∥b
1 1 2 2
的充要条件是xy＝xy”．
1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (2020·山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝
(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
课时精练
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(1,1) D．(－1，－1)答案 D
解析 因为A(2,2)，B(1,1)，所以AB＝(－1，－1)．故选D.
2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1,2)
1 2
B．e＝(－1,2)，e＝(5，－2)
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(2，－3)，e＝(－2,3)
1 2
答案 B
解析 对于A，C，D都有e∥e，所以只有B成立．
1 2
3．(2020·太原模拟)设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值
为( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
答案 A
解析 向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m
＝1.当m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2,2)，
b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意，故选A.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC＝，且|
OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于( )
A．2 B. C．2 D．4
答案 A
解析 因为|OC|＝2，∠AOC＝，C为第一象限内一点，
所以C(，)，
又OC＝λOA＋μOB，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
5．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能
构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B. C．1 D．－1
答案 ABD
解析 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设
A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构
成三角形，故选ABD.
6．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，
∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．
故选AB.
7．(2021·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝
________.
答案 －6
解析 a＋2b＝(－3,3＋2k)，
3a－b＝(5,9－k)，
由题意可得，－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
8．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
答案 (6，－8)
解析 不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，
则|b|＝＝10，
解得m＝－2(m＝2舍去)，
故b＝(6，－8)．
9．已知 O 为坐标原点，向量OA＝(1,2)，OB＝(－2，－1)，若 2AP＝AB，则|OP|＝________.
答案
解析 设P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1,2)＝(－3，－3)，AP＝(x－1，y
－2)，
则由2AP＝AB得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故|OP|＝＝.
10．(2021·荆门检测)在△AOB中，AC＝AB，D为OB的中点，若DC＝λOA＋μOB，则λμ
的值为________．
答案 －
解析 因为AC＝AB，所以AC＝(OB－OA)，
因为D为OB的中点，所以OD＝OB.
所以DC＝DO＋OC＝－OB＋(OA＋AC)
＝－OB＋OA＋(OB－OA)
＝OA－OB，所以λ＝，μ＝－，
则λμ的值为－.
11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一 ∵A，B，C三点共线，∴AB＝λBC，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
方法二 AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
12.如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的
夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解 方法一 如图，作平行四边形OBCA ，
1 1
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，
所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，
C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
得解得
所以λ＋μ＝6.
13．(2020·河北衡水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是
△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则等于( )
A. B. C．3 D．2
答案 A
解析 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
14.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC
的平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案 C
解析 设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以AD＝AB＋AO＝a＋b.
故选C.
15．若α，β是平面内一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β
下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在基底m
＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为______．
答案 (0,2)
解析 因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
16．如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线分别交AB，AC所在直线于点E，F，且满足AE＝xAB，AF＝yAC，求＋的
值，并说明理由．
解 (1)根据角平分线定理可得＝＝2，
所以＝，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
所以AD2＝AB2＋AB·AC＋AC2
＝－＋＝，
所以AD＝.
(2)因为AE＝xAB，AF＝yAC，
所以AD＝AB＋AC＝AE＋AF，
因为E，D，F三点共线，
所以＋＝1，所以＋＝3.
