文档内容
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
我们把不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，
1 1 2 2 1 2 1 2
a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，
1 2 1 2 1 1
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直
线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λa＋μb＝λa＋μb，则λ＝λ，μ＝μ.( √ )
1 1 2 2 1 2 1 2(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.AB＝3AC B.DA＝－2CD
C.AC＋BD＝0 D.BC＝AD
答案 ABC
3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
4.如图，OA，OB不共线，且AP＝tAB(t∈R)，用OA，OB表示OP＝__________________.
答案 (1－t)OA＋tOB
解析 ∵AP＝tAB，
∴OP＝OA＋AP
＝OA＋tAB
＝OA＋t(OB－OA)
＝OA＋tOB－tOA
＝(1－t)OA＋tOB.
题组三 易错自纠
5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行
四边形所在平面的一个基底的是( )
A.AD，AB B.DA，BC
C.CA，DC D.OD，OB
答案 AC
解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，
对于A，AD与AB不共线，可作为基底；
对于B，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于C，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；
对于D，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 BD
解析 设b＝，依题意有
解得或
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝a，
AC＝b，则DE等于( )
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
答案 C
解析 DE＝DC＋CE
＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC
＝－AB－AC＝－a－b.
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
解析 由题图可设CG＝xCE(0
