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10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）
一．向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
交换律： ＋ ＝ ＋
加法
结合律：( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋
)
减法
－ ＝ ＋(－ )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】|λ |＝|λ|| |
λ(μ )＝(λμ)
当λ>0时，λ 的方向与 的方向相同；
数乘
(λ＋μ) ＝λ ＋μ
当λ<0时，λ 的方向与 的方向相反；
λ( ＋ )＝λ ＋λ
当λ＝0时，λ ＝0
三．向量共线定理
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ＝λ
①向量共线定理中规定向量 ≠ ，因为如果 ＝ ，
当 ＝ 时， ＝λ ，λ可以是任意实数；
当 ≠ 时，b＝λ ，λ值不存在．
②当向量 ， 同向时，λ>0，当向量 ， 反向时，λ<0.
四．平面向量基本定理
条件
， 是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ，λ，使a＝λ ＋λ
1 2 1 2
基底
若 ， 不共线，把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
五．平面向量的坐标运算
1.设 ＝(x ，y )， ＝(x ，y )则 ＋ ＝(x ＋x ，y ＋y ) － ＝(x －x ，y －y )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
λ ＝(λx ，λy ) | |＝.
1 1
2，设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝(x －x ，y －y )
1 1 2 2 2 1 2 1
3．平面向量共线的坐标表示
（1）设 ＝(x ，y )， ＝(x ，y )，其中 ≠0，则 ∥ ⇔x y －x y ＝0
1 1 2 2 1 2 2 1
（2）已知P为线段AB的中点，若A(x ，y )，B(x ，y )，则P点坐标为
1 1 2 2
（3）已知△ABC的顶点A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，
1 1 2 2 3 3
则△ABC的重心G的坐标为
考点一 平面向量的概念辨析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）下列各命题中正确的命题是 ．
①所有的单位向量都相等；
②向量的模是一个正实数；
③ 中，必有 ：
④若 均为非零向量，则 与 一定相等；
⑤若 与 同向，且 ，则 ；
⑥由于 的方向不确定，故 不与任何非零向量平行；
⑦若 ，则存在唯一实数 ，使 成立；
⑧设 是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量 ，存在唯一实数对x，y，使得 ，
成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】⑨ 中，D，E，F分别是边 的中点，则 ；
【答案】③⑨
【解析】①单位向量都是模长为1的向量，但方向不一定相同，错；
②零向量的模为0，错
③ 中 ，对；
④若 均为非零向量，仅当 同向共线时 ，错；
⑤若 与 同向，且 ，由于向量没有大小之分，不存在 ，错；
⑥由于 的方向不确定，故 与任何非零向量平行，错；
⑦若 ，且 为非零向量时存在唯一实数 ，使 成立，错；
⑧设 是平面内两个已知向量，仅当 为不共线向量时，对平面内的任意向量 ，存在唯一实数对
x，y，使得 ，成立，错；
⑨ 中，D，E，F分别是边 的中点，则
，对；
故答案为：③⑨
【一隅三反】
1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若 ， 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D．若 ， ，则
【答案】A
【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为 与 都是单位向量，所以只有当 与 是相反向量，即 与 是反向共线时
才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【解析】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，
若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④在平行四边形 中， ．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，
由平行四边形的性质可知 ，显然④正确，故选：D
考点二 平面向量的线性运算及基本定理
【例2-1】（2023秋·广东·高三统考阶段练习）已知 的重心为 ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 分别是 的中点，
由于 是三角形 的重心，
所以 .
故选：B.
【例2-2】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在 中，点D在边BC所在直线上，
，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
， ，
，
又 ，所以 ．故选：B．
【一隅三反】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在 中， 是 的中点，
与 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中，设 ，由 ，可得 ，故
．
又 是 的中点， ，所以 ，所以 ．
由点 三点共线，可得 ，解得 ，
故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A．
2．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在平行四边形 中， ， ，
所以
，
若 ，则 ，则 ．
故选：D．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在 中，点 是 的中点，点 在 上，
且 ， ，则 .
【答案】
【解析】依题意 ，又点 在 上，且 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
即 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
考点三 平面向量的共线定理
【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是不共线向量，且 ， ，
，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ， 三点共线，故A正确，
因为 ， 是不共线向量，若存在实数 使得 ，则 ，
所以 ，显然方程无解，
所以不存在实数 使得 ，所以 ， ， 三点不共线，故B错误；
同理 ， ， 三点也不共线，故C错误；
又 ，
所以不存在实数 使得 ，故 ， ， 三点不共线，故D错误；
故选：A
【例3-2】（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）已知向量 为平面向量的一组基底，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，若 三点共线，则实数 应该满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 若 三点共线，
又
又 为平面向量的一组基底 故选：D.
【例3-3】（2022秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）已知向量 ， ，
，若 与 共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由向量 ， ， ，可得 ，
因为 与 共线，可得 ，解得 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）已知 ， ，
，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线
【答案】B
【解析】 ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
由平面向量共线定理可知， 与 为共线向量，
又 与 有公共点 ， ， ， 三点共线，
故选：B．
2．（2023·陕西榆林）在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A， ，所以 ， 共线，不能作为基底；
对于B， ，所以 ， 共线，不能作为基底；
对于C， ，所以 ， 共线，不能作为基底；
对于D， ，所以 ， 不共线，可以作为基底．
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项和， ， ，平面内三个不共线的向量
满足 ，若点 在同一条直线上，则
.
【答案】
【解析】 三点共线， ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ， 数列 为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
数列 是以 为周期的周期数列， .故答案为： .
考点四 平面向量的坐标运算
【例4-1】（2023秋·黑龙江牡丹江）（多选）已知向量 ，则（ ）
A． B．
C． 可以作为平面向量的一个基底 D．
【答案】BC
【解析】选项A， ，即 ，A错误；
选项B， ，B正确；
选项C， ，即 不共线，即 可以作为平面向量的一个基底，C正确；
选项D， ，由 ，即 与 不共线，D错误．
故选：BC
【例4-2】（2023春·江西宜春）（多选）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】对于A，若 ，则 解得 ，故A正确；
对于B，若 ，可得 ，即 ，解得 ，故B正确；
对于C，若 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则向量 在 上的投影向量为 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，所以 ，
但当 时， ，此时 同向，其夹角为 ，故D错误.
故选：AB.
【一隅三反】
1．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设 ， ，若 ，则 （ ）
A．5 B． C．20 D．25
【答案】A
【解析】 ， ，若 ，则有 ，解得 ，
则有 ，得 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．任意实数
【答案】B
【解析】 .由 ，得 ，
解得 .故选：B.
3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）已知向量 ， ，若 ∥ ，
，则 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，则 ，
若 ∥ ， ，可得 ，解得 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量 ， ，且 在 方向上的投影数量是
，则 .
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 在 方向上的投影数量是 ，
所以 ，即 ，显然 ，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为：
5．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知向量 ， ，若
，则 .
【答案】13
【解析】因为 ， ，则 ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：13
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