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10.2 平面向量的数量积（精练）
1．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）（多选）已知平面向量 ， ， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 在 上的投影为
B．若 ，则 ，
C．若 ， ，则
D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
2．（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）（多选）已知向量 ， ，其中 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为钝角，则
D．若 ，向量 在 方向上的投影为
3．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角的一个充
分条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）（多选）已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．向量 与向量 的夹角为
5．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）（多选）已知平面向量 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
6．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）（多选）已知向量
，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 与 夹角为锐角，则
C．若 ，则 在 方向上投影向量为 D．若
7．（2023·江苏常州·校考一模）已知平面向量 ，满足 ，则 在 方向上的投
影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A．1 B． C． D．－19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 （2，1）， （ ，3），则向量 在 方向上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，且 ，则向量
与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
11（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2023·新疆·统考三模）设向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 ， 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知空间向量 ， ， 满足 ， ，
， ，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）如图，在 中， 为 上一点，
且满足 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
15．（2023·江西九江·统考一模）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点 ， 为坐标原点，点 是圆 上的一
点，且圆 的半径为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18（2023秋·广东深圳·高三深圳市宝安第一外国语学校校考阶段练习）（多选）已知
， 若 ， 则与 共线的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·河南·统考三模）已知 ， ，若 ，则向量 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形 中， ， ，
， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
21．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知 ， ，且 在 方向上的投影与 在 方向上
的投影相等，则 ．
22．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则向量
在 方向上的投影为 ．
23．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条
直径，则 = .
24．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，P为线段AB上一点，则 ，若
， ， ，且 与 的夹角为 ，则 的值为 .
25．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值
是 ．1．（2023·全国·高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个
角均小于 时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角形有一内角大于或等于 时，
所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在 中，已知 ，
，且点M在AB线段上，且满足 ,若点P为 的费马点，则
（ ）
A．﹣1 B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）向量 ，若存在整数 使得方程
在 上有两个不同的实数根，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长 ，P，Q分
别是线段BC，CD上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利
用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 ，
，O为坐标原点，余弦相似度为向量 ， 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为
.已知 ， ， ，若P，Q的余弦距离为 ，
，则Q，R的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技
术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦
距离．设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ，
其中 （O为坐标原点）．已知 ， ，则 的最大值近似等
于（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ，
的距离分别为1，2.点 是直线 上一个动点，过点 作 ，交直线 于点 ， ，
则（ ）A． B． 面积的最小值是
C． D． 存在最小值
7．（2023秋·河北·高三校联考期末）（多选）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 （
且 ）交 与 、 两点，直线 、 分别与 的准线交于 、 两点，（ 为坐标原点），
下列选项错误的有（ ）
A． 且 ，
B． 且 ，
C． 且 ，
D． 且 ，
8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知向量 ， ， 满足 ， ，则
可能成立的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西鹰潭·统考一模）十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问
题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形
的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
:当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为
费马点.已知 分别是 三个内角 的对边，且 ，若点 为 的费马点，
则 .
10．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值为 ．11．（2023·河北衡水·校联考二模）已知平面向量 满足
，则以 为直径长的圆的面积的最大值为 .
12．（2023·上海松江·统考二模）已知点 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ．
若存在 ，使得 与 垂直，且 ，则 的最小值为
．
