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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 23 讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）
题型目录一览
①平面向量基本定理的应用
②平面向量的坐标运算
③向量共线的坐标表示
一、知识点梳理
一、平面向量基本定理和性质
（1）共线向量定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ， 为平面
内一点．
若A、B、C三点共线 存在唯一的实数 ，使得 存在唯一的实数 ，使得
存在唯一的实数 ，使得 存在 ，使得 ．
（3）中线向量定理
如图所示，在 中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确．
A
B C
D
二、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面向量
基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
叫做向量 的坐标，记作 ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点 ．
（3）设 ， ，则 ， ，即两个向量的和与差
的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若 ， ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐
为实数，则
标．
（4）设 ， ，则 = ，即一个向量的坐标等于该向量的有向线
段的终点的坐标减去始点坐标．
三、平面向量的直角坐标运算
①已知点 ， ，则 ，
②已知 ， ，则 ， ，
【常用结论】
①减法公式： ，常用于向量式的化简．
② 、 、 三点共线 ，这是直线的向量式方程．
③
二、题型分类精讲
题型 一 平面向量基本定理的应用
策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解
决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何
的一些性质定理．
【典例1】在平行四边形ABCD中， ， .
(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用 分别表示 ；
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 表示 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）均根据向量的线性运算直接表示即可；
【详解】（1）当E、F分别是BC，DC的中点时，
，
.
（2）∵O是AC与BD的交点，G是DO的中点，
所以 ,
.
【题型训练】
一、单选题1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在 中， ，E为AD
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.
【详解】因为 ，E为AD中点，
所以 .
故选：B.
2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设 ， ，F是DE的中点，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算，利用基底向量 表示 即可.
【详解】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，所以 .
即 .
故选：C.
3．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形 中，M为 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算的几何意义进行分解即可.
【详解】
.
故选：A.
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）在 ABC中，D为BC中点，M为AD中点， ，则
△
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据图象及其性质，即可得出 ， ，进而根据
，即可求出 的值，即可得出答案.【详解】
因为 是 的中点，所以 ， .
又因为 是 的中点，
所以， ，
又 ，所以 ， ，所以 ．
故选：A．
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在 中， 是 中线 的中点，过点 的直线
交边 于点M，交边 于点N，且 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】把向量 分解成 形式，再由 三点共线，则 即可求解.
【详解】因为 三点共线，所以 ，且 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，则 ，得 .
故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，
AE的延长线与CD交于点F，若 ＝a， ＝b，且 ＝λa＋μb，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，作 ＝ ，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.
二、多选题
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在 中，记 ， ，点 在直线 上，且 .若
，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【分析】分点内分与外分线段 讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当 点在线段 上时，如图，，
所以 ，
当 点在线段 的延长线上时，如图，
，
则 ，
故选：BC.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，若点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，设
， ， 交于一点 ，则下列结论中成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得 ，故A正确；
因为 是 的中点，所以 ，故B正确；
由题意知 是 的重心，
则 ，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
9．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在 中，若点 满足 ，设 ，
则 ______.
【答案】
【分析】根据向量的线性运算可用 表示 ，求出 的值后可求 的值.
【详解】
因为 ，故 ，整理得到： ，故 ，
而 ，故 为线段 靠近 的三等分点，故 不共线，
故 即
故答案为： .
10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在 中， ，点 是 的中点.若存在实数
使得 ，则 __________（请用数字作答）.
【答案】
【分析】利用基底表示出 ，结合条件可得 ，进而可求答案.
【详解】因为 是 的中点，所以
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
故答案为： .
11．（2023·福建漳州·统考三模）已知 ，点D满足 ，点E为线段CD上异于C，D的动点，
若 ，则 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】利用向量得加减法，利用 为基底，表示出 ，整理方程，结合二次函数得性质，可得答
案.
【详解】由题意设 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，由二次函数得性质得 ，
所以 得取值范围为 .故答案为： .
四、解答题
12．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）如图在 ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设
△
＝ ， ＝ .
(1)用 表示向量 ；
(2)若点F在AC上，且 ，求AF∶CF.
【答案】(1) .
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设 ＝λ (0＜λ＜1)，由向量线性运算用 表示出 ，再与已知比较求得 后即可得．【详解】（1）因为 ＝ － ＝ ，点D是AC的中点，
所以 ＝ ＝ ( )，
因为点E是BD的中点，
所以 ＝ ( ＋ )＝ ＋ ＝－ ＋ ( )＝ .
（2）设 ＝λ (0＜λ＜1)，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ，.
又 ＝ ，所以λ＝ ，
所以 ＝ ，所以AF∶CF＝4∶1.
题型二 平面向量的坐标运算
策略方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求
向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
【典例1】如图，平面上 ， ， 三点的坐标分别为 , , .
(1)写出向量 ， ， 的坐标；
(2)如果四边形 是平行四边形，求 的坐标.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；
（2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解.
【详解】（1）
（2）设 ，由 可得 ，所以 ，故
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，向量 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据图形得 坐标，即可得到答案
【详解】解：由图象可得 ，
所以 ，
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ， ，则顶点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行四边形可得 进而即得．
【详解】因为 ， ， ，由平行四边形可得 ，设 ，则 ，
所以 ，即 的坐标为 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则点 的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【答案】D
【分析】设 ，根据平面向量的坐标运算得出 ，再根据 ，列出方程组可求出
，从而得出点 的坐标.
【详解】解：设 ，则 ， ，
根据 ，得 ，
即 ，解得： ，
所以点 的坐标为 .
故选：D.
4．（2023·浙江·二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案.
【详解】由题意知 ， ，
故 ,
故选：B5．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由向量的坐标运算计算即可.
【详解】由题意，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点 ， ，则与 方向相反的单位向量是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，即得解.
【详解】解：由题意有 ，所以 ，
所以与 方向相反的单位向量是 .
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为1的扇形 的圆心角为 ，点C在弧 上，且
，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.
【详解】
如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，
， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， ，
，解得 ， ，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，向量的运算有两种
方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是平行四边形法则与三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答.
8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，设 ，向量
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量 ，再根据 ，将 用 表示，再根据平面向量的
模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解： ，
则 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， .
故选：D.
二、填空题
9．（2023·河北·高三学业考试）若 ，A点的坐标为 ，则B点的坐标为__________.
【答案】
【分析】向量 的坐标等于点 的坐标减去点 的坐标，从而求得结果.
【详解】设点 的坐标为 ，则 ，， ，解得 ， 点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题目．
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点M的坐标为______.
【答案】
【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入 中，计算结果.
【详解】解：由题意得 ，所以 .
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故点M的坐标为 .
故答案为：
11．（2023·贵州·统考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
__________.
【答案】
【分析】先求得 的坐标，再利用向量相等求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以
解得 ．故答案为：
三、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 , , ，且 ， ，求点
及向量 的坐标.
【答案】 .， ， .
【分析】先利用向量的坐标运算求出 ， ，再设 ，利用向量共线列方程组求得
，可得 ，同理可得 ，进而可求 的坐标.
【详解】因为 , , ，
所以 ， .
设 ，则 .
由 得 = ，即 .
解得 ，即 .
同理可得 .
所以 .
题型三 向量共线的坐标表示
策略方法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b
1 1 2 2的充要条件是x y ＝x y ”．
1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【典例1】已知 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ， ， 三点共线，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出 ， 的坐标，依题意 ，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
（2）因为 ， ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，所以 ，解得 ，
故 的值为 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量 ，若 ，则实数
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故选：B
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形 中， ，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知 ，代入求解即可.
【详解】在梯形 中， ，所以 ，
所以 .
故选：C
3．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量 ，若 与 共线，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先根据向量的坐标运算规则求出 ，再根据向量共线的运算规则求解.
【详解】 ， ；
故选：D.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量 ， ，
，若A，B，C三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则 ， ，
即 ，
则 ，解得 .
故选：C
5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若 ，由 得出 ，若 ，由平行向量的坐标公式得出 ，从而得出答案.
【详解】若 ，则 ，所以 ；
若 ，则 ，解得 ，得不出 ．
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中，点 满足
与 交于点 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一，根据向量共线可得 ，再得 ，又 ，再表示出 ，利
用向量相等解出 ，即可得解；法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出即可.
【详解】法一: 因为 在 上，故 ，所以存在唯一实数 ，使得 ，又 ，故
为 的中点，
所以 ，所以 ; 同理存在 ，使得 ，
又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选： C.
法二: 不妨设 为等腰直角三角形，其中 ，以 为原点， 所在 直线为 轴，
建立平面直角坐标系，如图，
，
则直线 的方程分别为 ，联立解得 ， 由 ，
得 ，解得 ，则 .
故选： C.
二、填空题
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则实数 ______.
【答案】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量 且 ，
所以 ,解得 ，
故答案为：
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 ，若 与 平行，则
实数 ______________．
【答案】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
因为 与 平行，所以 ，得 .
故答案为： .
9．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量 ， ，若 与 方向相反，则
______．
【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程即可求得答案.
【详解】由 ， 共线，则 ，得 ，即 ，
又 与 方向相反，故 ，
故答案为：
10．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
【答案】
【分析】先求出 ，再由平行向量的坐标表示即可得出答案.
【详解】由 可得： ，
又因为 ，由 可得： ，
解得： .
故答案为： .
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知向量 ， ，且 ，则 等于
______．
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标表示求得 ，再根据两角差的正切公式运算求解.
【详解】∵ ，则 ，则 ，可得 ，
∴ .
故答案为： .
三、解答题
12．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知.
（1）若 三点共线，求实数 的值；
（2）证明：对任意实数 ，恒有 成立.
【答案】(1)-3；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）由题意可得 ，结合三点共线的充分必要条件可得 .
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，则恒有 成立.
详解：（1） ，∵ 三点共线，
∴ ，∴ .
（2） ，
∴ ，∴恒有 成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
