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专题 28.4 解直角三角形的应用（五大题型总结）
【题型一：仰角俯角问题】
1．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图所示，
在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房AB，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房
楼顶A处测得C处的仰角为45°．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑
物CD的高为（ ）
A．24米 B．18米 C． 米 D． 米
(16+6❑√3) (18+6❑√3)
2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距20❑√3米的
1号楼和2号楼的地面正中间点B垂直起飞到点A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F
的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．
3．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于
明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，
某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=12m，
∠DCE=30° ，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45° ，在观景台
D处测得塔顶部B的仰角为27° ．（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（tan27°≈0.5，❑√3≈1.73，结果保留整数）
4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践：
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端
A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3
米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一
条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9
米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
（3）利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线
上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离CF，
DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．5．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄
像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为20°，摄像头高度
OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
（1）体育王老师的身高201cm，头部高度为25cm，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识
别？请计算说明．
（2）数学张老师身高165cm，头部高度为20cm，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离
的最小值是多少？请计算说明
（精确到0.1cm，参考数据sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【题型二：方位角问题】
6．（2024·山东济宁·一模）如图，一艘船由A港沿北偏东50°方向航行100km至C港，然后再沿北偏西
25°方向航行至B港，B港在A港北偏东20°方向，则A，B两港之间的距离为（ ）．A． B．
(50❑√3+50)km (50❑√3−50)km
C．50❑√3km D．50km
7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相
垂直的公路．甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得
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AC=840m,BC=500m，则点O到BC的距离为 m．（参考数据：sin73.7°≈ ， cos73.7°≈
26 25
24
，tan73.7°≈ ）
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8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小
红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方
向行走300m到达D处，再沿北偏西；30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程
相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6
，tan53°≈1.3，❑√3≈1.73）
9．（24-25九年级上·重庆开州·期中）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形
ABCD循环步道，如图，经勘测，点B在点A的正南方，点C在点A的正东方，点D在点A的东北方向，点
B在点C的南偏西60°方向，点D在点C的北偏西30°方向500米处．（参考数据：❑√2≈1.414，
❑√3≈1.732，❑√6≈2.449）（1）求AD的长度（结果精确到1米）；
（2）小西准备从点A跑步到点C去见小渝，小西决定选择一条较短线路，请计算说明小西应选择
A−B−C路线，还是A−D−C路线？
10．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域A处巡逻，B岛上的海军发现点A在点B的正西方
向，C岛上的海军发现点A在点C的南偏东30°的方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两
地相距120海里，如图所示．
（1）求此时点A到C岛的距离；
（2）AC上的D处有一只渔船发出求救信号，希望A处的巡航船沿AC方向在2个小时赶到D处进行救援，
若巡航船以每小时15海里／小时的速度能提前到达吗？已知在D岛测得点B在D的南偏东75°的方向上．
（不计水流速度，结果保留根号）【题型三：坡度坡比问题】
11．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为1:❑√3的滑雪道，滑雪道AC的长为150m，
则BC的长为（ ）
A．75m B．75❑√3m C．50❑√3m D．100❑√3m
12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，坡角α=30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当
太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米，则大树AB的高为 米．
13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之
一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了300米到达E处，紧接着又爬了坡角为45°的
山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：❑√2≈1.4，
❑√3≈1.7，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）14．（24-25九年级上·山东烟台·期中）图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车
底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，BC的坡度为1:❑√3，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂
AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米；参考数据：
sin10°=cos80°≈0.17，cos10°=sin80°≈0.98，sin20°=cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，
sin70°≈0.94）
15．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道
AB的坡比i=1:2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．
（1）请求出DE的长？
（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D
到AB的距离）．【题型四：综合性问题】
16．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处
的俯角为60°，若斜坡AB的坡度为1:❑√3，则斜坡AB的长为（ ）
A．15❑√3米 B．20❑√3米 C．25❑√3米 D．30❑√3米
17．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学
知识估测基区里的观景塔DE的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为1:3的斜坡AB从
A点走了2❑√5米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°；再
沿水平方向继续往前走到C处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为30°，测得BC之间的水平距离为10
米，则观景塔DE的高度约为 米．（结果保留根号）
18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点
C出发，沿坡度为i=1:❑√3的斜坡CD前进2❑√3米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角
为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
求旗杆AB的高度（精确到0.1）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
❑√3≈1.73．）19．（24-25九年级上·重庆·期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之
一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家
在点A处，表演场地C在小明家北偏东53°．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯AD到
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达点D，tan∠DAB= ，再沿DC到达C处，已知点C在点D的东北方向1600❑√2m处；路线②从A出
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发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：❑√2≈1.41
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，sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ )
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（1）求楼梯AD的长度；
（2）小明计划19:30出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是100m/min，如果选择路线②
则可以跑步，跑步的平均速度是200m/min，表演正式开始时间是20:00，小明能赶在表演前到达点C处
吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）．20．（24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某
地登山游玩，如图，他们同时从A地出发，到达终点C地集合，点C在点A的正北方向，小明先沿着坡度
为i=1:❑√3的斜坡前进600米后达到B地，再沿B地的北偏东45°的方向爬坡到C地，小华沿着A地北偏东
45°的方向的爬坡到D地，再沿D地的北偏西75°方向爬坡到C地．（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，
❑√6≈2.45）
（1）求点B到点C的距离：（结果保留根号）
（2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明
和小华谁先到达终点C处．【题型五：其它问题】
21．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，△ABC，△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB
与地面BE的夹角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A,F为视线与车窗底端的交
点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB=1.6m，则盲区中DE的长度是（参考
数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）（ ）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
22．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚
轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同
一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACP=50°；如图2，当拉杆伸出两节
(AM,MB)时，AC与地面夹角∠ACP=35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆
的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77,tan50°≈1.19,sin35°≈0.57,tan35°≈0.70）
23．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）一款安装在家门口的摄像头，该设备能检测到一定范围的户外
情况．如图，BF为水平地面，摄像头安装在门AB上的点A处，设置被检测人或物的高度．
DF=CE=1.7m，CD为监测范围，为了达到良好的效果，要求检测范围不低于2.9m．已知，
∠CAG=45°，∠DAG=72°，请计算摄像头的最低安装高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
24．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的
化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置
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图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm，BE= AB，试管倾斜角∠ABG为12°．（参考数据：
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sin12°≈0.21；cos12°≈0.98）．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度：
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点
C, D, N, F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度
（结果精确到0.1）．
25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆
组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直(∠BAC=90°)，AB=2.7
米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB=33°，支撑杆DE⊥BC，垂
足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE=66°，又测得CE=2.2米．（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：
sin33°≈0.54,sin66°≈0.91,cos33°≈0.84,cos66°≈0.40,tan33°≈0.65,tan66°≈2.25）
26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示
意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支
架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．（参考数据：❑√3≈1.73）
（1）当∠AOC=90°时，求点A离地的距离AM约为多少分米：（结果精确到0.1）
（2）当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E烧点F随之旋转至OB′上的点E′处，则
B′E′=______．
