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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 23 讲 平面向量基本定理和坐标表示（精讲）
题型目录一览
①平面向量基本定理的应用
②平面向量的坐标运算
③向量共线的坐标表示
一、知识点梳理
一、平面向量基本定理和性质
（1）共线向量定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ， 为平面
内一点．
若A、B、C三点共线 存在唯一的实数 ，使得 存在唯一的实数 ，使得
存在唯一的实数 ，使得 存在 ，使得 ．
（3）中线向量定理
如图所示，在 中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确．
A
B C
D
二、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面向量
基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
叫做向量 的坐标，记作 ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点 ．
（3）设 ， ，则 ， ，即两个向量的和与差
的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若 ， ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐
为实数，则
标．
（4）设 ， ，则 = ，即一个向量的坐标等于该向量的有向线
段的终点的坐标减去始点坐标．
三、平面向量的直角坐标运算
①已知点 ， ，则 ，
②已知 ， ，则 ， ，
【常用结论】
①减法公式： ，常用于向量式的化简．
② 、 、 三点共线 ，这是直线的向量式方程．
③
二、题型分类精讲
题型 一 平面向量基本定理的应用
策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解
决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何
的一些性质定理．
【典例1】在平行四边形ABCD中， ， .
(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用 分别表示 ；
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 表示 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在 中， ，E为AD
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设 ， ，F是DE的中点，
则 （ ）A． B． C． D．
3．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形 中，M为 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）在 ABC中，D为BC中点，M为AD中点， ，则
△
（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在 中， 是 中线 的中点，过点 的直线
交边 于点M，交边 于点N，且 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
6．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，
AE的延长线与CD交于点F，若 ＝a， ＝b，且 ＝λa＋μb，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在 中，记 ， ，点 在直线 上，且 .若，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，若点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，设
， ， 交于一点 ，则下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在 中，若点 满足 ，设 ，
则 ______.
10．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在 中， ，点 是 的中点.若存在实数
使得 ，则 __________（请用数字作答）.
11．（2023·福建漳州·统考三模）已知 ，点D满足 ，点E为线段CD上异于C，D的动点，
若 ，则 的取值范围是_________.
四、解答题
12．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）如图在 ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设
△
＝ ， ＝ .(1)用 表示向量 ；
(2)若点F在AC上，且 ，求AF∶CF.
题型二 平面向量的坐标运算
策略方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求
向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
【典例1】如图，平面上 ， ， 三点的坐标分别为 , , .
(1)写出向量 ， ， 的坐标；
(2)如果四边形 是平行四边形，求 的坐标.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，向量 的坐标是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ， ，则顶点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则点 的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
4．（2023·浙江·二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点 ， ，则与 方向相反的单位向量是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为1的扇形 的圆心角为 ，点C在弧 上，且
，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，设 ，向量
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
9．（2023·河北·高三学业考试）若 ，A点的坐标为 ，则B点的坐标为__________.
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点M的坐标为______.
11．（2023·贵州·统考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
__________.
三、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 , , ，且 ， ，求点
及向量 的坐标.
题型三 向量共线的坐标表示
策略方法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b
1 1 2 2
的充要条件是x y ＝x y ”．
1 2 2 1(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【典例1】已知 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ， ， 三点共线，求 的值．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量 ，若 ，则实数
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形 中， ，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量 ，若 与 共线，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量 ， ，
，若A，B，C三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中，点 满足
与 交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则实数 ______.
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 ，若 与 平行，则
实数 ______________．
9．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知向量 ， ，若 与 方向相反，则
______．
10．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知向量 ， ，且 ，则 等于
______．
三、解答题
12．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知
.
（1）若 三点共线，求实数 的值；（2）证明：对任意实数 ，恒有 成立.
