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第 23 讲 导数中的构造问题（微专题）
题型一 构造函数的比较大小
例1、（2023·广东·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则下列结论
中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】比较b、c只需比较 ，
设 ，则 ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
比较a、b只需比较 ，
设 ，则 ，因为 单调递减，
且 ，所以当 时， ，
所以 在 上单调递减.即 ， ，
所以 ，即 .
综上， .
故选：A
变式1、（东莞市高三期末试题）已知实数a，b满足 ，则下列选项中一定正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【详解】令 ，则 在定义域 内单调递增，
∵ ，即 ，
∴ ，A错误，B正确；
令 ，则 ，且 ，
∴ ，此时 ，C错误；
令 ，则 ，且 ，
∴ ，此时 ，D错误；
故选：B.
变式2、（2023·江苏南京·校考一模）已知 是自然对数的底数，设
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设 ，利用导数判断函数的单调性，比较 的大小，设利用导数判断 ，
放缩 ，再设函数 ，利用导数判断单调性，得 ，再比较 的大小，即可
得到结果.
【详解】设 ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
， 时， ，即 ，
设 ， ， 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增，所以当 时，函数取得最小值， ，即 恒成立，
即 ，
令 ， ， 时， ， 单调递减， 时， ，
单调递增， 时，函数取得最小值 ，即 ，
得： ，那么 ，
即 ，即 ，
综上可知 .
故选：A.
变式3、（清远市高三期末试题）（多选题）设 ， ， ， ，则（
）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】解： ， ， ， ，
对于A，设 ，则 ，令 ，
则 恒成立，
所以 在 上单调递增，则 恒成立，所以 在 上单调递
增，则 ，即 ，所以 ，故A正确；
对于B，设 ，则 ，故 在 上单调递增，
则 ，整理得 ，所以 ，故B不正确；
对于D，设 ，则
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以有 ，即 ，所以 ，
则 ，故D正确；
由前面可知 ，所以 ，故C正确.
故选：ACD.
变式4、（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 则 ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ， ， ， ，
，又 ，所以 .设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ， ，所以 ， ，
，又 ，故 ，
综上： ，故选：D
题型二 构造函数的研究不等式问题
例2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选题）利用“ ”可得到许多与n（ 且
）有关的结论，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先证明出 ，当且仅当 时，等号成立，A选项，令 ，得到
，累加后得到A正确；B选项，推导出 ， ，当且仅当 时等号
成立，令 ，可得 ，累加后得到B正确；C选项，推导出 ，
累加后得到C错误；D选项，将 中的 替换为 ，推导出 ，故 ，当且仅当
时，等号成立，累加后得到D正确.
【详解】令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也时最小值， ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
A选项，令 ，所以 ，
故 ，
其中
，
所以 ，A正确；
B选项，将 中的 替换为 ，可得 ， ，
当且仅当 时等号成立，
令 ，可得 ，
所以 ，
故 ，
其中
所以 ，B正确；
C选项，将 中的 替换为 ，显然 ，
则 ，故 ，
故 ，C错误；
D选项，将 中的 替换为 ，其中 ， ，则 ，
则 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，D正确.
故选：ABD.
变式1、（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设 是定义在R上的连续的函数 的导函数，
（e为自然对数的底数），且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
∵ ，∴ ，函数 在R上单调递增，
又 ，∴ ,由 ，可得 ，
即 ，又函数 在R上单调递增，
所以 ，即不等式 的解集为 .故选：C．
变式2、（2022·山东德州·高三期末）设函数 在 上的导函数为 ，若 ，， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 找到原函数 ，得 在 上单调递增，再由 ， ，
得到 ，进而得到 ，在对不等式 进行化简得 ，即
，再根据 的单调性即可得到答案.
【详解】
令 ， 在 上单调递增，
， ， ，不等式
，即 ，由函数 在 上单调递增得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：C.
变式3、（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
设 ，易知 是增函数，所以由 得 ，
当 时，C不存在，错误，A错误，，则 ， ，从而 ，D错误．
由不等式性质，B正确．故选：B．
变式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
题型三 构造函数的研究含参的范围
例3、（2022·湖北江岸·高三期末） 满足 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
满足 等价于 在 恒成立，构造函数 ，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.
【详解】
满足 ，即 ，
令 ， ， ， ，
当 时， 在 恒成立，
在 为增函数，则 ，即 ，符合题
意，
当 时，令 ， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 为增函数，在 为减函数， ，命题
成立只需 即可.
令 ， ，当 ， ，
即 ，即 ，命题不成立.
综上 .
故选：D.
变式1、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（
）
A．(0， ) B．[0， ) C．[0， ] D．(0， )
【答案】A
【解析】
【分析】
对 分离参数，构造函数 ，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数 的取值范围.
【详解】有三个零点，即方程 有三个根，
不妨令 ,则 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
，且当 时， 恒成立.
当 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷； 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
故当 时，满足题意.
故选：A.
变式2、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数 ， ，若存在 ，（ ），
使得 ，（ ），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，得 ，由题意得该方程在 上有两解，
令 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
而 ， ， ，则实数 的取值范围是
故选：D
.变式3、（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）已知 ， ，其中 ，
若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
， 设 ，则 ，
两式相减，得 ，则 ， ， ，
，令 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
函数 在 上单调递减， 即 ，
， 函数 在 上单调递减， ，
， ， ，
实数 的取值范围为 ，故选：C
变式4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 ，若存在 使
得关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，分析可知该函数为增函数，可得出 ，求出函数 的最小值，可得出关于实数 的不等式，即可
得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，由 可得 ，即函数 的定义域为 ，
可得 ，
即 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，故函数 在 上单调递增，
所以， ，可得 ，则 ，
即 ，其中 ，令 ，其中 ，
则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，解得 .
故选：C.
