§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点
1 1 2 2
A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ ，μ ，λ ，μ 满足λa＋μb＝λa＋μb，则λ ＝
1 1 2 2 1 1 2 2 1
λ，μ＝μ.( √ )
2 1 2
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
教材改编题
1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1，－2)
1 2B．e＝(－1,2)，e＝(5,7)
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(2,3)，e＝
1 2
答案 BD
2．若P(1,3)，P(4,0)，且P是线段PP 的一个三等分点(靠近点P)，则点P的坐标为( )
1 2 1 2 1
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意知P1P＝P1P2，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．
答案 2或－1
解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，
∵(2a－b)∥a，
∴2x－2＝x(3－x)，
即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
答案 A
(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的
夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OBCA ，
1 1
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
得解得
所以λ＋μ＝6.
教师备选
1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的
平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案 C
解析 设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，
所以AD＝AB＋AO＝a＋b.
2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
解析 由题图可设CG＝xCE(0<x<1)，
则CG＝x(CB＋BE)＝x
＝CD＋xCB.
因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，
所以λ＝，μ＝x，所以＝.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和
结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1 (1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋
μAD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A. B.
C．1 D.
答案 A
解析 DE＝DA＋DO
＝DA＋DB
＝DA＋(DA＋AB)
＝AB－AD，
所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.
(2)如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作平行四边形OADB，BM＝BC，CN＝CD，则MN
＝________.(用a，b表示)答案 a－b
解析 ∵BA＝OA－OB＝a－b，
BM＝BA＝a－b，
∴OM＝OB＋BM＝b＋
＝a＋b.
∵OD＝a＋b，
∴ON＝OC＋CD＝OD＋OD
＝OD＝a＋b.
∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b
＝a－b.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－(a－2b)．
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
∴c＝－(a－2b)＝.
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若
CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A. B. C．2 D.
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴CA＝(－2,2)，CE＝(－2,1)，DB＝(1,2)，
∵CA＝λCE＋μDB，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴解得
故λ＋μ＝.
教师备选
已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标
为( )
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
答案 A
解析 设D(x，y)，
则AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，
又BC＝2AD，
所以解得
所以顶点D的坐标为.
思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，
成为数与形结合的载体．
跟踪训练2 (1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则
等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长
为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，
c＝BC＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
则
解得
∴＝＝4.
(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，
则AQ＝________，BC＝________.
答案 (－3,2) (－6,21)
解析 AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)
＝(－3,2)，
PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，
BC＝3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)已知a＝(1,2＋sin x)，b＝(2，cos x)，c＝(－1,2)，若(a－b)∥c，则锐角x等于(
)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案 C
(2)已知在平面直角坐标系Oxy中，P(3,1)，P(－1,3)，P ，P ，P 三点共线且向量OP3与向
1 2 1 2 3
量a＝(1，－1)共线，若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则λ等于( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
答案 D
解析 设OP3＝(x，y)，
则由OP3∥a知x＋y＝0，
所以OP3＝(x，－x)．
若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，
则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，
即
所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
教师备选
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案
解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，
所以4λ－2＝0，解得λ＝.
2．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且|OP|＝|PA|，P是OB的中点，则
点B的坐标为________________________．
答案 (4,2)或(－12，－6)
解析 ∵点P在直线OA上，
∴OP∥PA，
又∵|OP|＝|PA|，
∴OP＝±PA，
设点P(m，n)，
则OP＝(m，n)，PA＝(6－m,3－n)．
①若OP＝PA，
则(m，n)＝(6－m,3－n)，
∴
解得
∴P(2,1)，
∵P是OB的中点，∴B(4,2)．
②若OP＝－PA，
则(m，n)＝－(6－m,3－n)，
∴
解得
∴P(－6，－3)，
∵P是OB的中点，
∴B(－12，－6)．
综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
课时精练
1．(2022·泉州模拟)若向量AB＝(2,3)，AC＝(4,7)，则BC等于( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案 B
2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若点C满足AC＋AB＝0，则点C
的坐标为( )
A. B．(－3,3)
C．(3，－3) D．(－4,5)
答案 D
3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝，b＝(3，－2)
答案 B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，
则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 由m∥n，得bcos B－acos A＝0，
即sin Bcos B＝sin Acos A，
所以sin 2B＝sin 2A，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形；
反之，△ABC是等腰三角形，若a＝c≠b，
则不能得到m∥n，
所以“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，
CD的中点，AC与BD交于点M，设AB＝a，AD＝b，则下列结论正确的是( )
A.AC＝a＋b B.BC＝－a＋b
C.BM＝－a＋b D.EF＝－a＋b
答案 ABD
解析 AC＝AD＋DC＝AD＋AB＝a＋b，
故A正确；
BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB
＝－a＋b，故B正确；
BM＝BA＋AM＝－AB＋AC＝－a＋b，
故C错误；
EF＝EA＋AD＋DF＝－AB＋AD＋AB＝－a＋b，故D正确．
6．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能
构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B. C．1 D．－1
答案 ABD
解析 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设
A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构
成三角形．
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标
为________．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
AB∥CD，∴DC＝2AB，
设点D的坐标为(x，y)，则
DC＝(4－x,2－y)，又AB＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即
∴
∴点D的坐标为(2,4)．
8．(2022·开封模拟)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝
________.
答案 0
解析 由题意得，
2m＋n＝(3λ＋4,4)，
m－2n＝(－λ－3，－3)，
∵(2m＋n)∥(m－2n)，
∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，
解得λ＝0.
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN
＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)方法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
方法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
∴
(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)
＝(0,20)．∴M(0,20)．
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴AB＝λBC，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
方法二 AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
11．(2022·金华模拟)已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sin B－sin A，a＋c)，
n＝(sin C，a＋b)，且m∥n，则B的大小是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为m∥n，
所以(a＋b)(sin B－sin A)＝sin C(a＋c)．
由正弦定理得(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得
cos B＝＝＝－.
又0<B<π，所以B＝.12．(多选)如图，B是AC的中点，BE＝2OB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且
OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则下列结论中正确的是( )
A．当x＝0时，y∈[2,3]
B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P在C点时，x＝1，y＝2
答案 BC
解析 当OP＝yOB时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A中结论错误；
当P是线段CE的中点时，
OP＝OE＋EP＝3OB＋(EB＋BC)
＝3OB＋(－2OB＋AB)
＝3OB＋(－2OB＋OB－OA)
＝－OA＋OB，故B中结论正确；
当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P
的轨迹是一条线段，故C中结论正确；
因为OB＝(OC＋OA)，
所以OC＝2OB－OA，
则OP＝－OA＋2OB，
所以x＝－1，y＝2，D错误．
13．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC
＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为______．
答案 3
解析 ∵OA·OB＝0，
∴OA⊥OB，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系
(图略)，则OA＝(1,0)，OB＝(0，)，
OC＝mOA＋nOB＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3.
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝AB＋AC.则△ABM与△ABC的面积之
比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，则x＋y＝________.
答案 1∶4
解析 由AM＝AB＋AC，
可知点M，B，C三点共线，
令BM＝λBC(λ∈R)，
则AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC，
所以λ＝，即点M在边BC上，如图所示，
所以＝＝.
由BO＝xBM＋yBN，
得BO＝xBM＋BA，
BO＝BC＋yBN，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得解得
所以x＋y＝.
15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下
的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝
(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为______．
答案 (0,2)
解析 因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，
所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；
(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，求证：＋是定值．
(1)解 OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ
＝OP＋λ(OQ－OP)
＝(1－λ)OP＋λOQ.
(2)证明 由(1)得OG＝(1－λ)OP＋λOQ
＝(1－λ)xOA＋λyOB，
因为G是△OAB的重心，
所以OG＝OM＝×(OA＋OB)
＝OA＋OB.
又OA，OB不共线，
所以
解得
所以＋＝3，即＋为定值．
