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§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
1 2
一对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点
1 1 2 2
A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
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思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ ，μ ，λ ，μ 满足λa＋μb＝λa＋μb，则λ ＝
1 1 2 2 1 1 2 2 1
λ，μ＝μ.( √ )
2 1 2
(3)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( × )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
教材改编题
1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1，－2)
1 2B．e＝(－1,2)，e＝(5,7)
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(2,3)，e＝
1 2
答案 BD
2．若P(1,3)，P(4,0)，且P是线段PP 的一个三等分点(靠近点P)，则点P的坐标为( )
1 2 1 2 1
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意知P1P＝P1P2，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．
答案 2或－1
解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，
∵(2a－b)∥a，
∴2x－2＝x(3－x)，
即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
答案 A
(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的
夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
答案 6
解析 方法一 如图，作平行四边形OBCA ，
1 1
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，所以∠BOC＝90°.
1
在Rt△OBC中，∠OCB ＝30°，|OC|＝2，
1 1
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
得解得
所以λ＋μ＝6.
教师备选
1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的
平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案 C
解析 设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，
所以AD＝AB＋AO＝a＋b.
2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
解析 由题图可设CG＝xCE(0
