文档内容
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲 考向预测
平面向量基本定理及
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
其应用，平面向量的
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表
坐标运算，向量共线
示.
命题趋势 的坐标表示及其应用
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法
仍是高考考查的热
与数乘运算.
点，题型仍将是选择
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条
题与填空题.
件.
核心素养 数学运算
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
1 2
任意向量a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋ λ e ．
1 2 1 1 2 2
(2)基底：不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，
1 2 1 2 1 2 1 2
λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝．
1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝ ( x － x ， y － y )，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a∥b⇔x y － x y ＝ 0．
1 1 2 2 1 2 2 1
[提醒] 当且仅当x y ≠0时，a∥b与＝等价．
2 2
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b⇔x y －x y ＝0(其中a＝(x ，y )，b＝(x ，y ))．
1 2 2 1 1 1 2 2
2．已知P为线段AB的中点，若A(x ，y )，B(x ，y )，则P点坐标为.
1 1 2 2
3．已知△ABC的顶点A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，则△ABC的重心G的坐标
1 1 2 2 3 3
为.
常见误区
1．平面向量的基底中一定不含零向量．
2．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐
标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，向量AB，BC的夹角为∠ABC.( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )
1 1 2 2
(5)若a，b不共线，且λ a＋μ b＝λ a＋μ b，则λ ＝λ ，μ ＝μ .( )
1 1 2 2 1 2 1 2
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.方法一：设C(x，y)，
则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
3．(易错题)(多选)已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正
确的是( )
A．若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B．若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C．若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb
D．若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不
共线
解析：选ACD.对于A，若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线，所以A正确．
对于B，若a与b共线，则不一定存在实数λ，使得b＝λa，如b＝(1，0)，a＝(0，0)时
不满足，所以B错误．对于C，根据平面向量的基本定理知，a与b作为基底，则对
平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以C正确．对于D，
根据平面向量的基本定理知，对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c
＝λa＋μb，则a与b不共线，所以D正确．故选ACD.
4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为
________．
解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－.
答案：－
平面向量基本定理的应用
(1)(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD
＝( )
A.BA＋BC B．BA－BC
C.BA＋AE D．BA＋AE
(2)(2021·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为
边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝
________．【解析】 (1)
如图所示，设BC的中点为E，则BD＝BA＋AD＝BA＋AE＝BA＋(AB＋BE)＝
BA－BA＋×BC＝BA＋BC.故选AC.
(2)由题图可设CG＝xCE(x＞0)，则CG＝x(CB＋BE)＝x＝CD＋xCB.因为CG＝
λCD＋μCB，CD与CB不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】 (1)AC (2)
运算遵法则 基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形
法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将
条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．(一题多解)(2020·长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，
DE＝EC，设BA＝a，BC＝b，则BE＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选D.
方法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，
又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以CD＝FA.因为
DE＝EC，所以CE＝CD＝FA，所以BE＝BC＋CE＝BC＋FA＝BC＋(BA－BF)＝BC＋(BA－BC)＝BA＋BC＝a＋b，故选D.
方法二：
如图，连接BD，因为DE＝EC.所以BE＝(BD＋BC)＝(BA＋AD＋BC)＝(BA＋
BC＋BC)＝BA＋BC＝a＋b，故选D.
2．已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任
意一点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．
解析：依题意，设OP＝λOC(0<λ<1)，
由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－(OA＋OB)，
所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．
答案：(－2，0)
平面向量的坐标运算
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(
)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A.3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
2．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为( )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：选D.设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)，
根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝
λAM＋μBN，则λ＋μ＝________．解析：
方法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所
示，
设正方形的边长为1，则AM＝，BN＝，AC＝(1，1)．因为AC＝λAM＋μBN＝，
所以解得所以λ＋μ＝.
方法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝AB＋
AD，又AC＝AB＋AD，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来
进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角
坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算
法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中
要注意方程思想的运用．
平面向量共线的坐标表示
(1)(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(
)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则
k的值是( )
A．－ B．
C. D．
【解析】 (1)由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A错误．因为a＋b＝(x－3，3＋x)，又(a＋b)∥a，所以3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误．
由已知，得ma＋b＝(mx－3，3m＋x)．又(ma＋b)∥a，所以x(3m＋x)－3(mx－3)＝
0，即x2＝－9，无实数解，故C错误．由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．故选ABC.
(2)AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】 (1)ABC (2)A
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x y －x y ＝0，至于
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使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线
的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
1．(多选)已知a＝(1，2)，b＝(4，k)，若(a＋2b)∥(3a－b)，则下列说法正确的是(
)
A．k＝8 B．|b|＝4
C．a·b＝12 D．a∥b
解析：选ABD.因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，所以a＋2b＝(1，2)＋(8，2k)＝(9，2＋
2k)，3a－b＝(3，6)－(4，k)＝(－1，6－k)，因为(a＋2b)∥(3a－b)，所以9(6－k)＝(－
1)×(2＋2k)，则k＝8，A正确；|b|＝＝4，B正确；a·b＝1×4＋2×8＝20，C错误；由
于1×8＝2×4，a∥b，故D正确，所以选ABD.
2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，则点D的坐标为________．
解析：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以DC＝2AB.设点D的坐
标为(x，y)，则DC＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所
以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为
(2，4)．
答案：(2，4)3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一：因为A，B，C三点共线，
所以AB＝λBC，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
方法二：AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以AB∥BC.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
思想方法系列10 巧建系，促运算
如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线
段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP＝mAB＋nAD(m，n为
实数)，则m＋n的取值范围是( )
A. B．
C. D．【解析】 如图建立平面直角坐标系，则AB＝(4，0)，AD＝(0，4)，AP＝mAB＋
nAD＝(4m，4n)，设Q(4，t)，t∈[0，4]，则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cos
θ，t＋sin θ)，则4m＋4n＝4＋t＋sin，当t＝0，θ＝时，m＋n取得最小值1－，当t＝
4，θ＝时，m＋n取得最大值2＋，所以m＋n的取值范围是.
【答案】 A
巧建系妙解题，常见的建系方法如下
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可
以利用这两条直线建立坐标系．
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等
腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原
则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点
O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点．动点P在
“六芒星”上(内部以及边界)，若OP＝xOA＋yOB，则x＋y的取值范围是( )
A．[－4，4]
B．[－，]
C．[－5，5]
D．[－6，6]
解析：
选C.如图建立平面直角坐标系，
令正三角形边长为3，则OB＝i，OA＝－i＋j，可得i＝OB，j＝OA＋OB，由图知当P在C点时有，OP＝j＝2OA＋3OB，此时x＋y有最大值5，同理点P在与C相
对的下顶点时有OP＝－j＝－2OA－3OB，此时x＋y有最小值－5.
[A级 基础练]
1．(2020·陕西汉中月考)已知向量a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，
则b＝( )
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
解析：选C.因为a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2，1)②，所以②－①得3b＝(－
3，6)，所以b＝(－1，2)．故选C.
2．设向量e ，e 是平面内的一组基底，若向量a＝－3e －e 与b＝e －λe 共线，
1 2 1 2 1 2
则λ＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B.方法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e －
1
e ＝μ(e －λe )．
2 1 2
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
故选B.
方法二：因为向量e ，e 是平面内的一组基底，
1 2
故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.
故选B.
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，
OB＝(1，3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC
＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC知
所以所以E.
4．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，
B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．C．1 D．－1
解析：选ABD.各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为
AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－
3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要
m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.
5．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若AP＝xAB＋yAF，则
x＋y＝( )
A．2 B．
C．3 D．
解析：选B.如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，
易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
于是FP＝FO＝AB，
因此AP＝AF＋FP＝AF＋AB，
因为AP＝xAB＋yAF，所以x＝，y＝1，故x＋y＝.
6．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数 λ＝
________．
解析：a＋2b＝(4，2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
因为(a＋2b)∥(2a－b)，
所以4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－.
答案：－
7．设e ，e 是平面内一组基向量，且a＝e ＋2e ，b＝－e ＋e ，则向量e ＋e 可
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以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e ＋e ＝________a＋________b.
1 2
解析：由题意，设e ＋e ＝ma＋nb.
1 2
因为a＝e ＋2e ，b＝－e ＋e ，
1 2 1 2
所以e ＋e ＝m(e ＋2e )＋n(－e ＋e )＝(m－n)e ＋(2m＋n)e .
1 2 1 2 1 2 1 2
由平面向量基本定理，得所以
答案： －
8．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋
5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ
＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝
3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c，
所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b，
所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以MN＝(9，－18)．
10．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，
且OA与OB不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且AP＝2PB，若AP＝rOB＋sOA，求r＋s的值；
(2)已知点P满足OP＝mOA＋OB(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，
求m的值．
解：(1)因为AP＝2PB，所以AP＝AB，
所以AP＝(OB－OA)＝OB－OA，
又因为AP＝rOB＋sOA，
所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以OB＝OP＋OA，
又因为OP＝mOA＋OB，所以OB＝OB＋(m＋1)OA，依题意OA，OB是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
[B级 综合练]
11．(多选)已知向量e ＝(－1，2)，e ＝(2，1)，若向量a＝λ e ＋λ e ，则可使
1 2 1 1 2 2
λ λ <0成立的a可能是( )
1 2
A．(1，0) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
解析：选AC.因为e ＝(－1，2)，e ＝(2，1)，所以向量a＝λ e ＋λ e ＝(－λ ，2λ )
1 2 1 1 2 2 1 1
＋(2λ ，λ )＝(2λ －λ ，2λ ＋λ )．若a＝(1，0)，则2λ ＋λ ＝0，满足λ λ <0，所以A符
2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
合题意．若a＝(0，1)，则2λ －λ ＝0，不满足λ λ <0，所以B不符合题意．若a＝(－
2 1 1 2
1，0)，则2λ ＋λ ＝0，满足λ λ <0，所以C符合题意．若a＝(0，－1)，则2λ －λ ＝0，
1 2 1 2 2 1
不满足λ λ <0，所以D不符合题意．故选AC.
1 2
12．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不
共线，则该方程的解的情况是( )
A．至少有一个解 B．至多有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
解析：选B.由平面向量基本定理可得，
c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则方程ax2＋bx＋c＝0可变为ax2＋bx＋λa＋μb＝0，
即(λ＋x2)a＋(μ＋x)b＝0，
因为a，b不共线，所以
可知方程组可能无解， 也可能有一个解．
所以方程ax2＋bx＋c＝0至多有一个解，故选B.
13.
如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B
的三等分点，设AB＝a，AO＝b.
(1)用向量a与b表示向量OC，CD；
(2)若OE＝OA，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．
解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以AC＝－AB，CB＝2AB，BD＝BO.因为AB＝a，AO＝b，所以OC＝OA＋
AC＝－AO－AB＝－a－b，CD＝CB＋BD＝2AB＋BO＝2AB＋(BA＋AO)＝AB＋
AO＝a＋b.
(2)C，D，E三点不共线．理由如下：
因为OE＝OA，
所以CE＝CO＋OE＝CO＋OA＝－OC－AO＝a＋b－b＝a＋b，
由(1)知CD＝a＋b，
所以不存在实数λ，使得CE＝λCD.
所以C，D，E三点不共线．
14．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足AE＝xAB，AF
＝yAC，求＋的值，并说明理由．
解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
所以AD2＝AB2＋AB·AC＋AC2＝－＋＝，所以AD＝.
(2)因为AE＝xAB，AF＝yAC，所以AD＝AB＋AC＝AE＋AF，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.
[C级 创新练]
15．(多选)已知向量e ，e 是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α
1 2
内任意一点P，当OP＝xe ＋ye 时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点
1 2
A，B的广义坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，关于下列命题正确的是( )
1 1 2 2
A．线段AB的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．向量OA平行于向量OB的充要条件是x y ＝x y
1 2 2 1
D．向量OA垂直于OB的充要条件是x x ＋y y ＝0
1 2 1 2
解析：选AC.由中点的意义知A正确；
只有在e ，e 互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；
1 2
由向量平行的充要条件得C正确；
只有e ，e 互相垂直时，OA与OB垂直的充要条件为x x ＋y y ＝0，D不正确．
1 2 1 2 1 2故选AC.
16．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，
以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设AQ＝aAB＋bAC，则a＋b的最
大值为( )
A. B．
C. D．
解析：
选C.根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知
点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由
AQ＝aAB＋bAC＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以AQ＝(3a，4z－4a)．设
Q(x，y)，所以消去a，得y＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切
时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆
的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z
＝0的距离为，所以＝，解得z＝，即a＋b的最大值为，故选C.
