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第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐
标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平
面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量
1 2
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋
1 2 1 1
结论
λ e
2 2
若e ，e 不共线，我们把{e ，e }叫做表示这一平面内所有向量的一个基
1 2 1 2
基底
底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝ ( x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x y － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的
向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ ，μ ，λ ，μ 满足λ a＋μ b＝λ a＋μ b，则λ
1 1 2 2 1 1 2 2 1
＝λ ，μ ＝μ .( )
2 1 2
(3)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
1 1 2 2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.(2022·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向
量b的坐标为( )
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案 D
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝
10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若 A，B，C能
构成三角形，则实数m可以是( )
A.－2 B. C.1 D.－1
答案 ABD
解析 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为AB＝OB－
OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋
1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C
三点就可构成三角形，故选ABD.
4.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE＝－2DE，若
EF＝xAB＋yAD，则x＋y＝( )
A.1 B.6 C. D.
答案 C
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝DC，AD＝BC，
因为CE＝－2DE，所以EC＝AB，EF＝EC＋CF＝AB－BC＝AB－AD，
又因为EF＝xAB＋yAD，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
5.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB反向的单位向量为________.
答案
解析 由已知得AB＝(12，－5)，所以|AB|＝13，
因此与AB反向的单位向量为－AB＝.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)，在这三个向量中任意取两个
作为一组，能构成基底的组数为________.
答案 2
解析 易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
考点一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝
a，AC＝b，则DE等于( )
A.a＋b B.a－b
C.－a－b D.－a＋b
答案 C
解析 DE＝DC＋CE
＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC
＝－AB－AC＝－a－b.
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的
交点为M，又CM＝tCP，则t的值为________.
答案
解析 如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴CM＝xCQ＋(1－x)CA
＝CB＋(1－x)CA，又∵CP＝CA＋CB，CM＝tCP，
∴解得t＝.
感悟提升 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或
三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，
利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底
将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不
同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若AB
＝λAM＋μAN，则λ＋μ等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－
AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
(2)在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点.若DC＝
3DF，设AC＝a，BD＝b，则AF＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，
F是线段DC上的点，且DC＝3DF，
∴DF＝DC＝(OC－OD)＝(AC－BD)，AD＝OD－OA＝BD＋
AC.
则AF＝AD＋DF＝＋(AC－BD)＝BD＋AC＝a＋b，故选B.
考点二 平面向量的坐标运算
1.在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，
则CO的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD
交于点O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝.
2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝()
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正
方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝AO＝(－1，1)，b＝OB＝(6，2)，c＝BC＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴＝＝4.
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则
向量OB的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.
设点B为(x，y)，
则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
即解得
所以向量OB的坐标是(4，7).
4.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为
120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC
＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
答案 6
解析 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A(1，0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，
B(cos 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，)，B.由OC＝λOA＋μOB得，
∴∴λ＋μ＝6.
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知
有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数
例2 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案
解析 2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝
________.
答案 －
解析 AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
AC＝OC－OA＝(－2k，－2).
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
例3 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标
为________.
答案 (3，3)
解析 法一 由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ
－4，4λ).
又AC＝OC－OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以＝，即x
＝y.
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，
1 1 2
y )，则a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；
2 1 2 2 1
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的
坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.
解 (1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，
2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，
∴解得
或
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
等和线的应用
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结
论可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB
与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得OP′＝kOP，则
OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之
也成立.
(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在
直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线
AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线.
例 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为
120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA
＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.
答案 2
解析 法一 由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系.其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
则有OC＝(cos θ，sin θ)
＝x(1，0)＋y，
即得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y) ＝2，
max
当且仅当θ＝时取得.
法二 如图，连接AB交OC于点D，
设OD＝tOC，由于OC＝xOA＋yOB，
所以OD＝t(xOA＋yOB).
因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝，
由于|OD|＝t|OC|＝t，当OD⊥AB时t取到最小值，
当点D与点A，或点B重合时t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
法三 (等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以
OA，OB为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当 l
与圆弧相切于C 时，定值最大，
1
因为∠AOB＝120°，所以OC1＝OA＋OB，
所以x＋y的最大值为2.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A.(2，2)
B.(－2，－2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
答案 D
解析 因为A(2，2)，B(1，1)，
所以AB＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )A.e ＝(0，0)，e ＝(1，2)
1 2
B.e ＝(－1，2)，e ＝(5，－2)
1 2
C.e ＝(3，5)，e ＝(6，10)
1 2
D.e ＝(2，－3)，e ＝(－2，3)
1 2
答案 B
解析 对于A，C，D都有e ∥e ，所以只有B成立.
1 2
3.如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE＝(
)
A.b－a B.a－b
C.a－b D.b－a
答案 D
解析 DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝AC－AB＝b－a.
4.(多选)(2021·威海调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如
下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.5.(2022·岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且OA＋
OB＋2OC＝0，则△AOB的面积是( )
A.4 B.
C. D.2
答案 D
解析 根据题意，设AB边的中点为D，
因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB的中点为D，得OA＋OB＝2OD，
又由OA＋OB＋2OC＝0，得OC＝－OD，则O是CD的中点，又
△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S ＝×4×＝2.
△AOB
6.(2021·揭阳联考)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，
且满足2|AM|＋|AN|＝1，设AC＝xAM＋yAN，则2x＋3y的最小值为( )
A.48 B.49 C.50 D.51
答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
设M(m，0)，N(0，n)，因为2|AM|＋|AN|＝1，
所以2m＋n＝1.
因为AC＝xAM＋yAN＝AB＋AD，
所以x＝，y＝，
所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.
7.已知O为坐标原点，向量OA＝(1，2)，OB＝(－2，－1)，若2AP＝AB，则|OP|＝
________.
答案
解析 设P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP＝(x
－1，y－2)，
则由2AP＝AB得2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故|OP|＝＝.
8.(2021·青岛质检)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
答案 －解析 因为a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
9.(2022·衡水质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC
内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
解析 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为
y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为
(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).
AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且
μ＝m，所以＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C三点共线，
∴AB＝λBC，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
11.如图，在△ABC中，AM＝AB＋AC.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB＋yAC(x，
y∈R)，求x＋y的值.
解 (1)在△ABC中，由AM＝AB＋AC，
得4AM－3AB－AC＝0，
即3(AM－AB)＝AC－AM，即3BM＝MC，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵AM＝AB＋AC，AP
＝xAB＋yAC(x，y∈R)，
AP∥AM，AN＝AB，
∴设AP＝λAM＝AB＋AC
＝AN＋AC.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
12.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.
若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
答案 A
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，
2)，C(1，2)，直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又AB＝(1，0)，AD＝(0，2)，则AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
13.(多选)(2022·珠海一模)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝DC，若P为
BD上一点，且满足AP＝λAB＋μAC(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16D.＋的最小值为4
答案 BD
解析 因为 D为AC 上一点且满足AD＝DC，所以AC＝4AD，因为AP＝λAB＋
μAC，
所以AP＝λAB＋4μAD，
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，
当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，故A错误，B正确；
＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，
故＋的最小值为4，故C错误，D正确.
14.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA，OB，OC满足条件：
OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC
＝mOA＋nOB(m，n∈R)，求m＋n的值.
解 以O为原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的
平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为
，，
∴OB＝，OC＝.
又OC＝mOA＋nOB，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.
