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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 06 三角函数及解三角形
考点一 同角三角函数间的基本关系
sinθ(1+sin2θ)
1．（2021•新高考Ⅰ）若tan ＝﹣2，则 =（ ）
sinθ+cosθ
θ
6 2 2 6
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
sinθ(1+sin2θ) sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)
【解析】由题意可得： =
sinθ+cosθ sinθ+cosθ
sinθ sin2θ+cos2θ+2sinθ⋅cosθ
= ⋅
sinθ+cosθ sin2θ+cos2θ
tanθ tanθ2+2tanθ+1
= ⋅
tanθ+1 tan2θ+1
2
= ．
5
故选：C．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】考点二 正弦函数的图象
π
2．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若
4
2π 3ωπ ω π
＜T＜ ，且y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
3 2 2
π 3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
π
【解析】函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，
4
2π 2π ω 2π 2π ω
则T= ，由 ＜T＜ ，得 ＜ ＜ ，∴2＜ ＜3，
ω 3 3 ω
π 3π π ω
∵y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，∴b＝2，
2
3π π 3π π
且sin（ ω+ ）＝0，则 ω+ =k ，k Z．
2 4 2 4
2 1 π 5 ∈
∴ω= (k− )，k Z，取k＝4，可得ω= ．
3 4 2
5 ∈π π 5 π π
∴f（x）＝sin（ x+ ）+2，则f（ ）＝sin（ × + ）+2＝﹣1+2＝1．
2 4 2 2 2 4
故选：A．
考点三 三角函数的周期性
3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且仅有3个零
点，则 的取值范围是 ．
ω ω π
2π
【解析】ω x [0，2 ]，函数的周期为 （ ＞0），cos x﹣1＝0，可得cos x＝1，
ω
函数f（x）∈＝cos π x﹣1（ ＞0）在区间[0 ω，2 ]有且仅有ω 3个零点， ω
2π 2π
可得2⋅ ≤2 ＜ω3⋅ ω， π
ω ω
所以2≤ ＜3．π
故答案为：[2，3）．
ω
4．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．
【解析】f（x）＝cos2x﹣sin2x+1
＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝2cos2x
＝cos2x+1，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】2π
T= = ．
2
π
故答案为： ．
5．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为 ．
π
π
【解析】函数y＝tan2x的最小正周期为 ，
2
π
故答案为： ．
2
6．（2020•上海）已知函数f（x）＝sin x， ＞0．
1
（1）f（x）的周期是4 ，求 ，并求ω f（x ω）= 的解集；
2
π ω π π
（2）已知 ＝1，g（x）＝f2（x）+√3f（﹣x）f（ −x），x [0， ]，求g（x）的值
2 4
域． ω ∈
2π 1 1
【解析】（1）由于f（x）的周期是4 ，所以 = = ，所以f（x）＝sin x．
4π 2 2
1 1 1 π π 5π ω π 5π
令sin x= ，故 x=2kπ+ 或2kπ+ ，整理得x=4kπ+ 或x=4kπ+ ．
2 2 2 6 6 3 3
π 5π
故解集为{x|x=4kπ+ 或x=4kπ+ ，k Z}．
3 3
（2）由于 ＝1， ∈
所以f（x）＝sinx．
ω
所 以 g （ x ）
π 1−cos2x √3 √3 1 1 1
=sin2x+√3sin(−x)sin( −x)= − sin2x=− sin2x− cos2x+ = −
2 2 2 2 2 2 2
π
sin（2x+ ）．
6
π
由于x [0， ]，
4
π∈ π 2π
所以 ≤2x+ ≤ ．
6 6 3
1 π
≤sin(2x+ )≤1，
2 6
π 1
故−1≤−sin(2x+ )≤− ，
6 2
1
故− ≤g(x)≤0．
2
1
所以函数g（x）的值域为[− ，0]．
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】考点四 三角函数的最值
7．（2023•上海）已知a R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为s ，在[2a，3a]的最小值为
a
t a ，则下列情况不可能的 ∈ 是（ ）
A．s ＞0，t ＞0 B．s ＜0，t ＜0 C．s ＞0，t ＜0 D．s ＜0，t ＞0
a a a a a a a a
【解析】由给定区间可知，a＞0．
区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．
π π π π π
取a= ，则[a，2a]＝[ ， ]，区间[2a，3a]＝[ ， ]，可知s ＞0，t ＞0，故A可
6 6 3 3 2 a a
能；
5π 5π 5π 5π 5π
取a= ，则[a，2a]＝[ ， ]，区间[2a，3a]＝[ ， ]，可知s ＞0，t ＜0，
12 12 6 6 4 a a
故C可能；
7π 7π 7π 7π 7π
取a= ，则[a，2a]＝[ ， ]，区间[2a，3a]＝[ ， ]，可知s ＜0，t ＜0，
6 6 3 3 2 a a
故B可能．
结合选项可得，不可能的是s ＜0，t ＞0．
a a
故选：D．
π π
8．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x [0， ]，都存在x [0， ]，使得f
1 2 2 2
∈ ∈
（x ）＝2f（x + ）+2成立，则下列选项中， 可能的值是（ ）
1 2
3π 4π 6π 7π
θ θ
A． B． C． D．
5 5 5 5
π
【解析】∵x [0， ]，
1 2
∈
∴sinx [0，1]，
1
∴f（x
1∈
） [2，5]，
π
∈
∵都存在x [0， ]，使得f（x ）＝2f（x + ）+2成立，
2 2 1 2
∈ 3 θ
∴f（x + ） ≤0，f(x +θ) ≥ ，
2 min 2 max 2
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】∵f（x）＝3sinx+2，
2 1
∴sin(x +θ) ≤− ，sin(x +θ) ≥− ，
2 min 3 2 max 6
π 3π
y＝sinx在x [ ， ] 上单调递减，
2 2
3π ∈ 3π 11π
当θ= 时，x +θ∈[ ， ]，
5 2 5 10
11π 7π 1
∴sin(x +θ)=sin ＞sin =− ，故A选项错误，
2 10 6 2
4π 4π 13π
当θ= 时，x +θ∈[ ， ]，
5 2 5 10
13π 5π √2 2
∴sin(x +θ) =sin ＜sin =− ＜− ，
2 min 10 4 2 3
4π
sin(x +θ) =sin ＞0，故B选项正确，
2 max 5
6π 6π 17π
当θ= 时，x + ∈[ ， ]，
5 2 5 10
θ
6π 13π √2−√6 1
sin（x + ） =sin ＜sin = ＜− ，故C选项错误，
2 max 5 12 4 6
θ
7π 7π 19π
当θ= 时，x +θ∈[ ， ]，
5 2 5 10
19π 23π √2−√6 1
sin（x + ） =sin ＜sin = ＜− ，故D选项错误．
2 max 10 12 4 6
θ
故选：B．
9．（2021•浙江）已知 ， ， 是互不相同的锐角，则在sin cos ，sin cos ，sin cos 三
1
个值中，大于 的个数α的β最大γ值是（ ） α β β γ γ α
2
A．0 B．1 C．2 D．3
sin2α+cos2β sin2β+cos2γ
【解析】由基本不等式可得：sinαcosβ≤ ，sinβcosγ≤ ，
2 2
sin2γ+cos2α
sinγcosα≤ ，
2
3
三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ ，
2
1
很明显sin cos ，sin cos ，sin cos 不可能均大于 ．
2
取 ＝30°，α ＝β 60°，β＝4 γ 5°， γ α
1 1 √6 1 √6 1
则sαinαcosββ= ＜ ， γ sinβcosγ= ＞ ，sinγcosα= ＞ ，
4 2 4 2 4 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】1
则三式中大于 的个数的最大值为2，
2
故选：C．
考点五 三角函数的单调性
π
10．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数 f（x）＝7sin（x− ）单调递增的区间是
6
（ ）
π π 3π 3π
A．（0， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，2 ）
2 2 2 2
π π ππ π π
【解析】令− +2kπ≤x− ≤ +2kπ，k Z．
2 6 2
π 2π ∈
则− +2kπ≤x≤ +2kπ，k Z．
3 3
π 2π ∈
当k＝0时，x [− ， ]，
3 3
π ∈π 2π
（0， ） [− ， ]，
2 3 3
故选：A．⊆
考点六 三角函数的奇偶性和对称性
11．（2019•浙江）设函数f（x）＝sinx，x R．
（Ⅰ）已知 [0，2 ），函数f（x+ ）是偶函数，求 的值；
∈
π π
（Ⅱ）求函数θ∈ y＝[f（π x+ ）]2+[f（x θ+ ）]2的值域．θ
12 4
【解析】（1）由f（x）＝sinx，得
f（x+ ）＝sin（x+ ），
π
∵f（x θ + ）为偶函数θ，∴ = +kπ（k Z），
2
θ π θ 3π ∈
∵ [0，2 ），∴θ= 或θ= ，
2 2
θ∈ π π π
（2）y＝[f（x+ ）]2+[f（x+ ）]2
12 4
π π
＝sin2（x+ ）+sin2（x+ ）
12 4
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】π π
1−cos(2x+ ) 1−cos(2x+ )
6 2
= +
2 2
1 π π
＝1− (cos2xcos −sin2xsin −sin2x)
2 6 6
3 √3
= sin2x− cos2x+1
4 4
√3 π
= sin(2x− )+1，
2 6
π
∵x R，∴sin(2x− )∈[−1，1]，
6
∈
√3 π √3 √3
∴y= sin(2x− )+1∈[1− ，1+ ]，
2 6 2 2
π π √3 √3
∴函数y＝[f（x+ ）]2+[f（x+ ）]2的值域为：[1− ，1+ ]．
12 4 2 2
考点七 函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
π
12．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+ ）图象上
5
所有的点（ ）
π
A．向左平移 个单位长度
5
π
B．向右平移 个单位长度
5
π
C．向左平移 个单位长度
15
π
D．向右平移 个单位长度
15
π π π
【解析】把y＝2sin（3x+ ）图象上所有的点向右平移 个单位可得y＝2sin[3（x−
5 15 15
π
）+ ]＝2sin3x的图象．
5
故选：D．
考点八 由 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
13．【多选】（2020•海南）如图是函数y＝sin（ x+ ）的部分图象，则sin（ x+ ）＝
（ ）
ω φ ω φ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】π π
A．sin（x+ ） B．sin（ −2x）
3 3
π 5π
C．cos（2x+ ） D．cos（ −2x）
6 6
2π π 2π
【解析】由图象知函数的周期T＝2×（ − ）＝ ，即 = ，即 ＝±2，
3 6 |ω|
π π 2π π ω
当 ＝2时，由五点作图法，得2× + ＝ ，所以 = ，
6 3
ω 2π π φ 2ππ φ
则f（x）＝sin（2x+ ）＝cos（ −2x− ）
3 2 3
π π
＝cos（﹣2x− ）＝cos（2x+ ）
6 6
π π π
＝sin（ −2x− ）＝sin（ −2x），
2 6 3
π π
当 ＝﹣2时，由五点作图法，得﹣2× + ＝0，所以 = ，
6 3
ω π π φ φ
所以f（x）=sin(−2x+ )=cos(2x+ )．
3 6
故选：BC．
1
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ x+ ），如图，A，B是直线y= 与曲线y
2
π ω φ
＝f（x）的两个交点，若|AB|= ，则f（ ）＝ ．
6
π
1 1 π
【解析】由题意：设A（x ， ），B（x ， ），则x ﹣x = ，
1 2 2 2 2 1 6
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】由y＝Asin（ x+ ）的图象可知：
5π π 2π 2π
x + ﹣（ ω x + φ）= − = ，即 （x ﹣x ）= ，
2 1 6 6 3 2 1 3
ω φ ω φ ω
∴ ＝4，
2π 8π 8π
又ω f（ ）＝sin（ + ）＝0，∴ + ＝k ，k Z，
3 3 3
8π φ φ π ∈
即 =− +k ，k Z，
3
φ π ∈ 2π
观察图象，可知当k＝2时， =− 满足条件，
3
φ
2π √3
∴f（ ）＝sin（4 − ）=− ．
3 2
π π
√3
故答案为：− ．
2
考点九 三角恒等变换
1 1
15．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（ ﹣ ）= ，cos sin = ，则cos（2 +2 ）＝（ ）
3 6
7 1 α β α β1 α β7
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
1 1
【解析】因为sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣sin cos = ，cos sin = ，
3 6
1 α β α β β α α β
所以sin cos = ，
2
α β 1 1 2
所以sin（ + ）＝sin cos +sin cos = + = ，
2 6 3
α β α β β α 4 1
则cos（2 +2 ）＝1﹣2sin2（ + ）＝1﹣2× = ．
9 9
α β α β
故选：B．
π
16．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2√2cos（ + ）sin ，则（ ）
4
A．tan（ ﹣ ）＝1 α β α β B．tan（ + ）α＝1 β
C．tan（ ﹣ ）＝﹣1 D．tan（ + ）＝﹣1
α β α β
π
【解析】α解法β一：因为sin（ + ）+cos（ + ）＝2√2c α os β（ + ）sin ，
4
π α β π α β α β
所以√2sin（α+β+ ）＝2√2cos（ + ）sin ，
4 4
α β
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】π π
即sin（α+β+ ）＝2cos（ + ）sin ，
4 4
π α πβ π
所以sin（α+ ）cos +sin cos（α+ ）＝2cos（ + ）sin ，
4 4 4
π β β π α β
所以sin（α+ ）cos ﹣sin cos（α+ ）＝0，
4 4
π β β
所以sin（α+ −β）＝0，
4
π
所以α+ −β= k ，k Z，
4
ππ ∈
所以 ﹣ ＝kπ− ，
4
所以α tan（β ﹣ ）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sin cos +cos sin +cos cos ﹣sin sin ＝2（cos ﹣sin ）sin ，
α β
即sin cos ﹣cos sin +cos cos +sin sin ＝0，
α β α β α β α β α α β
所以sin（ ﹣ ）+cos（ ﹣ ）＝0，
α β α β α β α β
故tan（ ﹣ ）＝﹣1．
α β α β
故选：C．
α β
17．（2019•上海）已知tan •tan ＝tan（ + ）．有下列两个结论：
①存在 在第一象限， 在第三象限；
α β α β
②存在 在第二象限， 在第四象限；
α β
则（ ）
α β
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
【解析】由tan •tan ＝tan（ + ），
tanα+tanβ
即为tan •tan =α β α，β
1−tanαtanβ
设m＝ta α n ， β n＝tan ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，
若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，
α β
即有m＞1，考虑Δ＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣12m2＝﹣12（m
1 23
− ）2− ，
12 12
当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，
在第三象限不可能，故①错；
1
β 可令tan =− ，
3
由tan •α tan ＝tan（ + ），
tanα+tanβ
即为t α an •t β an = α β ，
1−tanαtanβ
α β
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】1
tanβ−
1 3
可得− tan = ，
3 1
1+ tanβ
β 3
解得tan ＝﹣6±√39，存在 在第四象限，故②对．
故选：D．
β β
π
18．（2022•浙江）若3sin ﹣sin =√10， + = ，则sin ＝ ，cos2 ＝ ．
2
α β πα β α β
【解析】∵3sin ﹣sin =√10， + = ，
2
∴3sin ﹣cos
=α
√10，
β α β
∴cos
α
＝3sinα −√10，
∵sin2 α+cos2
α
＝1，
∴sin2 α+（3sαinα−√10）2＝1，
3√10 3√10
解得s α in = ，cos ＝sin = ，
10 10
α β α
90 4
cos2 ＝2cos2 ﹣1＝2× −1= ．
100 5
β β
3√10 4
故答案为： ； ．
10 5
19．（2023•上海）已知tan ＝3，则tan2 ＝ ．
【解析】∵tan ＝3，
α α
2tanα 2×3 3
∴tan2 = α = =− ．
1−tan2α 1−32 4
α
3
故答案为：− ．
4
π
20．（2020•浙江）已知tan ＝2，则cos2 ＝ ，tan（ − ）＝ ．
4
【解析】tan ＝2， θ θ θ
cos2θ−sin2θ 1−tan2θ 1−4 3
则cos2 = θ = = =− ．
cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 1+4 5
θ
π
tanθ−tan
π 4 2−1 1
tan（ − ）= = = ．
4 π 1+2×1 3
1+tanθtan
θ 4
3 1
故答案为：− ； ．
5 3
1+√5 α
21．（2023•新高考Ⅱ）已知 为锐角，cos = ，则sin =（ ）
4 2
α α
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A． B． C． D．
8 8 4 4
1+√5
【解析】cos = ，
4
α
α
则cos
=1−2sin2
，
2
α α 3−√5 α 3−√5 (√5) 2+12−2√5 (√5−1) 2
故2sin2 = 1﹣cos = ，即sin2 = = = ，
2 4 2 8 16 16
α
∵ 为锐角，
α
∴ αsin ＞0，
2
α −1+√5
∴sin = ．
2 4
故选：D．
22．（2021•浙江）设函数f（x）＝sinx+cosx（x R）．
π
（Ⅰ）求函数y＝[f（x+ ）]2的最小正周期；∈
2
π π
（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x− ）在[0， ]上的最大值．
4 2
π
【解析】函数f（x）＝sinx+cosx=√2sin(x+ )，
4
π π π π
（Ⅰ）函数y＝[f（x+ ）]2＝[√2sin(x+ + )]2＝2cos2（x+ ）
2 2 4 4
π π
＝1+cos[2（x+ ）]＝1+cos（2x+ ）＝1﹣sin2x，
4 2
2π
则最小正周期为T= =π；
2
π π π π
（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x− ）=√2sin(x+ )⋅√2sin(x− + )
4 4 4 4
=√2(sinx+cosx）sinx=√2(sin2x+sinxcosx)
1−cos2x 1 π √2
=√2( + sin2x)=sin（2x− ）+ ，
2 2 4 2
π π π 3π
因为x∈[0， ]，所以2x− ∈[− ， ]，
2 4 4 4
π π 3π √2
所以当2x− = ，即x= 时，y ＝1+ ．
4 2 8 max 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】考点十 正余弦定理的应用
23．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝
．
【解析】a＝4，b＝5，c＝6，
b2+c2−a2 25+36−16 3
由余弦定理得，cosA= = = ，
2bc 2×5×6 4
又∵A （0， ），
∴sinA＞0，
∈ π
√ 3 √7
∴sinA=√1−cos2A= 1−( ) 2= ．
4 4
√7
故答案为： ．
4
24．（2021•浙江）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2√3，则AC
＝ ；cos∠MAC＝ ．
【解析】在△ABM 中：AM2＝BA2+BM2﹣2BA•BMcos60°，∴（2√3）2＝22+BM2﹣
1
2×2•BM• ，∴BM2﹣2BM﹣8＝0，解得：BM＝4或﹣2（舍去）．
2
∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中：AC2＝22+82﹣2×2×8cos60°＝52，
∴AC＝2√13；
(2√3) 2+(2√13) 2−42 2√39
在△AMC中：cos∠MAC= = ．
2×2√3×2√13 13
2√39
故答案为：2√13； ．
13
1
25．（2019•上海）在△ABC中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且cosC= ，则AB＝ ．
4
【解析】∵3sinA＝2sinB，
∴由正弦定理可得：3BC＝2AC，
∴由AC＝3，可得：BC＝2，
1
∵cosC= ，
4
1 32+22−AB2
∴由余弦定理可得： = ，
4 2×3×2
∴解得：AB=√10．
故答案为：√10．
26．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，
说明理由．
【解析】（1）∵2sinC＝3sinA，
∴根据正弦定理可得2c＝3a，
∵b＝a+1，c＝a+2，
∴a＝4，b＝5，c＝6，
a2+b2−c2 42+52−62 1
在△ABC中，运用余弦定理可得cosC= = = ，
2ab 2×4×5 8
∵sin2C+cos2C＝1，
√ 1 3√7
∴sinC=√1−cos2C= 1−( ) 2= ，
8 8
1 1 3√7 15√7
∴S = absinC= ×4×5× = ．
△ABC 2 2 8 4
（2）∵c＞b＞a，
∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
a2+b2−c2 a2+(a+1) 2−(a+2) 2
cosC= = ＜0，
2ab 2a(a+1)
∴a2﹣2a﹣3＜0，
∵a＞0，
∴0＜a＜3，
∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，
∴1＜a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝2．
27．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．
2π
（1）若A=
3
，求S△ABC ．
（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC ．
1 b2+c2−a2 5c2−9
【解析】（1）由余弦定理得cosA=− = = ，
2 2bc 4c2
9
解得c2= ，
7
1 √3 9√3
∴S△ABC =
2
bcsinA=
4
×2c2=
14
；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1，
1 2
∴sinC= ，sinB= ，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角，
3 3
√ 1 2√2
∴cosC= 1−( ) 2= ．
3 3
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c，
4√2±√5
∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c= ．
3
4√2+√5 8√2+2√5
当c= 时，b= 时C△ABC ＝3+4√2+√5；
3 3
4√2−√5 8√2−2√5
当c= 时，b= 时C△ABC ＝3+4√2−√5．
3 3
28．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点
D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．
b c
【解析】（1）证明：由正弦定理知， = =2R，
sin∠ABC sin∠ACB
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC＝asinC，
∵BDsin∠ABC＝asinC，
∴BD＝b；
（2）法一：由（1）知BD＝b，
2 1
∵AD＝2DC，∴AD= b，DC= b，
3 3
在 △ ABD 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ， cos∠ BDA
2
b2+( b) 2−c2
BD2+AD2−AB2 3 13b2−9c2
= = = ，
2BD⋅AD 2 12b2
2b⋅ b
3
在 △ CBD 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ， cos∠ BDC
1
b2+( b) 2−a2
BD2+CD2−BC2 3 10b2−9a2
= = = ，
2BD⋅CD 1 6b2
2b⋅ b
3
∵∠BDA+∠BDC＝ ，
∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0，
π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】13b2−9c2 10b2−9a2
即 + = 0，
12b2 6b2
得11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
2
∴c＝3a或c= a，
3
a2+c2−b2 a2+c2−ac
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC= = ，
2ac 2ac
7
当c＝3a时，cos∠ABC= ＞1（舍）；
6
2 7
当c= a时，cos∠ABC= ；
3 12
7
综上所述，cos∠ABC= ．
12
法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，
→ 1 → 2 →
∴BD= BA+ BC，
3 3
→ 1 → → 2 → →
∴BD2= BA⋅BD+ BC⋅BD，
3 3
而由（1）知BD＝b，
1 2
∴b2= bc⋅cos∠ABD+ ab⋅cos∠CBD，
3 3
即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，
4 1
b2+c2− b2 a2+b2− b2
由余弦定理知： 9 9 ，
3b=c⋅ +2a⋅
2bc 2ab
∴11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
2
∴c＝3a或c= a，
3
a2+c2−b2 a2+c2−ac
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC= = ，
2ac 2ac
7
当c＝3a时，cos∠ABC= ＞1（舍）；
6
2 7
当c= a时，cos∠ABC= ；
3 12
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】7
综上所述，cos∠ABC= ．
12
法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，
而由题意可知ac＝b² asinC＝bsin∠ABC，
于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝ ．
⇒
b2
若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽△CAB，于是CB²＝CD•CA a²= π a：b：c＝1：√3
3
⇒ ⇒
：3，
无法构成三角形，不合题意．
若∠BDC+∠ABC＝ ，则∠ADB＝∠ABC △ABD∽△ACB，
2b2
于是AB²＝AD•AC π c²= a：b：c＝ ⇒ 3：√6：2，满足题意，
3
⇒ ⇒ a2+c2−b2 7
因此由余弦定理可得cos∠ABC= = ．
2ac 12
29．（2020•浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA
−√3a＝0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（Ⅰ）∵2bsinA=√3a，
∴2sinBsinA=√3sinA，
∵sinA≠0，
√3
∴sinB= ，
2
∵△ABC为锐角三角形，
π
∴B= ，
3
π
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B= ，
3
2π
∴C= −A，
3
2π π 1 √3 1 1
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（ −A）+cos =cosA− cosA+ sinA+ = cosA
3 3 2 2 2 2
√3 1 π 1
+ sinA+ =sin（A+ ）+ ，
2 2 6 2
π π
△ABC为锐角三角形，0＜A＜ ，0＜C＜ ，
2 2
π π
解得 ＜A＜ ，
6 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分17百】π π 2π
∴ ＜A + ＜ ，
3 6 3
√3 π
∴ ＜sin（A + ）≤1，
2 6
√3 1 π 1 3
∴ + ＜sin（A + ）+ ≤ ，
2 2 6 2 2
√3+1 3
∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（ ， ]．
2 2
30．（2020•山东）在①ac=√3，②csinA＝3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理
由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，
π
C= ，_______？
6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】①ac=√3．
√3
△ABC中，sinA=√3sinB，即b= a，
3
√3
ac=√3，∴c= ，
a
a2 3
a2+ −
a2+b2−c2 3 a2 √3
cosC= = = ，
2ab 2√3a2 2
3
∴a=√3，b＝1，c＝1．
②csinA＝3．
π
△ABC中，csinA＝asinC＝asin =3，∴a＝6．
6
∵sinA=√3sinB，即a=√3b，∴b=2√3．
a2+b2−c2 36+12−c2 √3
cosC= = = ，
2ab 2×6×2√3 2
∴c=2√3．
③c=√3b．
∵sinA=√3sinB，即a=√3b，
又∵c=√3b，
a2+b2−c2 √3 π
cosC= = ≠cos ，
2ab 6 6
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】π
与已知条件C= 相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
6
31．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【解析】（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝ ，
∴4C＝ ，
π
π
∴C= π，
4
∵2sin（A﹣C）＝sinB，
∴2sin（A﹣C）＝sin[ ﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，
π
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
√2 √2
∴ sinA=3× cosA，
2 2
1
∴sinA＝3cosA，即cosA= sinA，
3
1
又∵sin2A+cos2A＝1，∴sin2A+ sin2A=1，
9
9
解得sin2A= ，
10
又∵A （0， ），∴sinA＞0，
3√10
∴sinA
∈= π
；
10
3√10 1 √10
（2）由（1）可知sinA= ，cosA= sinA= ，
10 3 10
3√10 √2 √10 √2 2√5
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
10 2 10 2 5
AB AC BC 5
= = = =
∴sinC sinB sinA π 5√2，
sin
4
2√5 3√10
∴AC＝5√2sinB＝5√2× =2√10，BC＝5√2×sinA=5√2× =3√5，
5 10
设AB边上的高为h，
1 1
则 AB⋅ℎ = ×AC×BC×sinC，
2 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】5 1 √2
∴ ℎ = ×2√10×3√5× ，
2 2 2
解得h＝6，
即AB边上的高为6．
32．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
cosA sin2B
= ．
1+sinA 1+cos2B
2π
（1）若C= ，求B；
3
a2+b2
（2）求 的最小值．
c2
cosA sin2B
【解析】（1）∵ = ，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．
1+sinA 1+cos2B
cosA 2sinBcosB sinB
= =
∴ ，
1+sinA 2cos2B cosB
化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）＝sinB，
2π
∴﹣cosC＝sinB，C= ，
3
1
∴sinB= ，
2
π π
∵0＜B＜ ，∴B= ．
3 6
π
（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C （ ， ），
2
π ∈ π
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C− ．
2
π
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C− ）＝﹣cos2C，
2
a2+b2 sin2A+sin2B cos22C+cos2C (1−2sin2C) 2+(1−sin2C) 2+4sin4C−5sin2C 2
= = = = = +
c2 sin2C sin2C sin2C sin2C sin2C
1
4sin2C﹣5≥2√2×4−5＝4√2−5，当且仅当sinC = 时取等号．
√4 2
a2+b2
∴ 的最小值为4√2−5．
c2
33．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c
√3 1
为边长的三个正三角形的面积依次为S ，S ，S ．已知S ﹣S +S = ，sinB = ．
1 2 3 1 2 3 2 3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】（1）求△ABC的面积；
√2
（2）若sinAsinC= ，求b．
3
1 √3
【解析】（1）S = a2sin60°= a2，
1 2 4
1 √3
S = b2sin60°= b2，
2 2 4
1 √3
S = c2sin60°= c2，
3 2 4
√3 √3 √3 √3
∵S ﹣S +S = a2− b2+ c2= ，
1 2 3 4 4 4 2
解得：a2﹣b2+c2＝2，
1
∵sinB= ，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，
3
2√2
∴cosB= ，
3
a2+c2−b2 2√2
∴cosB= = ，
2ac 3
3√2
解得：ac= ，
4
1 √2
S△ABC =
2
acsinB=
8
．
√2
∴△ABC的面积为 ．
8
b a c
（2）由正弦定理得： = = ，
sinB sinA sinC
bsinA bsinC
∴a= ，c= ，
sinB sinB
3√2
由（1）得ac= ，
4
bsinA bsinC 3√2
∴ac= • =
sinB sinB 4
1 √2
已知，sinB= ，sinAsinC= ，
3 3
1
解得：b= ．
2
34．（2022•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=√5c，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】3
cosC= ．
5
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．
3 π 4
【解析】（Ⅰ）因为cosC= ＞0，所以C （0， ），且sinC=√1−cos2C= ，
5 2 5
a c ∈
由正弦定理可得： = ，
sinA sinC
asinC a √5 4 √5
即有sinA= = sinC= × = ；
c c 4 5 5
√5
（Ⅱ）因为4a=√5c a= c＜c，
4
⇒
π
所以A＜C，故A （0， ），
2
∈
√5 2√5
又因为sinA= ，所以cosA= ，
5 5
11√5
所以sinB＝sin[ ﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC= ；
25
π
a c b
由正弦定理可得： = = = 5√5，
sinA sinC sinB
所以a＝5√5sinA＝5，
1 1 4
所以S△ABC =
2
absinC =
2
×5×11×
5
= 22．
考点十一 三角形中的几何计算
35．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度
为4米，坡面与水平面所成夹角为 ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025
﹣cos ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 ＝ ．
θ
4
【解析θ】斜坡的长度为l= ， θ
sinθ
4 4.1−4cosθ
上坡所消耗的总体力y= ×（1.025﹣cos ）= ，
sinθ sinθ
4sinθ⋅sinθ−(4.1−4cosθθ)cosθ
4−4.1cosθ
函数的导数y′= = ，
sin2θ sin2θ
40 40
由y′＝0，得4﹣4.1cos ＝0，得cos = ， ＝arccos ，
41 41
θ40 θ 40 θ π
由f′（x）＞0时cos ＜ ，即arccos ＜＜ 时，函数单调递增，
41 41 2
θ θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】40 40
由f′（x）＜0时cos ＞ ，即0＜ ＜arccos 时，函数单调递减，
41 41
40 θ θ
即 ＝arccos ，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．
41
θ 40
故答案为： ＝arccos ．
41
θ
36．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等
的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形
S
直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S ，小正方形的面积为S ，则
1=
．
1 2 S
2
【解析】∵直角三角形直角边的长分别为3，4，
∴直角三角形斜边的长为√32+42=5，
即大正方形的边长为5，∴S ＝52＝25，
1
1
则小正方形的面积S
2
＝S
1
﹣S阴影 ＝25﹣4×
2
×3×4＝1，
S
∴
1=
25．
S
2
故答案为：25．
37．（2019•浙江）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若
∠BDC＝45°，则BD＝ ，cos∠ABD＝ ．
4
【解析】在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，sinC= ，
5
3 BD
= 12√2
在△BCD中，可得√2 sinC，可得BD= ；
5
2
√2 √2 4 3
∠CBD＝135°﹣C，sin∠CBD＝sin（135°﹣C）= （cosC+sinC）= ×（ + ）
2 2 5 5
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分23百】7√2
= ，
10
7√2
即有cos∠ABD＝cos（90°﹣∠CBD）＝sin∠CBD= ，
10
12√2 7√2
故答案为： ， ，
5 10
38．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面
积为√3，D为BC的中点，且AD＝1．
π
（1）若∠ADC= ，求tanB；
3
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
【解析】（1））D为BC中点，S =√3，
ΔABC
√3
则S = ，
ΔACD 2
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
1 √3 1 √3 √3
△ADE中，DE= ，AE= ，S = ⋅ CD= ，解得CD＝2，
2 2 ΔACD 2 2 2
5
∴BD＝2，BE= ，
2
√3
AE 2 √3
故tanB= = = ；
BE 5 5
2
→ 1 → →
（2）AD= (AB+AC)，
2
→ 1
AD2= (c2+b2+2bccosA)，
4
AD＝1，b2+c2＝8，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分24百】1
则1= (8+2bccosA)，
4
∴bccosA＝﹣2①，
1
S = bcsinA=√3，即bcsinA=2√3②，
ΔABC 2
由①②解得 tanA=−√3，
2π
∴A= ，
3
∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
39．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD
上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
【解析】（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
1
由余弦定理可得 OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（− ）＝
2
196，
OP BP
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得 = ，
sin120° sin∠POB
14 6
= 3√3
所以√3 sin∠POB，解得sin∠POB= ，
14
2
3√3
所以∠POB的大小为arcsin ；
14
（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，
∵曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
∵P，Q关于OM对称，
∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM ＝S△POM ＝ ，
π
则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP =
2
−α， α
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分25百】则五边形面积S＝2（S△AOQ +S△QOM ）
1 π 1
＝2[ ⋅OQ⋅OA⋅sin( −α)+ ⋅OQ⋅OM⋅sinα]
2 2 2
＝196sin +140cos
5
＝28√74α sin（ + α），其中tan = ，
7
α φ φ
当sin（ + ）＝1时，S五边形MQABP 取最大值28√74，
∴五边形 αMφQABP面积S的最大值为28√74．
40．（2019•上海）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，^BC为四分之一圆弧，BD＝
39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．
（1）求^BC的长度；
（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）
【解析】（1）由题意可得，BC＝BDsin22°，弧 BC 所在的圆的半径 R＝BCsin
π √2
= BC，
4 2
1 1 √2 √2
弧BC的长度为 πR= π⋅BC⋅ = ×3.141×39.2×sin22°=16.310km；
2 2 2 4
BD AB
（2）根据正弦定理可得， = ，
sinA sin58°
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分26百】39.2
∴sinA= ×sin58°=0.831，A＝56.2°，
40
∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，
∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km
∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分27百】
