文档内容
专题 06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................10
题型一：唯一零点求值问题 10
题型二：不动点与稳定点 11
题型三：运用反函数思想妙解压轴题 12
题型四：倍值函数 13
题型五：最值函数 15
题型六：嵌套函数 16
题型七：共零点问题 17
题型八：双参数比值型问题 18
题型九：指数函数与对数函数的交点 19
题型十：曼哈顿距离问题 20
题型十一：平口单峰函数 22
题型十二：三次函数 23
题型十三：指对同构 25
题型十四：切线放缩与夹逼 26
题型十五：整数解问题 28
题型十六：导数中的“最短距离”问题 29
题型十七：等高线问题 31
重难点突破：多变量问题 32高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与
函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，
以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建
模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年天津卷第15题，5分
2024年II卷第6题，5分 预测 2025 年高考数学，
掌握零点概念， 导数知识将成为重头戏。它或
零点 2023年II卷第11题，5分
熟练求解方法。 以简洁明了的选择题、填空题
2022年I卷第10题，5分 形式独立出现，主要考察基础
计算与几何理解，难度相对较
2021年I卷第7题，5分
低；或巧妙融入解答题之中，
成为解题关键。特别是利用导
掌握导数应用， 数探究函数单调性、极值与最
2024年II卷第8题，5分
不等式 解决不等式问 值等深层次应用，预计将作为
题。
2021年II卷第16题，5分
选择题、填空题的难点部分，
出现在题序后端，难度适中偏
上，综合考察学生的分析能力
和解题技巧。这样的设计既考
2024年 I卷第10题，6分
验学生的基础知识，又挑战其
理解性质，熟练
三次函数 2022年 I卷第10题，5分 综合运用能力，是高考数学中
求解应用。
的一大亮点。
2021年 乙卷第12题，5分1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对 进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ， 对 于 三 次 函 数 ， 其 导 函 数 为
，根的判别式 ．
判别式
图象
增区间： ，
单调性 ； 增区间： 增区间：
减区间：
图象
（1）当 时， 恒成立，三次函数 在 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零
点；
（2）当 时， 有两根 ， ，不妨设 ，则 ，可得三次函数 在
， 上为增函数，在 上为减函数，则 ， 分别为三次函数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若 ，则 有且只有 个零点；
② 若 ，则 有 个零点；③ 若 ，则 有 个零点．
特别地，若三次函数 存在极值点 ，且 ，则 地解析式
为 ．
同理，对于三次函数 ，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 ．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明 ．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，曲
线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 与 在 上有两个不同的
交点，则 的取值范围为 ．
4．（2024年天津高考数学真题）设 ，函数 .若f (x)恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
6．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，C．当 时， D．当 时，
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023年北京高考数学真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是 .
11．（2023年天津高考数学真题）设 ,函数 ,若f (x)恰有两个零点，则 的
取值范围为 ．
12．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线13．（2022年新高考天津数学高考真题）设 ，对任意实数x，用f (x)表示 中的较
小者．若函数 至少有3个零点，则 的取值范围为 .
14．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
15．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
16．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个
取值为 ；a的最大值为 ．题型一：唯一零点求值问题
【典例1-1】已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【典例1-2】已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．1
根据偶函数零点特性可知：若偶函数有唯一零点，则必然在 处取得，即 .
【变式1-1】已知函数 有唯一零点，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．
【变式1-2】已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，若
函数 有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或11．已知函数 有唯一零点，则实数 （ ）
A． B． C． D．1
2．已知函数 ， ，若 与 的图象有且只有一个公共点，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
3．函数 有且只有一个零点，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：不动点与稳定点
【典例2-1】设函数 （ ， 为自然对数的底数）.若曲线 上存在
使得 ，则 的取值范围是 .
【典例2-2】设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线 上存在一点
使得 ，则 的取值范围是 ．
1、不动点
定义：一般地，对于定义在区间 上的函数 ，若存在 ，使得 ，则称 是函
数 的一阶不动点，简称不动点．
从代数角度看，一阶不动点是方程 的根．
从几何角度看，一阶不动点是曲线 与直线 的交点的横坐标．2、稳定点
定义：若存在 ，使 ，则称 是函数 的二阶不动点，简称稳定点．
从代数角度看，二阶不动点是方程 的解，也就是方程组 的解；
从几何角度看，函数 的二阶不动点是指：函数 图象上关于直线 对称的两点的横坐标
（即函数 与其反函数 的交点的横坐标），或直线 与函数 交点的横坐标．
3、不动点与稳定点的结论
（1） 有解等价于 有解．特别地，当函数 单调递增时，
的解与 的解相同．
（2） 无解等价于 无解．
（3） 有解等价于 有解．
（4） 无解等价于 无解．
【变式2-1】已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则
实数 的取值范围是 ．
【变式2-2】设函数 ，若曲线 上存在点 , 使得 成立，
求实数 的取值范围为 .
1．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数 ，若曲线 上存在点 ，使得，则实数 的取值范围是 ．
2．已知 .若 ，则 的取值范围是 .
3．对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”；若 ，则称 为函数
的“稳定点”．如果函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数 的
取值范围是 ．
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
【典例3-1】（2024·高三·江苏·课后作业）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的
最小值为 ．
【典例3-2】已知函数 ， ，且 ，给出下列结论：
（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，
则上述正确结论的序号是 .
1、反函数定义：已知函数 ，其值域为 ．如果对 中的任意给定的一个
值 ，在 中满足 的 值有且仅有一个，那么由此得到的 关于 的函数叫作
的反函数，记作 ．因为习惯上将 视为自变量， 视为函数值，所以通常将该
函数写为 ．
2、反函数性质：原函数与反函数关于 对称．【变式3-1】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，若|PQ|的最小值为 ，则
.
【变式3-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）已知函数 与函数 互为反函数，它们的图象
关于 对称．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
1．设 分别是方程 和 的根，则 ．
2．（2024·高三·广东佛山·开学考试）已知函数 ，对任意的正实数x都有 恒
成立，则a的取值范围是 ．
题型四：倍值函数
【典例4-1】已知函数 （ 且 ），若存在实数 ，使函数 在
上的值域恰好为 ，则 的取值范围为 .
【典例4-2】已知函数 ，当 时， 的值域为 ，则实数 的取值范围是
.对于函数 ，这样的问题称之为倍值函数问题，该类问题主
要有三个模型：（1）模型一：函数单调递增，方程同构即可；（2）模型二：函数单调递减，
两式相减即可；（3）模型三：函数有增有减，分类讨论即可．
【变式4-1】已知函数 ，若存在实数 ， ，使得函数 在区间 的值域为
，则实数 的取值范围是 ．
【变式4-2】已知函数 ， 的解集为 ，若 在
(0,+∞)上的值域与函数 在 上的值域相同，则实数 的取值范围为 .
1．（2024·高三·浙江·开学考试）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
(1) 在 上是单调函数；(2) 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍
值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．（填上所有正确的序号）
① ；
② ；
③ ；
④ ．
2．已知函数 的定义域为 ，若存在区间 使得 ：
（Ⅰ） 在 上是单调函数；（Ⅱ） 在 上的值域是 ，
则称区间 为函数 的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有 （填上所有你认为正确的序号）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
3．对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为 ，则称 为 倍值
函数.若 是 上 倍值函数，则实数 的取值范围是 .
题型五：最值函数
【典例5-1】（2024·天津北辰·三模）设 ，对任意实数x，记 ．若
有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知 或
，则 的最小值为 ．
指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大．
性质一：
．性质二： ．
【变式5-1】定义 为数集M中最大的数，已知 ，若 或 ，则
的最小值为 .
【变式5-2】（2024·云南昆明·三模）以 表示数集 中最大的数．已知 ， ， ，则
的最小值为
1．设 表示 ， ， 中最大的数，设 ，且 ，则 的最
小值为 ．
2．设 表示 ， ， ， 中最大的数，已知 ， 均为正数，则 的最小值为
.
3．（2024·全国·模拟预测）记 表示 这3个数中最大的数．已知 都是正实数，
，则 的最小值为 ．题型六：嵌套函数
【典例6-1】已知函数 ， ，则函数 的零点个数为
个．
【典例6-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知函数 有三个零点 ，且
有 ，则 的值为 .
嵌套函数：又名复合函数，指的是形如 的函数，嵌套函数零点问题的求解关键
在于“设 ”，注意定义域与值域的转化，结合图像解题．
【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为 .
【变式6-2】已知函数 有三个不同的零点 ，其中 则
的值为 .1．（2024·高三·湖北襄阳·期中）若函数 有极值点 ， ，则关
于 的方程 + 的不同实数根的个数是 .
2．若函数 有两个极值点 ，其中 , ，且 ，则
方程 的实根个数为 个.
3．若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，其中 ，
为自然对数的底数，则 的值为
题型七：共零点问题
【典例7-1】设函数 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．e D．前3个答案都不对
【典例7-2】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）设函数 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
共零点问题：此类问题往往是 的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【变式7-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，且 在定义
域内恒成立，则实数 的取值范围为 ．
1．若函数 是 上的单调减函数，已知 ，
,且 在定义域内恒成立，则实数 的取值范围为 .
2．设函数 ，若 ，则 的最小值为 .
3．设函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为 .
题型八：双参数比值型问题
【典例8-1】（2024·江苏·一模）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式
恒成立，则 的最大值为 ．【典例8-2】（2024·高三·浙江宁波·开学考试）设函数 ，若不等式 对任意
恒成立，则 的最大值为 ．
对于双参数比值型问题，零点比大小法是一种有效的解决策略。这种方法类似于数形结合的思想，
首先我们将问题中的曲线和直线部分“曲直分开”，分别绘制出它们的图像，并找出它们的零点。
在这里，直线的零点具有特殊的意义，它通常对应着我们待求的双参数比值。接下来，我们观察直线
和曲线的交点情况，特别是当直线的零点与曲线的零点重合时，这意味着双参数比值取得了最值（这个最
值可能是最大值，也可能是最小值，具体取决于题目的要求）。
在图像上，这种最值情况表现为直线与曲线在曲线的零点处相切。换句话说，当直线与曲线仅有一个
交点，并且这个交点恰好是曲线的零点时，双参数的比值就达到了它的最值。
因此，通过绘制曲线和直线的图像，寻找它们的零点，并观察它们之间的交点情况，我们可以直观地
找到双参数比值的最值。这种方法不仅直观易懂，而且在实际应用中非常有效。
【变式8-1】（2024·河北沧州·三模）若不等式 ， 对于 恒成立，则 的最大
值为 .
【变式8-2】已知关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，则 的最小值为 ．
1．已知m、n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值为
．
2．已知a， ，若关于x的不等式 在 上恒成立，则 的最大值为
．3．（2024·安徽合肥·模拟预测）设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，
则 的最小值是 .
题型九：指数函数与对数函数的交点
【典例9-1】（2024·山东济南·一模）设 分别是函数 和 的零点(其中 )，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数 的零点
为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
当 时，方程 有且只有三解；
当 时，方程 有且只有一解．
当 ，方程 无解
当 时，方程 有且只有一解．当 时，方程 有且只有两解
【变式9-1】设 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ），则 的取值
范围
A． B．[2,+∞) C． D．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）若函数 与其反函数的图像有交点，则实数 的值可以是
（ ）
A．1 B． C．2 D．
1．已知关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
2．已知指数函数 （ ，且 ）图象与其反函数的图象有公共点，则a的取值范围是
.
题型十：曼哈顿距离问题
【典例10-1】（2024·浙江·一模）设函数 ，当 时，记 的最大
值为 ，则 的最小值为 .
【典例10-2】设函数 ，当 时，记 最大值为 ，则
的最小值为 .结论1：已知 ， 为定点，且 ，则 到直线 上任意一点
的“曼哈顿距离”为： ．
结论2：已知两平行直线： ， ， 分别为 上
任意一点，则 之间的“曼哈顿距离”为： ．（证明过程留给读者）
【变式10-1】在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折
线距离”，则椭圆 上一点 和直线 上一点 的“折线距离”的最小值为
【变式10-2】（2024·山西晋中·三模）已知函数 的最大值为 ，
则满足条件 的整数 的个数为 ．
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为： .已知点 在圆 上，点 在直
线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·浙江·开学考试）设函数 ，当 时，记 的最大值为，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．e B． C．0 D．
3．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
题型十一：平口单峰函数
【典例11-1】已知函数 ，当 ， 时， 的最大值为 ，则
的最小值为
A． B． C． D．1
【典例11-2】已知 ， ，记 的最大值为 ，则 的最
小值是
A． B． C． D．
若 为 上连续的单峰函数，且 ，则称 为平口单峰函数．结论：若 为 上的平口单峰函数，且 ， 为极值点，则当 变化时，
的最大值中的最小值为 ，当且仅当 ， 时取得．
【变式11-1】已知函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，则 的最小值为
A．4 B．3 C．2 D．
【变式11-2】已知 ， ， ，若对于任意的 恒成立，则
．
1．已知函数 ，若对任意的实数 ， ，总存在 ， ，使得 成立，则实
数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
2．设函数 ，若对任意的正实数 和实数 ，总存在 ， ，使得 ，
则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．已知函数 ，对于任意的 ， ，都存在 ， 使得 成立，则实数的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
题型十二：三次函数
【典例12-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数 ，实数 满足 ，
，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例12-2】（2024·山西·一模）已知函数 存在极值点 ，且 ，其中
，
A．3 B．2 C．1 D．0
1、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
2、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
【变式12-1】已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为
B．若 满足 ，则C．若过点 可作曲线 的三条切线，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
【变式12-2】（2024·河北唐山·三模）已知函数 有两个极值点 ，且 ，若
，函数 ，则g(x)
A．仅有一个零点 B．恰有两个零点
C．恰有三个零点 D．至少两个零点
1．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）对于三次函数 （ ），给出定义：设 是
函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对
称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
3．设 分别满足方程 ， .则 .题型十三：指对同构
【典例13-1】（2024·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于 的
方程 （ ， ， ）可化为同构方程，则 ， ．
【典例13-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，
转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对
数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如 与 （可化为 ）可以同构为
.若已知 恒成立，则 的取值范围是 .
常见同构式
①积型
对数化: 令 ，得
指数化: 令 ，得
不等式两边同时取对数变形： 令 ，得
②商型
对数化: 令 ，得
指数化: 令 ，得
不等式两边同时取对数变形： 令 ，得③和差型
对数化: 令 ，得
指数化: 令 ，得
再比如 令 ，得 ．
【变式13-1】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如： ， ，称
与 为同构式．已知实数 满足 ， ，则 ．
【变式13-2】（2024·高三·四川内江·期中）若 恒成立，则 的取值范围为
.
1．（2024·湖南郴州·三模）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为 .
2．设实数 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
.
3．若关于 的不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 .题型十四：切线放缩与夹逼
【典例14-1】（2024·山西晋中·二模）若存在实数x，y满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【典例14-2】（2024·云南昆明·一模）若存在 ，满足 ，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
（1）指数函数的切线不等式：
① ；② ．
（2）对数函数的切线不等式：
① ；② ；③ ．
（3）三角函数的切线不等式：
①当 时， ；当 时， ；
②当 时， ；当 时， ．
③切线与割线相结合的形式：当 时， ．
【变式14-1】（2024·河南·一模）已知实数 满足 ，则
A． B． C． D．【变式14-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ， ，其中e为自然对
数的底数，若存在实数 使得 成立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
1．若 ， 是实数， 是自然对数的底数， ，则 .
2．若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围为 ．
3．完成下列各问
（1）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是 ；
（3）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是 ；
（4）已知不等式 对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（5）已知函数 ，其中 ，若 恒成立，则实数a与b的大小关系
是 ；
（6）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（7）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（8）已知不等式 ，对 恒成立，则k的最大值为 ；
（9）若 ，则实数a的取值范围是 ；
4．已知 ，则 的值是 .题型十五：整数解问题
【典例15-1】已知 ，存在唯一的整数 ，使得 成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【典例15-2】若满足 在 上恒成立的a唯一，则整数b的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
1、直接法：为了得到含参函数的单调性与最值，往往需要对参数进行分类讨论；
2、参数分离法：参数分离后，根据所得函数的图象，讨论参数的取值范围，分离又有完全分离与不
完全分离两种．
【变式15-1】已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个整数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】若不等式 （其中 ）的解集中恰有一个整数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．1．（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整
数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若当 时，关于x的不等式 恒成立，
则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十六：导数中的“最短距离”问题
【典例16-1】曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】设 表示自然对数的底数，函数 （ ），若关于 的不等式
有解，则实数 的值为（ ）
A． B． C．0 D．此类问题可以通过构造函数、平移直线或者利用不等式等方法来求解
【变式16-1】（2024·高三·天津和平·期中）已知函数 ，若对任意的
正实数t， 在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-2】（2024·河北石家庄·一模）已知函数 ，若存在 使得
成立，则实数 的值为
A． B． C． D．
1．点 是曲线 上的一个动点，点 是曲线 上的一个动点，则 的最小值为．
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为曲线 在点 处的切线上的一个
动点， 为圆 上的一个动点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
3．已知点P是曲线 上一点，若点P到直线 的距离最小，则点P的坐标为
.
题型十七：等高线问题
【典例17-1】函数 ，若 ，且a，b，c，d互不相等，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
对于函数 ，若 ，则直线 叫做函数 的等高线．此类题通常以求
取值范围的形式出现，其基本方法是“减元”，即充分利用函数值相等这一条件实施“消元”．
【变式17-1】已知函数 ，若关于x的方程 有4个不同的实根 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式17-2】设函数 ，若 （其中 ），
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实根 、 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程 恰有3个不同的实数解
B．函数 有两个极值点C．若关于x的方程 恰有1个解，则
D．若 ，且 ，则 存在最大值
重难点突破：多变量问题
【典例18-1】已知函数 ，若 有两个极值点 ， ，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例18-2】已知函数 有两个极值点 ， ，若不等式 恒成
立，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
求解双变量函数或不等式问题的基本思想是通过消元，将双变量问题转化为单变量问题加以解决．可
以利用双变量之间的关系代入消元；也可以通过整体换元后化为单变量函数；还可以分离双变量后，根据
同构式直接构造函数；对于多变量问题，可以合理选择其中一个变量为主元，逐个处理变量；对于某些含
有“任意”“存在”等关键词的恒成立或有解问题，则通过分析函数的值域或最值来解决．
【变式18-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，若 有两个极值点 、
且 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【变式18-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数 ， ，实数 ， 满足 ，
若 ， (0,+∞)，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
2．对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
3．（多选题）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x，x，若不等式
1 2
恒成立，则t的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
