文档内容
专题 06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：唯一零点求值问题................................................................................................................2
题型二：不动点与稳定点....................................................................................................................3
题型三：运用反函数思想妙解压轴题................................................................................................5
题型四：倍值函数................................................................................................................................7
题型五：最值函数................................................................................................................................9
题型六：嵌套函数..............................................................................................................................12
题型七：共零点问题..........................................................................................................................15
题型八：双参数比值型问题..............................................................................................................16
题型九：指数函数与对数函数的交点..............................................................................................18
题型十：曼哈顿距离问题..................................................................................................................21
题型十一：平口单峰函数..................................................................................................................24
题型十二：三次函数..........................................................................................................................26
题型十三：指对同构..........................................................................................................................27
题型十四：切线放缩与夹逼..............................................................................................................29
题型十五：整数解问题......................................................................................................................30
题型十六：导数中的“最短距离”问题..........................................................................................33
题型十七：等高线问题......................................................................................................................35
重难点突破：多变量问题..................................................................................................................38
02 重难创新练....................................................................................................................................41题型一：唯一零点求值问题
1．已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为 ，设 ，则
，因为 ，所以函数 为偶函数，若函数 有唯一零点，则
函数 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当 时， 才满足题意，即 是函数
的唯一零点，所以 ，解得 .故选：C.
2．已知函数 有唯一零点，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以
所以 ，故函数 关于直线 对称，
故由函数 存在唯一零点得零点只在 处取得即 ，所以 ，解得 .
故选：A.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知条件可知
由函数奇偶性易知
令 ， 为偶函数.
当 时， ，
单调递增，当 时， 单调递减， 仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在 处有极小值，
则函数只有 一个零点，即 ，
解得 ，
故选：A
题型二：不动点与稳定点
4．设函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 成
立，则实数a的取值范围是 .【答案】
【解析】因为 在曲线 上， ，∴ .
由于 在定义域内是增函数，
所以若 ，则 ，与 矛盾，
若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，
则问题转化为 在 内有解，即方程 在 内有解，
得方程 在 内有解，令 ，
则 ，∴ 时， ，
即 在 上单调递增，所以 .
故答案为：
5．已知函数 ，若曲线 （ 为自然对数的底数）上存在点 使得
，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】结合函数的解析式： 可得： ，
令y′=0，解得：x=0，
当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，
则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，
则当x=0时，取最大值，最大值为e，
∴y 的取值范围（0，e]，
0结合函数的解析式： 可得： ，
x∈（0，e）， ，
则f（x）在（0，e）单调递增，
下面证明f（y ）=y ．
0 0
假设f（y ）=c>y ，则f（f（y ））=f（c）>f（y ）=c>y ，不满足f（f（y ））=y ．
0 0 0 0 0 0 0
同理假设f（y ）=c0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为 ，
当x→0时，a→-∞，
∴a的取值范围 .
6．（2024·河南·二模）已知函数 ，若曲线 上存在点 使得
，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若曲线 上存在点 ，故 ，
设 ，则 ，即 都在 图象上，不难发现该两点关于 对称，故
有解有解，
令 ， ，即 在 上单调递增，
所以
故答案为：
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
7．若 满足 满足 则 等于 ．
【答案】
【解析】由题意 ，故有
故 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横坐标.
根据函数 和函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
故曲线 和曲线 的图象交点关于直线 对称.
即点 和点 构成的线段的中点在直线 上，
即 ，解得 ，
故答案为： .
8．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则
．
【答案】3
【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是 .
因为 ， 互为反函数，其图象关于直线 对称， 与 垂直，所以 .
又 ，所以 .
所以 .
故答案为：3
9．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由 ，得： ， .
所以 与 互为反函数．
则它们的图象关于 对称．
要使 的距离最小，则线段 垂直直线 .
点 在曲线 上，点Q在曲线 上，
设 ， .
又P，Q的距离为P或Q中一个点到 的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线 的最短距离所以当 ，即 时，d取得最小值 ，
则 的最小值等于 .
故答案为：
题型四：倍值函数
10．已知 是定义在实数集R上的奇函数，a为非正的常数，且当 时， 若存在实数
，使得 的定义域与值域都为 ，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】 ，
当 时， 为减函数，
是定义在实数集R上的奇函数，所以 的图象关于原点对称，
时， 为减函数，
又由奇函数特性可知
所以可由图像易知函数 是实数集R上的减函数，
由题可得
当 时， ，所以 无解；
当 时， ，所以 无解；
，
的定义域与值域都为 ，
两式相加可知： 舍 或 ，
，
．
故答案为： ．
11．（2024·高三·黑龙江大庆·开学考试）定义区间 长度 为，已知函数
的定义域与值域都是 ，则区间 取最大长度时 的值为
.【答案】
【解析】因为 ，所以 在 和(0,+∞)上都是单调递增函数，所以
或
因为值域是 ，所以
即 为方程 两个不同的实根,
所以 或
长度为
所以当 时， 长度取最大值，
故答案为：3
12．定义在区间 长度为 ，已知函数 （a∈R，a≠0）的定义域与值域
都是 ，则区间 取最长长度时a的值是 ．
【答案】7
【解析】函数 的定义域为 ，显然 在 上单调递增，
依题意， 或 ，因此 在 上单调递增，则有 ，
于是得 是方程 的同号相异实根，即方程 的同号相异实根，
则 ，解得 或 ，且 ，此时 同号，
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以区间 取最长长度时，a的值是7.
故答案为：7
题型五：最值函数
13．设 ，对任意实数x，记 ，其中 ．若 至
少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14．设 表示a，b，c中最大的数．设. ，且 ，则 的最
小值为 ．
【答案】
【解析】令 其中 ，
所以 ，若 ，则 ，故 ，
令 ，
因此 ,故 ,则 ，
可知 的最小值为 ，
故答案为：
15．（2024·贵州·三模）以 表示数集 中最大（小）的数.设 ，已知
，则 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ，
由
，
当且仅当 时，取等号，
所以 .
故答案为： .题型六：嵌套函数
16．（2024·安徽安庆·三模）已知函数 有三个零点 ， ， ，且
，其中 ， 为自然对数的底数，则 的范围为
．
【答案】
【解析】由 ，两边同时除以 变形为 ，
有
设 即 ，所以
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，当 时， 其大致图像如下．
要使关于x的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ．
结合图像可得关于t的方程 一定有两个不等的实数根 ，
且 ，从而 ．
， ，则 ， ．所以
.
故答案为：
17．已知函数 ，若函数 有4个零点 ， ， ， ，则
；若关于 的方程 有 个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
根函数的图象变换，函数 的图象关于 对称，
根据二次函数的性质，可得函数 的图象关于 对称，
在坐标系中作出函数 的图象，如图所示，
函数 有4个零点 ， ， ， ，
可得 ，所以 ；
令 ，则方程 可化为 ，因为 有8个不等的实数根，
则方程 必有4个实数根，所以 ，
所以 在 有2个不同的实数根，
令 ，可得其对称轴的方程为 ，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： ； .
18．若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程
的不同实根个数是 ．
【答案】3
【解析】因 ，故由题设可知 有两解 ，因此方程
有两个根 ．如图，由于 ，因此一定存在唯一的 使
得 ，故方程 有三个实数根，故答案为 ．
题型七：共零点问题
19．已知函数 ， ，若函数 在 上是
增函数，且 在定义域上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数 在 上是增函数，所以
恒成立，故 ，即 ，所以 .故 即 在
(0,+∞)上恒成立，等价于 ①，或 ②.
由①得 ③，构造函数 ， ，所以 在 上 ，
递减，在 上 ， 递增，最小值为 ，所以③等价于 ，解得
.由②得 ④.由 解得 .根据 和 的单调性可知，当且仅当 时，④成
立.
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为 .
20．设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为 .
【答案】 /0.5
【解析】当 时， ；当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
若 恒成立，则必须 ，即 ，
所以 ，
所以当 ， 时， 取到最小值 .
故答案为：
21．设函数 ．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】当 时， ，此时要使 ，还需 恒成立，即还需
，
当 时， ，此时要使 ，还需 恒成立，即还需 ，
综上所述， ，即 ，所以 ，所以 的最小值为 ，等号成立当且仅当 .
故答案为： .
题型八：双参数比值型问题
22．已知不等式 对任意 恒成立（其中e为自然对数的底数，a， ）则 的最小值为
.
【答案】
【解析】令 ，利用导数研究函数的单调性，求出其最小值，则最小值大于等于零，即可
得到 ，则 ，所以 ，令 ， 利用导数求出
的最小值即可得解；令 ，则 恒成立，
所以
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时，由 ，得 ，当 时， 即 在 上单调递减，当
时， 即 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，即 ，
则 ，
所以 ，令 ， ，则 ，
所以当 时， 即 在 上单调递增，当 时， 即 在 上单调递减，故 ，
故
故答案为：
23．已知 ，若关于x的不等式 对一切正实数x恒成立，则当 取最小值时，实
数 的值为 .
【答案】
【解析】不等式 对一切正实数 恒成立，
即直线 恒在曲线 的上方．
当 最小，即直线 与 交点的纵坐标最小．
根据图象可知，
当 时， ,
所以当直线 与曲线 相切于点 时， 取最小值 .
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
24．已知不等式 （ ，且 ）对任意实数 恒成立，则 的最大值
为 .【答案】 .
【解析】令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，
则f′（x）＝1﹣ （x＞0），
若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→﹣∞，不合题意；
∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，
当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x＝m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，
即n﹣3≤m+1﹣（m+3）ln（m+3），
≤ ，
令g（x）＝ ，
则g′（x）＝ ．
当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴当x＝﹣1时，g（x）有最大值为﹣ln2．
即 的最大值为﹣ln2 ．
故答案为： .
题型九：指数函数与对数函数的交点
25．函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ， ，即 ，即 ；
， ，则 ，即 .
设 ，则函数在 上单调递增， ，故 ，即 ，
，当 时， 不成立，故 ，
等号不成立，故 ，ACD错误B正确.
故选：B
26．设 , 分别是函数 和 的零点（其中 ）,则 的取值范围是
（ ）
A．[2,+∞) B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一:（图象法）根据题意可知 分别为 与 和 与 交点的横坐标,,再
根据同底数的指数对数函数互为反函数,有 .代入 ,再根据区间 上单调递增,所
以 .
解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知 、 是方程 和 的根,又 ,所以函数
在(0,+∞)上单调递增,所以 .代入 在区间 上单调递增,所以
.解:解法一:（图象法）
根据函数零点的定义可知函数 与 的图象交点为 ,
同理可得函数 与 的图象交点为 .又因为函数 与 的图象关于直线 对称,
函数 的图象也关于直线 对称,
所以点 与点 关于直线 对称,所以 .
由 可知 ,所以 在区间 上单调递增,
所以 .
故选:D
解法二:（定义法）
根据函数零点的定义可知 是方程 的根,
所以 也是函数 的零点.
同理可得 是方程 的根,即 ,
所以 ,所以 也是函数 的零点.
又 ,所以函数 在(0,+∞)上单调递增,所以 .
由 可知 ,所以 在区间 上单调递增,
所以 .
故选:D
27．数学家已经证明：指数函数 与对数函数 的图象当且仅当 时有两个不同的公共点.若对任意的 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是 .（注：
是自然对数的底数）
【答案】
【解析】由题意可得 在 的上方，由对数的性质和指数函数的单调性，可得 的范围．“若对任
意的 ，都有 恒成立”等价于“函数 恒在函数 的上方”，
所以 ，即 ．
故答案为： ， ．
题型十：曼哈顿距离问题
28．已知点 是单位圆 上的动点，点 是直线 上的动点，定义
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过 作 轴， 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示，
则 ， ，
由于直线 的斜率是 ，
当 都在第一象限时，
①
取x＝x∈[0，1]时等号成立，
1 2则y＝ ，y＝6﹣2x＝6﹣2x，
1 2 2 1
则|x﹣x|+|y﹣y|＝|y﹣y|＝ ，
1 2 1 2 1 2
令x＝cos （ ∈[0， ]），
1
则|y﹣y|＝6﹣2cos ﹣sin ＝6﹣ （ + ）≥6﹣ ；
1 2
②
取y＝y∈[0，1] 时等号成立，
1 2
则x＝ ，x＝3﹣ ＝3﹣ .
1 2
则|x﹣x|+|y﹣y|＝|x﹣x|＝ ，
1 2 1 2 1 2
令y＝sin （ ∈[0， ]），
1
则|x﹣x|＝3﹣ ﹣cos ＝3﹣ sin（ + ）≥3 .
1 2
当 中至少有一个点不在第一象限时，明显 的取值会比 都在第一象限时大，
综上可得：|x﹣x|+|y﹣y|的最小值是3 .
1 2 1 2
故选：A.
29．（2024·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，定义两点 与 之间的“直角距离”为．给出下列命题：
（1）若 ， ，则 的最大值为 ；
（2）若 是圆 上的任意两点，则 的最大值为 ；
（3）若 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ．
其中为真命题的是
A．（1）（2）（3） B．（2） C．（3） D．
（2）（3）
【答案】D
【解析】对于（1）， ，
的最大值为 ，故（1）不正确．
对于（2），要使 最大，必有 两点是圆上关于原点对称的两点，可设 ，
则 ．故（2）正确；
对于（3），设 ，则 ，去掉绝对值后可知当 时， 取得最小
值 ，故（3）正确．故选D.
考点：信息题.
30．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两
点 的曼哈顿距离 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是5
D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
【答案】D
【解析】A选项， ，A错误；
B选项，设 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故在 轴上不存在点 ，使得 ，B错误；
C选项，点 在直线 上，设 ，
则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，C错误；
D选项，设 ，此时 ，
故 的值可能为4，D正确.
故选：D
题型十一：平口单峰函数
31．已知函数 ，当 ， 时，设 的最大值为 ，则 的
最小值为 ．
【解析】解：函数 ，当 ， 时，设 的最大值为 ，
可得 ，
，
，
可得 ， ， ，
，
即 ，
即有 ，当且仅当 ， 时取得等号，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
32．已知函数 ，当 ， 时， 的最大值为 ，则 的
最小值等于 ．
【解析】解：函数 ， ，
即四分之一圆 ， ， 上的点到直线 的最大距离为 ，此时圆上点记作 ，
如图所示，只有过 的中点且平行于直线 的直线才能满足条件，
故当 ， 时， 的最小值为 ， ， 与 的
纵向距离，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
解法二：
解：函数 ，
当 ， 时， 的最大值为 ，
可得 ，
，
，
可得 ， ， ，
，
即 ，
即有 ，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
33．已知函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，则 的最小值为
A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，
可得 ，
（1） ， （2） ，
可得
，
即为 ，
可得 的最小值为2．
故选： ．
题型十二：三次函数
34．（2024·广东广州·一模）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 = ，
故选：B.
35．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先设过点 的切线方程 ，切点 ，利用导数的几何意义列式，转化为
有三个解，通过设函数 ，问题转化为 与 有三个交点，求 的取值范围.设过点 的直线为 ，
，设切点为 ，
则 ，得 有三个解，
令 ， ，
当 ，得 或 ， ，得 ，
所以 在 ， 单调递增， 单调递减，
又 ， ， 有三个解，
得 ，即 .
故选：D
题型十三：指对同构
36．（2024·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于b
的方程 可化为同构方程，则 的值为 ．
【答案】
【解析】对 两边取自然对数，得 ①，
对 两边取自然对数，得 ，即 ②，
因为方程①②为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 且 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 的解只有一个，所以 ，则 ．
故答案为：
37．（2024·湖北·模拟预测）对于任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】不等式 恒成立等价于 即 ，
即 ，
由于 为增函数，
所以由 ，得 ，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减
易得 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
38．（2024·高三·重庆·开学考试）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，所以 ，令 ，则 ，
易得 在 上单调递增，所以 ，
即 在 恒成立，
令 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
题型十四：切线放缩与夹逼
39．已知函数 ， （其中e为自然对数的底数），若存在实数 ，使得
成立，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
故 在 上是减函数， 上是增函数，
故当 时， 的最小值为 ，又由
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，当且仅当两个不等式等号同时成立时，即 等号成立，
得 ，
故选：B.
40．（2024·浙江·一模）若 是实数， 是自然对数的底数， ，则
．
【答案】
【解析】令 ，则
．当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
故 ，所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递增；当 时， 单调递减．
故 ，所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）．
所以 ，又
，所以 ，解得 ，所以 ．
故答案为: .题型十五：整数解问题
41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个
整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知函数 的定义域为 ，且 ，
当 时，f'(x)>0；当 时，f'(x)<0，
所以 在 上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；
即 ，
又当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 且趋近于 ；
作出函数 的图象如下图所示：
易知 恒过定点 ，
由不等式 的解集中有且仅有一个整数可知 只有一个整数解；
令 ，利用一次函数图象性质可知，
当 时， 在(0,+∞)上恒成立，不合题意；当 时，若 只有1个整数解，因此整数必为1；
所以可得 ，即 ，解得 ；
即实数 的取值范围是 .
故选：B
42．（2024·全国·模拟预测）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由题意得， 在 上恒成立，
设 ， ，所以 ，
因为 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 在 上仅有一个实数根，设为 ，
所以 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 .
因为 ， ，所以 ，
将 代入可得 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，所以 ，
当 时， 不成立，
又 ，则整数 的最大值为 .
故选：B.
43．（2024·高三·江西·期末）若集合 中仅有2个整数，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于 ，设 ， ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时，f'(x)<0， 单调递减.
又 ， 时， ，
因此y=f (x)与y=g(x)的图象如图，
当 时，显然不满足题意；
当 时，当且仅当 ，或 .由第一个不等式组，得 ，即 ，
由第二个不等式组，得 ，该不等式组无解.
综上所述， .
故选：A.
题型十六：导数中的“最短距离”问题
44．若对任意的实数 ，函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 在R上是增函数，
∴ 在R上恒成立，
∴ ， ，
令y=t−lnt， ，则 ，
∴(0,1)上，y′<0，(1,+∞)上，y′>0，
∴t=1时，y =1，
min
∴ 的最小值为 ，∴ .
故选：A.
45．设函数 ，若关于 的不等式 有解，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 ，则 ，
令 ， ，
可知 的最小值即为 上的点 与 上的点 之间的距离平方的最小值，
若直线 与函数 的图象相切，设切点的横坐标为 ，
因为 ，可得 ，解得： ，
则切点为 ，且切点在 上，故 ，
点 到直线 的距离为 ，所以 ，
又因为 有解，则 ，
此时点P在 上，也在直线 在点P处的垂线即直线 上，
其中直线 在点P处的垂线的斜率为 ，
所以直线 在点P处的垂线方程为：
即点 坐标满足 ，解得 ，即 .故选：C．
46．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A． B．e C． D．
【答案】D
【解析】设零点为t，则 ，
因此 ，
考虑函数 ，其导函数 ，
因此函数 在 上单调递减，从而 的最小值为 ．
故选：D.
题型十七：等高线问题
47．已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数 的图象如下图所示：若关于 的方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，且 ，
由 可得 或 ，解得 或 ，
所以， ，
由 得 ，即 ，所以， ，
由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
所以， ，其中 ，
令函数 ，其中 ，则函数 在 上单调递增，
所以， ，即 ，即 .
故选：D.
48．已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】方程 ，显然 不为该方程的实数根，
设 ，
即方程 有三个不同的实数根 ，
即 有三个不同的实数根 ，
当 时， ，则 ，
由 ，可得 ； ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，当 时，
从而作出 的大致图像.
由图可知当 时，直线 与函数的图象有3个交点，
即方程 有三个不同的实数根.
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以所以 ．
故选：A．
49．已知函数 ，若存在实数 ， ， 且 ，使得 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出 的图象如图：
若存在实数 ，且 ，使得
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ,
所以 ，
由图可知， ,
所以
设 ， ，
所以 ，易知 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所 以 在 上 单 调 递 增，
所以 .
故选：A
重难点突破：多变量问题
50．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，当 时，不等式 恒成立
所以 恒成立，即 恒成立
设 ，则可得 在(0,+∞)上是增函数
则 在(0,+∞)上恒成立，即 在(0,+∞)上恒成立
令 ，则易知当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增
所以 ，所以 ，得
故选：D
51．已知函数 ，其中 ．若对于某个 ，有且仅有3个不同取值的 ，使得关
于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然 ，否则 ，于是 ，即 ，这与不等式的解集为
矛盾．
又易知 时，不等式 恒成立．于是仅需再分析 的情形．
易知 ，由 知 或 ，
所以 ．所以原问题等价于关于 的方程 有两解，
设 ，则 ， 时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ， 时， ， 时， ，
所以由关于 的方程 有两解，得 ，所以 ．
故选：C．
52．对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
令 ，则
， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
，则 的取值范围为
故答案选1．（2024·高三·江西·期中）已知函数 有两个零点 ， ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 有两个零点 ， ，
所以 与 的两个交点横坐标分别为 ， ，
结合图象知 ， ， ，
，则 ，
所以 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
又 在区间 上单调递减，所以 ，
所以 .
故选： .2．（2024·高三·云南·阶段练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为 ，故 ，
而 为(0,+∞)上的增函数，故 即 ，故 ，
设 ，则 ，
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，
故选：B.
3．（2024·山东威海·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
则 是偶函数，
又 ，当 时， 恒成立，
所以 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，又 ，且 ，即 ，所以 ，则 ，所以选项B正确，
当 时， ，所以选项A和D错误，
当 时， ，所以选项C错误，
故选：B.
4．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数 是定义在R上偶函数，当 时， ，
若函数 仅有4个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， 在 上单调递增，函数值集合为 ，
当 时， 在 上单调递减，函数值集合为 ，
又函数 是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数 图象：
函数 仅有4个零点，则函数 图象与直线 有4个交点，
当 时，函数 图象与直线 有4个交点，所以实数 的取值范围是 .
故选：A
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴ ，
令 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：B.
6．（2024·高三·湖南·期中）已知函数 ，若方程 恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，
若 时，由 求导得， ，
故当 时，f'(x)<0；当 时，f'(x)>0，
所以 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
当 时， ；当 时， ；
若 时，由 求导得， ，
因为 ，故恒有f'(x)>0，即 在 上单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
即当 时，恒有 .
作出函数 的大致图象如图所示.又由 可得 或 ，
由图知 有两个根，此时方程有2个不同的解；
要使方程 恰有5个不同的解，
需使 有3个零点，由图知，需使 ，
即 ，解得 .
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：B.
7．（2024·高三·上海黄浦·期末）设 ，满足 的x的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解析】由 可得 ，
即 ，其中 ，
所以原方程化为 ，即 ，
不妨令 ，因为 ，所以 ，易知 时， 成立，即 满足题意；
又 的周期为 ，且 ，
所以在区间 上还有一个根，如图所示，
故选：C
8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数 ，若关于x的方程 有2个
不同的实根 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】关于 的方程 有2个不同的实根 直线 与 的图象有2个不同的
交点，且交点横坐标异号；
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象，如图所示，
当 经过(0,2)时，且此时斜率为−2，由此逆时针旋转直线至靠近 轴都可满足要求，
由图可知 ，即 ，
故选：C.9．（2024·高三·四川成都·期中）已知 ，若关于 的不等式 在 上
恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， .
因为 ，所以 在 上单调递增.
当 时， ；当 时， .
因为 的图象开口向上， ，所以方程 有一正根一负根，
即函数 在 上有且仅有一个零点，且为异号零点.
由题意可得， ，则当 时， ；当 时， ，
所以 是方程 的根，则 ，即 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故选：A.
10．（多选题）（2024·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，则（ ）A． B．若 ，则 的极大值点为
C．若 至少有两个零点，则 D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【解析】A选项， ，
故 ，A正确；
B选项， ，若 ，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为极小值点，B错误；
C选项， ，当 时， ，故 在R上单调递增，不会有两个零点，舍去；
当 时，由B选项知， 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 处取得极小值，在 取得极大值，
且当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于 ，
其中 ， ，要想 至少有两个零点，则 ，
解得 ，C正确；
D选项，由C选项知，当 时， 在R上单调递增，满足在区间 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
其中 ，
故 ，所以 在区间 上单调递增，
综上， 在区间 上单调递增，D正确
故选：ACD
11．（多选题）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数 ，若函数
有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．6个零点之和是6
【答案】BD
【解析】由函数 的图象，经过 轴翻折变换，可得函数 的图象，
再向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过 轴翻折变换，可得 的图象，如图所示，
则函数 的图象关于直线 对称，令 ，
因为函数 最小的零点为 ，且 ，
故当 时，方程g(x)=0有4个零点，所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则 或 ，
由 ，可得 或 ，
设 的四个根从小到大依次为 ，
由函数y=f (x)的图象关于直线 对称，可得 ，
所以 的所有零点之和是6，故D正确；
关于 的方程 的两个实数根为 和 ，
由韦达定理，得 ，所以B正确，A，C错误.
故选：BD.
12．（多选题）（2024·四川内江·一模）给定函数 ， ．分别用 、 表示
、 中的最小者、最大者，记为 , ．下列说法正
确的是（ ）
A．
B．当直线 与曲线 有三个不同交点时，
C．当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点
D．函数 的值域为
【答案】ACD
【解析】函数 、 的定义域均为 ，且 ，所以， ，
，
对于A选项，当 时， ，则 ，此时， ，
当 时， ，则 ，此时， ，A对；
对于B选项，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，B错；
对于C选项，当 时， ，则 ，
因为 ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
当 时，由 ，
整理可得 ，可得 （舍去），
当 时，由 可得 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点，C对；
对于D选项，当 时， ，
当 时， .
综上所述，函数 的值域为 ，D对.
故选：ACD.
13．（2024·高三·天津·期中）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有
2个相异的实数解，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】当 时，由 ，得 ，
整理可得： ，
因为 不是方程的实数解，所以 ，当 时，由 ，得 ，
整理可得： ，
因为 不是方程的实数解，所以 ，
令 ，
其中 ，
由题意，关于 的方程 恰有2个相异的实数解
函数 与函数 有两个不同的交点；
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，
同时绘制函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
由 ， ，且 ，结合图象可知：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2024·高三·江西·期中）已知函数 ，若存在实数 ， ， 且 ，使得 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】根据题意作出函数y=f (x)的图象，如图所示，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 或 或 ，
由题意可知： 与y=f (x)有三个交点，则 ，
此时 ，且 ，
所以 ，
令 ，
则 恒成立，
所以 在 单增，
的最大值为 ，
即 的最大值为 .
15．（2024·高三·上海·期中）已知 ， ，且 ，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】由已知 ， ，则 ，
所以 ， 可视为方程 的两个解，且满足 ，
即 ， 可视为函数 的两个零点，且满足 ，
则 ，
解得 ，即 ，
则 ，
故答案为： .
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取
值范围为 .
【答案】
【解析】由题意 ，设点(x ,f (x ))为曲线 的切点，
1 1
则切线方程为 ，整理得 ，
将点 代入可得 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
又 ， ， 当 时，方程 有3个不同的实数根，
即当 时，有3个不同的 满足方程 ，
即过点 可作三条直线与曲线 相切.
故答案为： .
17．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ，
则 的值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 在点P(x ,y )处的切线方程为 ，即 ；
1 1
在点Q(x ,y )处的切线方程为： ，即 ，
2 2
由已知 ，得 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案为： ．
