文档内容
专题 06 三角函数及解三角形
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正
周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得： ，
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得 .
所以函数 最小正周期为
的
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 ，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 .
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解
能力，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α<0
C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以 ，
故选：D．
方法二：当 时， ，选项B错误；当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 在 中， ， ， ，
根据余弦定理： ，
，
可得 ，即 ，
由 ，
故 .
故选：A．
5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率 的方法
有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计
算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算
术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，，
则 .
故选：A．
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形
的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而故选：BC．
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难
的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
x，则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω
和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
9．【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f(x)= 有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x= 对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等
题.
10．【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．【2020年高考北京】若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．
【答案】 ( 均可)
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .故答案为： ( 均可).
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数
学运算能力，属于基础题.
12．【2020年高考浙江】已知 ，则 _______， _______．
【答案】 ；
【解析】 ，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．【2020年高考江苏】将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴
最近的对称轴的方程是 ▲ ．
【答案】
【解析】
当 时 .
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆
孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四
边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直
线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背
景，体现了五育并举的育人方针.
15．【2020年高考全国II卷理数】 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求 周长的最大值．
【解析】(1)由正弦定理和已知条件得 ，①
由余弦定理得 ，②
由①，②得 .
因为 ，所以 .(2)由正弦定理及(1)得 ，
从而 ， .
故 .
又 ，所以当 时， 周长取得最大值 .
16．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 的值；
(2)在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【解析】(1)在 中，因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
所以
(2)在 中，因为 ,所以 为钝角，而 ,所以 为锐角.
故 则 .
因为 ，所以 ， .
从而
.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
17．【2020年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)求 的值；
(Ⅲ)求 的值．
【解析】(Ⅰ)在 中，由余弦定理及 ，有 ．又
因为 ，所以 ．
(Ⅱ)在 中，由正弦定理及 ，可得 ．
(Ⅲ)由 及 ，可得 ，
进而 ．
所以， ．
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的
数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，
求：
(Ⅰ)a的值：
(Ⅱ) 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得：
选择条件②(Ⅰ)由正弦定理得：
(Ⅱ)
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知 ．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得 ，故 ，
由题意得 .
(Ⅱ)由 得 ，
由 是锐角三角形得 .
由 得
.
故 的取值范围是 .
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化
边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，
二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现
边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意
公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
1．【2020·上海高三一模】若不等式 对 上恒成立，则
A． B．
C．1 D．2
【答案】B
【解析】法一：
由题意可知：当 ， ，当 ， ，故当
， ，当 ， ，
即有 ，故选B；
法二：由 右图像可得：显然有 ，故选B．
【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用
数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究.
2．【2020·广东省高三其他(理)】已知四边形 中， ， ， ， ，E
在 的延长线上，且 ，则
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由余弦定理有
，
∴ ，
易知 ，又 ， ，故 ，
.故选：A
【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档
题.
3．【2020·安徽省高三三模(理)】函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当 时， ，排除B；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半
轴重合，终边与单位圆交于点 ，则 ＝
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由定义知sinα= ， ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，
熟练记忆公式即可解决，属于基础题目.
5．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的图象可得 ， ，故函数
是定义域内的减函数，且过定点 .结合所给的图像可知只有C选项符合题意.
故选：C．【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图
象特征，属于基础题．
6．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】已知 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据两角和差的余弦公式得到
，因为 ,得到sin = 或 代入
得到结果为 .
故答案为:A．
【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行
弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan 等；(3)和积转换法:利用
(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
7．【2020·广东省高三一模(理)】已知函数 的图象与直线
的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则 的单调递减区间是A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题设可知该函数的最小正周期 ，结合函数的图象可知单调递减区间是
，即 ，等价于 ，应选答案D．
【点睛】解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数
的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正
周期是 ，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
8．【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数 的最大值为
3， 的图象与y轴的交点坐标为 ，其相邻两条对称轴间的距离为 ，则 _____．
【答案】
【解析】 ，
因为函数 的最大值为 ，所以 ，所以 ，
由函数 相邻两条对称轴间的距离为 ，可得周期 ，
所以 ，所以 ,
所以 ，又 的图象与y轴的交点坐标为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.
9．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度
角为 ， 为此时太阳直射纬度(当地夏半年取正值，冬半年取负值)， 为该地的纬度值.已知太阳每年
直射范围在南北回归线之间，即 .如果在北京地区(纬度数约为北纬 )的一幢高
为 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于
_________.(只需列出式子)
【答案】
【解析】设两楼的距离为 ，
因为
则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足 对 恒成立,因此
，从而两楼的距离不应小于
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中
档题.
10．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】在 中，若 ，则 的最小值为
_______
【答案】
【解析】由 ，结合 ，
可得： ，
当且仅当 时， 取得最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
11．【2020·定远县育才学校高三其他(理)】已知函数 是奇函
数，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为
．若 的最小正周期为 ，且 ，则 ______．【答案】
【解析】函数 是奇函数，
所以 ，代入可得 ，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 ．
则 ， 的最小正周期为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，代入可得 ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三角函数解析式，
属于基础题.
12．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】设函数 ， 则下
列判断正确的是
A．函数的一条对称轴为B．函数在区间 内单调递增
C． ，使
D． ，使得函数 在其定义域内为偶函数
【答案】D
【解析】函数 ，
当 时，当 时， 不能使函数取得最值，
所以不是函数的对称轴，A错；
当 时， ，函数先增后减，B不正确；
若 ，那么 不成立，所以C错；
当 时， 函数是偶函数，D正确，
故选：D．
13．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
，且满足 .
(1)求 的面积 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)在 中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
(2)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴当 时， 取最大值 .
【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是
，这样可把 表示为角 的函数，从而求得最值．
14．【2020·湖北省高三其他(理)】已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S
．
(1)若a ，b ，求cosB．
(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B﹣A)的最大值．【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为三角形面积为S ，
所以 ，
解得 ，
因为a ，b ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 为锐角，
所以
(2)由(1)知 ，
所以sin(A+B)+sinBcosB+cos(B﹣A)，
，
， ，令 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
原式 ，
当 时，原式取得最大值 .
【点睛】本题主要考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差
的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．【2020·广东省高三其他(理)】在 中，已知内角 所对的边分别为 ，向量
，向量 ，且 ，角 为锐角.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)解法一：由 得 ，
即 ，
所以 ，
为锐角， ，，
即
解法二：由 得 ，
即
所以 即 ，
，即
为锐角，
所以 .
(2)解法一： ， 由余弦定理 ，
得
又 代入上式得 ，
当且仅当 时取等号成立.
，
故 的面积最大值为 .
解法二： ， 由正弦定理 ，得 ，所以 ，
，
由
.
因为 ，则当 即 时，
，
故 的面积最大值为 .
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角
形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(理)】在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、
，如果 、 、 成等差数列且 ．
(1)当 时，求 的面积 ；
(2)若 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为 、 、 成等差数列，
则： ，又 ，所以 ，因为： ，
，(负值舍)；
的面积 ；
(2) ；
即： ，当且仅当 时等号成立；
；
即 的最大值为： ．
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思
维能力和运算能力，属于常考题.
17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上
异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角 ，且点D与圆心O分布在PC的两
侧，设 ．
(1)把线段PC的长表示为 的函数；
(2)求四边形ACDP面积的最大值．【答案】(1) ， ； (2)5
【解析】(1)依题设易知 是以 为直角的直角三角形，
又 ，所以 .
在 ，由余弦定理得，
.
所以 ， 定义域为 .
(2)四边形ACDP面积为 ，
则
其中 为锐角.
因为 所以 .又因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值为 .
所以四边形ACDP面积的最大值为5 .
【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角 的函数,从而构建函数,再求
函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.
18．【2020·天津高三二模】已知函数
(1)求 的最小正周期；
(2)讨论 在区间 上的单调性；
【答案】(1) ；(2) 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.
【解析】(1)依题意，
所以 .
(2)依题意，令 ， ，
解得 ，
所以 的单调递增区间为 ， .设 ， ，易知 ，
所以当 时， 在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正
周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
19．【2020·广东省高三二模(理)】 中，D为 上的点， 平分 ， ， ，
的面积为 .
(1)求 的长；
(2)求 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 ， ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由余弦定理，得，
∴ .
(2)在 中，由余弦定理，得 ，
∴ ，
因为 平分 ，所以 ，
∴
，
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于基
础题.
20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模(理)】△ 的内角 的对边分别为 ,且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 , 的面积 ,求 的周长．
△
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)∵ ，∴ ．
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)依题意得：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
