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专题 06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：唯一零点求值问题................................................................................................................2
题型二：不动点与稳定点....................................................................................................................2
题型三：运用反函数思想妙解压轴题................................................................................................3
题型四：倍值函数................................................................................................................................3
题型五：最值函数................................................................................................................................3
题型六：嵌套函数................................................................................................................................4
题型七：共零点问题............................................................................................................................4
题型八：双参数比值型问题................................................................................................................4
题型九：指数函数与对数函数的交点................................................................................................5
题型十：曼哈顿距离问题....................................................................................................................5
题型十一：平口单峰函数....................................................................................................................6
题型十二：三次函数............................................................................................................................7
题型十三：指对同构............................................................................................................................7
题型十四：切线放缩与夹逼................................................................................................................7
题型十五：整数解问题........................................................................................................................8
题型十六：导数中的“最短距离”问题............................................................................................8
题型十七：等高线问题........................................................................................................................9
重难点突破：多变量问题....................................................................................................................9
02 重难创新练....................................................................................................................................11题型一：唯一零点求值问题
1．已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
2．已知函数 有唯一零点，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：不动点与稳定点
4．设函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 成
立，则实数a的取值范围是 .
5．已知函数 ，若曲线 （ 为自然对数的底数）上存在点 使得
，则实数 的取值范围为 .
6．（2024·河南·二模）已知函数 ，若曲线 上存在点 使得，则a的取值范围是 ．
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
7．若 满足 满足 则 等于 ．
8．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则
．
9．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .
题型四：倍值函数
10．已知 是定义在实数集R上的奇函数，a为非正的常数，且当 时， 若存在实数
，使得 的定义域与值域都为 ，则实数a的取值范围是
11．（2024·高三·黑龙江大庆·开学考试）定义区间 长度 为，已知函数
的定义域与值域都是 ，则区间 取最大长度时 的值为
.
12．定义在区间 长度为 ，已知函数 （a∈R，a≠0）的定义域与值域
都是 ，则区间 取最长长度时a的值是 ．题型五：最值函数
13．设 ，对任意实数x，记 ，其中 ．若 至
少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
14．设 表示a，b，c中最大的数．设. ，且 ，则 的最
小值为 ．
15．（2024·贵州·三模）以 表示数集 中最大（小）的数.设 ，已知
，则 .
题型六：嵌套函数
16．（2024·安徽安庆·三模）已知函数 有三个零点 ， ， ，且
，其中 ， 为自然对数的底数，则 的范围为
．
17．已知函数 ，若函数 有4个零点 ， ， ， ，则
；若关于 的方程 有 个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
18．若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程
的不同实根个数是 ．题型七：共零点问题
19．已知函数 ， ，若函数 在 上是
增函数，且 在定义域上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
20．设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为 .
21．设函数 ．若 ，则 的最小值为 ．
题型八：双参数比值型问题
22．已知不等式 对任意 恒成立（其中e为自然对数的底数，a， ）则 的最小值为
.
23．已知 ，若关于x的不等式 对一切正实数x恒成立，则当 取最小值时，实
数 的值为 .
24．已知不等式 （ ，且 ）对任意实数 恒成立，则 的最大值
为 .
题型九：指数函数与对数函数的交点
25．函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．设 , 分别是函数 和 的零点（其中 ）,则 的取值范围是
（ ）A．[2,+∞) B． C． D．
27．数学家已经证明：指数函数 与对数函数 的图象当且仅当 时
有两个不同的公共点.若对任意的 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是 .（注：
是自然对数的底数）
题型十：曼哈顿距离问题
28．已知点 是单位圆 上的动点，点 是直线 上的动点，定义
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，定义两点 与 之间的“直角距离”为
．给出下列命题：
（1）若 ， ，则 的最大值为 ；
（2）若 是圆 上的任意两点，则 的最大值为 ；
（3）若 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ．
其中为真命题的是
A．（1）（2）（3） B．（2） C．（3） D．
（2）（3）
30．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两
点 的曼哈顿距离 ，则下列结论正确的是（ ）A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是5
D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
题型十一：平口单峰函数
31．已知函数 ，当 ， 时，设 的最大值为 ，则 的
最小值为 ．
32．已知函数 ，当 ， 时， 的最大值为 ，则 的
最小值等于 ．
33．已知函数 定义域为 ， ，记 的最大值为 ，则 的最小值为
A．4 B．3 C．2 D．题型十二：三次函数
34．（2024·广东广州·一模）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十三：指对同构
36．（2024·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于b
的方程 可化为同构方程，则 的值为 ．
37．（2024·湖北·模拟预测）对于任意实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是
.
38．（2024·高三·重庆·开学考试）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为 .
题型十四：切线放缩与夹逼
39．已知函数 ， （其中e为自然对数的底数），若存在实数 ，使得
成立，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·浙江·一模）若 是实数， 是自然对数的底数， ，则．
题型十五：整数解问题
41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ，若不等式 的解集中有且仅有一个
整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·全国·模拟预测）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
43．（2024·高三·江西·期末）若集合 中仅有2个整数，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
题型十六：导数中的“最短距离”问题
44．若对任意的实数 ，函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
45．设函数 ，若关于 的不等式 有解，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
46．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）A． B．e C． D．
题型十七：等高线问题
47．已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
48．已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
49．已知函数 ，若存在实数 ， ， 且 ，使得 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．重难点突破：多变量问题
50．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
51．已知函数 ，其中 ．若对于某个 ，有且仅有3个不同取值的 ，使得关
于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
52．对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．1．（2024·高三·江西·期中）已知函数 有两个零点 ， ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·云南·阶段练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（2024·山东威海·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数 是定义在R上偶函数，当 时， ，
若函数 仅有4个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·高三·湖南·期中）已知函数 ，若方程 恰有5个不同的解，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高三·上海黄浦·期末）设 ，满足 的x的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数 ，若关于x的方程 有2个
不同的实根 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高三·四川成都·期中）已知 ，若关于 的不等式 在 上
恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2024·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，则（ ）
A． B．若 ，则 的极大值点为
C．若 至少有两个零点，则 D． 在区间 上单调递增
11．（多选题）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数 ，若函数
有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．6个零点之和是6
12．（多选题）（2024·四川内江·一模）给定函数 ， ．分别用 、 表示
、 中的最小者、最大者，记为 , ．下列说法正
确的是（ ）
A．
B．当直线 与曲线 有三个不同交点时，
C．当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点
D．函数 的值域为
13．（2024·高三·天津·期中）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有
2个相异的实数解，则 的取值范围是 .
14．（2024·高三·江西·期中）已知函数 ，若存在实数 ， ， 且 ，
使得 ，则 的最大值为 .
15．（2024·高三·上海·期中）已知 ， ，且 ，则 的取值范围是
.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取
值范围为 .
17．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ，
则 的值为 ．
