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专题 5.1 方程（3 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中
未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【知识点2】一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
【知识点3】等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果 ，那么 ( 为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
即：如果 ，则 ；如果 则
【要点提示】
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立
（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
考点与题型目录
【考点一】从算式到方程
【题型1】方程的判断.........................................................2
【题型2】列方程.............................................................3
【题型3】方程的解...........................................................4
【题型4】一元一次方程的定义.................................................5
【考点二】等式的性质
【题型5】等式变形的判断.....................................................7
【题型6】利用等式的变形成“含 的代数式表示 的形式”.......................8
【题型7】利用等式的性质解方程...............................................9
【考点三】直通中考与拓展延伸
【题型8】直通中考..........................................................11
【题型9】拓展延伸..........................................................12
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】方程的判断
【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；① ；② ；③
；④ ．
【答案】①④
【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可．
解：① ，④ 符合方程的概念，是方程．
② 不是等式，③ 不含未知数，都不是方程．
故答案为：①④．
【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式 ， ， （a，b为已知
数）， ， 中，方程有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．
解： ， ， ，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程．
不是等式，因而不是方程．
（a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程．
故有3个式子是方程．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ．其中，整式方程有 ．
【答案】②③④⑥
【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注
意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫
做整式方程进行判断．
解：② 0，③ ，④ ，⑥ 的分母中不含未知数，是整式方程；①
和⑤ 分母中含未知数，是分式方程．
故答案为：②③④⑥．
【题型2】列方程
【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系：
(1)七年级学生人数为n，其中男生占 ，女生有 人；
(2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的 倍，现每件又降价 元，现售价为每件 元．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据题意，男生人数为 ，也可以表示为 ，因此列出方程即可；
（2）根据题意，售价为 ，现售价为 ，因为现售价为每件 元，即可列出方程．
解：（1）根据题意，（2）根据题意，
，
【点拨】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20
本；如果每人分4本，则缺25本．设有 名学生，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解，
本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式．
解：根据题意得： ，
故选： ．
【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部
分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋
白质的 倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共 ．设蛋白质的含量为 ，脂肪的含量为 ，可
列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 列方
程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
解：设蛋白质的含量为 ，脂肪的含量为 ，则碳水化合物含量为 ，依题意可列方程，
，
故答案为： ．
【题型3】方程的解
【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解
(1) ； (2) ．
【答案】(1)是； (2)否.
【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
（1）将 分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则 是该方程的解，否则不是；（2）将 分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则 是该方程的解，否则不是．
解：（1）当 时，
左边 ，
右边 ，
左边 右边，
∴ 是该方程的解．
（2）解：当 时，
左边 ，
右边 ，
左边 右边，
∴ 不是方程的解．
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到 ，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选A．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程： ■，其中“■”表示一个
被污染的常数．答案注明方程的解是 ，这个被污染的常数应是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键．
根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
解：设常数为x，由题意，得解得 ，
故答案为：3．
【题型4】一元一次方程的定义
【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知 是关于x的一元一次方程，
求m的值．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方
程叫一元一次方程，据此解答即可．
解：∵方程为关于x的一元一次方程，
∴ 项的系数为0．且x的系数不为0，
，即 ，
解得： ，
，
， ．
∴ ．
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方
程的定义进行判定．
解：①是二元一次方程，不符合题意；
②是一元二次方程，不符合题意；
③是一元一次方程，符合题意；
④是分式方程，不符合题意；⑤是代数式，不是方程，不符合题意．
故选：A．
【变式2】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若 是关于x的一元一次方程，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，以及代数式求值，熟记“只含有一个未知数，且未
知数的次数是1的整式方程是一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，求出 ，再代
入计算求值即可．
解： 是关于x的一元一次方程，
， ，
，
，
故答案为： ．
【题型5】等式变形的判断
【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式 进行
变形，得出“ ”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过
程如表所示：
将等式 变形
两边同时加 ，得 （第①步）
两边同时除以 ，得 （第②步）
(1)第______步等式变形产生错误；
(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出 的值．
【答案】(1) ；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母 时，没有考虑字母 是否为 ； 的值为
．
【分析】（ ）根据等式的性质可知错误发生在第 步；
（ ）根据等式的基本性质即可解答；本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
解：（1）第 步等式变形产生错误，
故答案为： ；
（2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母 时，没有考虑字母 是否为 ．
正确过程：
两边同时加 ，得 ，
两边同时减 ，得 ，
两边同时除以 ，得 ．
【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除
以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可．
解：A、若 ，则 ，变形正确，不符合题意；
B、若 ，则 ，变形正确，不符合题意；
C、若 ，则 ，变形正确，不符合题意；
D、若 ，当 时，无意义，变形错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若 ，则 ；②若 ，
则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，则 ．其中一定正
确的是 （填序号）．
【答案】①④⑤
解：①若 ，则 ，变形正确；②若 ，则 ，原变形不正确；③若 ，则 ，原变形不正确；④若 ，则 ，变形正确；⑤若 ，则 ，变形
正确．
【题型6】利用等式的变形成“含 的代数式表示 的形式”
【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式 得到 ，为什么？反
过来，能否从 得到 ，为什么？
【分析】根据等式的性质解答即可．
解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到 理由是：2a-1=0时，无意义；
能从 中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）．
【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式．
【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由 可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案．
本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键．
解：由 ，得 ，
故选：B．
【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程 变形为用含 的式子表示 ，那么
；
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键．
解： ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【题型7】利用等式的性质解方程
【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程
(1) (2) (3)
【答案】(1) ; (2) ; (3)
【分析】此题考查了解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
（1）由题意得到 ，再两边同除以 即可得到答案；
（2）方程两边同除以 得到 ，两边都减去10即可得到答案；
（3）方程两边都乘以 得到 ，两边都除以 即可得到答案．
解：（1）
∴
则
解得 ．
（2）
∴
则
解得 ．
（3）
则
∴∴
解得 ．
【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式 的值随 取值的变化而变化，下表是当 取不同
值时对应的整式的值，则关于 的方程 的解为（ ）
0 1 2 3
0 4 8
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当 时，
，再根据等式性质进行变形即可求解．
解：由表格得当 时， ，
等式两边同乘 ，得 ，
所以关于 的方程 的解为 ．
故选：A．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为 的形式
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程．
（1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解；
（2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可
解答．
解：（1） ，
去括号得： ，
方程两边同时加上6，得： ，
即： ，
方程两边同时减去x，得： ，
即 ；（2） ．
方程两边同时乘以12，得： ，
去括号得： ，
化简，得： ，
方程两边同时减去7，得 ，
方程两边同时除以7，得： ．
第三部分【直通中考与拓展延伸】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入
“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，
则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，
然后化简代入即可解题．
解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于 的方程 （ 、 为实数且 ）， 恰好是
该方程的根，则 的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据方程的解的概念，将 代入原方程，然后利用等式的性质求解．解：由题意可得 ，
把 代入原方程可得： ，
等式左右两边同时除以 ，可得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关
键．
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将
它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编
①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
号
两数的
和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最
后根据题意得结论．
解： ① ② ，② ③ ，③ ④ ，④ ⑤ ，① ⑤ ，
，得③ ① ， ，得⑤ ③ ．
，得⑤ ① ．
，得 ⑤ ， ，得 ① ．
⑤ ，① ．
把⑤①的值代入 、 、(3)、 得② ，③ ，④ ．故选：A．
【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知 ， ， ， ， 是满足条件
的五个不同的整数，若 是关于 的方程
的整数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知 ， ， ， ， 是五
个不同的整数，再把 分解成五个整数积的形式，再把 ， ， ， ， 五个整数
相加可得它们的和，最后把 代入计算即可求解，根据题意把 分解成几个整数
积的形式是解题的关键．
解：∵ 是关于 的方程 的整数根，
∴ ，
∵ ，且 ， ， ， ， 是五个不同的整数，
∴ ， ， ， ， 也是五个不同的整数，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
